Примеры заданий с решениями по теме

Задание №1. Найти напряженность электрического поля в стекле вблизи некоторой точки P, угол между нормалью к этой точке и вектором и поверхностную плотность связанных зарядов, если вблизи точки P границы раздела стекло – вакуум напряженность электрического поля в вакууме В/м, причем угол между нормалью к границе раздела и напряженностью .

Решение:

Изобразим границу раздела сред, точку P, нормаль к границе раздела в этой точке и соответствующие вектора напряженности электрического поля и . Обозначим также соответствующие углы между нормалью и векторами и

Для того, чтобы найти напряженность электрического поля в стекле на границе раздела сред, необходимо применить граничные условия для векторов электрического поля. Как известно в силу потенциальности электрического поля сохраняются тангенциальные компоненты напряженности электрического поля и нормальные компоненты вектора электрического смещения при условии отсутствия сторонних поверхностных зарядов на границе:

рис.2

(1)

(2)

Из рисунка можно легко найти компоненты вектора :

(3)

(4)

Подставляя (3) и (4) в (1) и (2) соответственно, получаем:

(5)

(6)

В результате можно определить значение напряженности электрического поля в точке P:

(7)

Подставляя (5) и (6) в (7), получаем:

(8)

Угол между нормалью и вектором в стекле можно найти из соотношения:

(9)

Поверхностная плотность связанных зарядов в некоторой точке границы раздела равна разности нормальных компонент вектора поляризованности на ней (в нашем случае только от поляризованности в стекле, так как поляризованность в вакууме равна нулю):

(10)

где (11)

Следовательно, поверхностная плотность зарядов на границе раздела вблизи точки P определяется соотношением:

(12)

Подставляя численные значения в соотношения (8), (9) и (12), получаем:

В/м, , пКл/м².

Ответ: В/м, , пКл/м².

Задание №2. Пространство между обкладками плоского конденсатора заполнено последовательно двумя диэлектриками с толщинами диэлектрическими проницаемостями соответственно. Площадь каждой обкладки равна . Найти: 1) емкость конденсатора; 2) плотность связанных зарядов на границе раздела диэлектрических слоев, если напряжение на конденсаторе равно и электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2.

Решение:

Сделаем схематический рисунок к задаче (хотя задачу можно решить и без него).

По условию задачи границу раздела двух диэлектриков можно рассматривать как некую обкладку конденсатора, параллельную и равную по площади двум ее металлическим обкладкам. Однако следует учитывать, что на ней скапливаются не сторонние электрические заряды, а связанные с поверхностной плотностью . Таким образом, конденсатор можно рассматривать как систему двух последовательно соединенных плоских конденсаторов с различными диэлектрическими средами .

рис.3

В этом случае общая электроемкость:

(1),

где электроемкость первого плоского конденсатора:

(2);

а второго конденсатора:

(3)

Подставляя (2) и (3) в (1), получим окончательное выражение для емкости конденсатора:

(4)

Так как по определению поверхностная плотность связанных зарядов определяется разностью нормальных компонент поляризованности соответствующих сред, то:

(5)