Примеры заданий с решениями по теме
Задание №1 Потенциал электрического поля в декартовой системе координат определяется соотношением , где - константа. Найти значение напряженности данного поля и ее направление в пространстве, проекцию напряженности в точке на направление вектора и распределение объемного заряда как функцию . Решение: Для нахождения вектора напряженности электрического поля и его модульного значения используем формулу, устанавливающую связь между силовой характеристикой этого поля и его энергетической характеристикой и координатное представление для соответствующих векторов. Связь между силовой характеристикой электрического поля и его энергетической характеристикой имеет вид: (1) (2), а вектор в координатном представлении: (3) Подставляя (2) и (3) в (1) получаем: (4) Сравнивая компоненты при одинаковых орт векторах, получаем: ; ; (5) При заданном потенциале , имеем следующие компоненты: ; ; (6). Используя (3) находим векторное представление для напряженности . (7) Модульное значение можно определить по формуле: (8) Для нашей задачи получаем: (9) Для того чтобы найти проекцию вектора в определенной точке на некоторое направление, необходимо найти значение напряженности в соответствующей точке и умножить полученное значение напряженности на косинус угла между направлением и вектором . Подставляя координаты точки в (7) и (9) находим: (10) Проекция на направление в общем случае определяется соотношением: Подставляя в это соотношение численное значение, получаем: В/м (11) Распределение объемного заряда можно найти, используя дифференциальное уравнение Пуассона для вакуума, устанавливающее связь между объемной плотностью заряда и потенциалом: (12) (13) Отсюда можно выразить объемную плотность: (14) Подставляя и дифференцируя, получаем распределение объемной плотности заряда: Кл/м3 (15) Из (15) видно, что плотность характеризует однородное распределение заряда. Ответ: ; ; В/м; Кл/м3. Задание №2. Найти результирующий потенциал электрического поля в некоторой точке P, созданные системой зарядов, состоящей из точечного заряда нКл и диполя с плечом мм и модульным значением заряда нКл. Точка P находится на расстоянии см от середины диполя, причем радиус – вектор образует угол 450 с осью диполя, а заряд находится в вершине равнобедренного треугольника, основанием которого является ось диполя на расстоянии см. Решение: Построим рисунок согласно условию задачи. Результирующий потенциал системы зарядов есть сумма потенциалов отдельных точечных зарядов в силу принципа суперпозиции. Учитывая, что два заряда системы образуют диполь и результирующий потенциал для этой задачи можно представить в виде: (1) В зависимости от положения отрицательного и положительного зарядов диполя возможны два случая. Случай, когда отрицательный заряд расположен ближе к точке P, изображен на рисунке. рис.1 Это означает, что потенциал диполя – отрицательный и результирующий потенциал уменьшается. В другом случае, когда ближе к точке P расположен положительный заряд, потенциал диполя положительный и результирующий потенциал увеличивается. Как известно, вклад потенциала диполя в результирующий потенциал намного меньше, чем вклад потенциала точечного заряда. Поэтому результирующий потенциал в обоих случаях будет положительным. Потенциал точечного заряда в вакууме определяется соотношением: (2) где, как видно из рисунка, значение можно определить по теореме косинусов: (3), - дипольный момент (он направлен всегда от отрицательного заряда диполя к положительному); Подставляя (3) в (2) получаем: (4). Потенциал диполя определяется соотношением: (5) Далее рассмотрим случай, когда отрицательный заряд расположен ближе к точке P. Тогда в соответствии с рисунком и (5) формула для потенциала диполя принимает вид: (6) Результирующий потенциал (1) в этом случае с учетом (6) и (4) определяется выражением: (7) В случае, когда к точке P ближе расположен положительный заряд . Соотношение (5) при этом принимает вид: (8) Выражение для результирующего потенциала (1) с учетом (8) и (4)может быть представлено формулой: (9) Подставляя численные значения параметров в соотношения (7) и (9), можно найти потенциалы для различного положения отрицательного и положительного зарядов диполя по отношению к точке P: В В Расчет проводился в СИ. Как видно из полученных данных вклад диполя в результирующий потенциал действительно очень мал. Ответ: В, В. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|