Поток вектора напряж. Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме.
Выделим малую площадку площадью ΔS, ориентация которой задается единичным вектором нормали .
В пределах малой площадки электрическое поле можно считать однородным, тогда поток вектора напряженности ΔФE определяется как произведение площади площадки на нормальную составляющую вектора напряженности где — скалярное произведение векторов и ; En — нормальная к площадке компонента вектора напряженности. В произвольном электростатическом поле поток вектора напряженности через произвольную поверхность, определяется следующим образом : - поверхность разбивается на малые площадки ΔS (которые можно считать плоскими); - определяется вектор напряженности на этой площадке (который в пределах площадки можно считать постоянным); - вычисляется сумма потоков через все площадки, на которые разбита поверхность . Эта сумма называется потоком вектора напряженности электрического поля через заданную поверхность. Рассмотрим электрическое поле точечного заряда Q . Это поле обладает сферической симметрией — модуль вектора напряженности зависит только от расстояния для заряда, в любой точке вектор напряженности направлен радиально, вдоль прямой, соединяющей заряд с точкой наблюдения.
Окружим заряд сферой, произвольного радиуса R, центр которой совпадает с точечным зарядом. Во всех точках поверхности сферы вектор напряженности электрического поля направлен вдоль нормали к поверхности сферы (поэтому угол между ними равен нулю), его модуль постоянен и по закону Ш. Кулона равен Выделим на поверхности сферы малую площадку площадью ΔSi, поток вектора напряженности через эту площадку равен Так как модуль вектора напряженности во всех точках сферы одинаков, суммирование потоков через поверхность сферы, сводится к суммированию площадей участков, на которые разбивается сфера. Вычислим поток вектора напряженности
здесь — площадь поверхности сферы. этот поток не зависит от радиуса сферы. Итак, поток вектора напряженности электрического поля точечного заряда через поверхность сферы равен отношению заряда к электрической постоянной. Для обобщения полученного результата, вспомним теоремы о потоке несжимаемой жидкости. Самое важное — распределение скоростей от то-чечного источника, описывается такой же зависимостью, как и напряжен-ность электрического поля, созданного точечным источником. Следовательно, и потоки этих векторных полей подчиняются одинаковым законам. Поэтому, мы не будем подробно доказывать каждое утверждение, только приведем его основные этапы.
В случае, если замкнутая поверхность любой формы охватывает заряд (рис. 2), то при пересечении любой линии напряженности с поверхностью она то входит в нее, то выходит из нее. При вычислении потока нечетное число пересечений в конечном счете сводится к одному пересечению, так как поток полагается положительным, если линии напряженности выходят из поверхности, и отрицательным для линий, которые входят в поверхность.
Если замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток сквозь нее равен нулю, так как число линий напряженности, которые входят в поверхность, равно числу линий напряженности, которые выходят из нее. Знак потока совпадает со знаком заряда Q. Исследуем общий случай произвольной поверхности, окружающей n зарядов. Используя с принцип суперпозиции, напряженность Е поля, которая создавается всеми зарядами, равна сумме напряженностей Ei полей, которые создаваются каждым зарядом в отдельности. Поэтому каждый из интегралов, который стоит под знаком суммы, равен Qi/ε0. Значит,
Эта Формула выражает теорему Гаусса для электростатического поля в вакууме: поток вектора напряженности электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме заключенных внутри этой поверхности зарядов, деленной на ε0. В общем случае электрические заряды могут быть распределены с некоторой объемной плотностью ρ=dQ/dV, которая различна в разных местах пространства. Тогда суммарный заряд, заключенный внутри замкнутой поверхности S, которая охватывает некоторый объем V, исп формулы: (3) Поле объемно заряженного шара. Шар радиуса R с общим зарядом Q заряжен равномерно с объемной плотностью ρ (ρ = dQ/dV – заряд, который приходится на единицу объема). Учитывая соображения симметрии, аналогичные п.3, можно доказать, что для напряженности поля вне шара получится тот же результат, что и в случае (3). Внутри же шара напряженность поля будет иная. Сфера радиуса r'<R охватывает заряд Q'=(4/3)πr'3ρ . Поэтому, используя теорему Гаусса, 4πr'2E=Q'/ε0=(4/3)πr'3ρ/ε0 . Т.к. ρ=Q/(4/3πR3)) получаем (4) .Значит, напряженность поля вне равномерно заряженного шара описывается формулой (3), а внутри его изменяется линейно с расстоянием r' согласно зависимости (4). График зависимости Е от r для рассмотренного случая показан на рис. 5. ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|