 |
|
SABC - тетраэдр S(2; 3; 1); A(4; 1; -2); B(6; 3; 7) и C(7; 5; -3).
Задача 1
1) Найти длину высоты пирамиды, опущенной из вершины S;
2) Составить уравнение высоты, проходящей через точку S перпендикулярно плоскости треугольника АВС;
3) Составить уравнение ребра SB;
4) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку S параллельно плоскости треугольника АВС;
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через ребро SB пирамиды перпендикулярно плоскости основания;
6) Составить уравнения сторон треугольника АВС;
7) Найти величину угла В треугольника АВС.
S(1; 0; 0); А(4; 6; -9); В(4; -9; 6); С(-1; 0; 0).
Решение:
1) Найдём длину высоты пирамиды, опущенной из вершины S:
Составим уравнение грани АВС:
4x+5y+5z-1=0 - уравнение грани (плоскости) АВС.
Итак, плоскость АВС имеет нормальный вектор 
.
Расстояние от точки S до плоскости АВС (длина высоты пирамиды, опущенной из вершины DS на грань АВС (с нормальным вектором 
) равно:
2) Составим уравнение высоты, проходящей через точку S перпендикулярно плоскости треугольника АВС:
3) Составим уравнение ребра SB:
4) Составим уравнение плоскости, проходящей через точку S параллельно плоскости треугольника АВС:
5) Составим уравнение плоскости, проходящей через ребро SB пирамиды перпендикулярно плоскости основания:
S(1; 0; 0); В(4; -9; 6)
6) Составим уравнения сторон треугольника АВС:
Составим уравнение стороны АВ треугольника АВС:
Составим уравнение стороны АС треугольника АВС:
Составим уравнение стороны ВС треугольника АВС:
7) Найдём величину угла В треугольника АВС:
Вычислим координаты векторов:
Косинус угла В треугольника АВС ( 
) вычислим по формуле:
Задача 2
Даны вершины параллелепипеда ABCDA1B1C1D1: A(2; -1; 7) B(5; 5; 4) C(3; 2; 1) A1(4; 1; 3). Найти:
1. соsÐАВС;
2. 
;
3. SABCD;
4. Vпарал;
5. Высоту параллелепипеда, опущенную из вершины А1;
6. Уравнение плоскости ABC;
7. Уравнение плоскости, проходящей через точку А перпендикулярно прямой АС1;
8. Уравнение прямой АС1;
9. Разложить вектор 
по векторам 
, 
и 
.
Решение:
Вычислим координаты всех вершин параллелепипеда. По условию
Выпишем все вершины параллелограмма:
1. Находим ÐАВС
2. Находим 
- проекцию вектора 
на вектор 
3. Находим SABCD – площадь грани (параллелограмма ABCD, построенного на векторах, например, AB и АD), как модуль векторного произведения векторов AB и АD.
4. Находим Vпарал – объём параллелепипеда, построенного на векторах, например, AB, AD и АА1.
5. Находим высоту параллелепипеда, опущенную из вершины А1 на грань АВCD, по формуле:
6. Уравнение плоскости ABC вычислим как уравнение плоскости, проходящей через три точки A(2; -1; 7) B(5; 5; 4) и C(3; 2; 1)по формуле:
9х-5y-z-16=0 - уравнение плоскости ABC
7. Уравнение прямой АС1 (A(2; -1; 7) С1(5; 4; -3)) вычислим по формуле:
8. Уравнение плоскости, проходящей через точку A(2; -1; 7) перпендикулярно прямой АС1 (координаты вектора 
):
3(x-2)+5(y+1)-10(z-7)=0
3x+5y-10z+69=0 – уравнение плоскости, проходящей через точку A(2; -1; 7) перпендикулярно прямой АС1.
9. Разложим вектор 
по векторам 
, 
и 
:
SABC - тетраэдр S(2; 3; 1); A(4; 1; -2); B(6; 3; 7) и C(7; 5; -3).
Найти:
1. ÐSAЕ, где Е – пересечение медиан DАВС;
2. 
;
3. SABC;
4. VSABC;
5. Высоту тетраэдра, опущенную из вершины S;
6. Уравнение плоскости ABC;
7. Уравнение прямой АS;
8. Уравнение плоскости, проходящей через вершину А перпендикулярно АS;
9. Разложить вектор 
по векторам 
, 
и 
.
Решение:
Построим чертёж:
Пусть в треугольнике АВС проведены медианы АА1; ВВ1 и СС1. Известно, что все три медианы пересекаются в одной точке, например в точке Е, поэтому точку Е можно определить как точку пересечения двух медиан, например, АА1 и ВВ1.
Вычислим координаты А1 – середины ВС:
Вычислим координаты В1 – середины АС:
Напишем уравнение медианы АА1:
Напишем уравнение медианы ВВ1:
Вычислим координаты точки Е как точку пересечения двух медиан АА1 и ВВ1:
1. Находим ÐSАЕ:
2. Находим 
- проекцию вектора 
на вектор 
3. Находим SABC – площадь грани (половина площади параллелограмма ABCD, построенного на векторах, например, BА и ВС), как половина модуля векторного произведения векторов ВА и ВС.
4. Находим VSABC – объём тетраэдра, как одна шестая объёма параллелепипеда, построенного на векторах, например, 
.
5. Находим высоту тетраэдра, опущенную из вершины S на грань АВC, по формуле:
6. Уравнение плоскости ABC вычислим как уравнение плоскости, проходящей через три точки A(4; 1; -2); B(6; 3; 7) и C(7; 5; -3)по формуле:
38х-29y-2z-127=0 - уравнение плоскости ABC
7. Уравнение прямой АS (A(4; 1; -2) S(2; 3; 1)) вычислим по формуле:
8. Уравнение плоскости, проходящей через точку A(4; 1; -2) перпендикулярно прямой АS (координаты вектора 
):
-2(x-4)+2(y-1)+3(z+2)=0
-2x+2y+3z+12=0 – уравнение плоскости, проходящей через точку A(4; 1; -2) перпендикулярно прямой АS.
9. Разложим вектор 
по векторам , и 
:
Задача №2.
Даны координаты вершин пирамиды АВСD. Найти:
1.) 
;
2.) 
;
3.) 
;
4.) площадь грани АВС;
5.) уравнение грани АВС;
6.) уравнение ребра AD;
7.) угол между ребром АD и гранью АВС;
8.) объём пирамиды АВСD;
9.) уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань АВС и её длину;
10.) уравнение плоскости, проходящей через точку D параллельно грани АВС;
Сделать чертёж:
А(4; 4; 10); В(4; 10; 4); С(2; 8; 4); D(9; 6; 4).
Решение:
Вычислим координаты векторов:
1) Вычислим модуль вектора
2) Косинус угла А ( 
) вычислим по формуле: 
3) Вычислим проекцию вектора на вектор по формуле: 
4) Площадь грани АВС найдём по формуле:
5) Составим уравнение грани АВС:
-x+y+z-10=0 - уравнение грани (плоскости) АВС.
6) Составим уравнение ребра AD (уравнение прямой AD):
7) Угол между ребром АD и гранью АВС (с нормальным вектором 
) найдём из формулы: 
8) Объём пирамиды АВСD вычислим по формуле:
9) Cоставим (уравнение высоты) уравнение прямой, проходящей через точку D, перпендикулярно плоскости треугольника АВС (с нормальным вектором ):
Расстояние от точки D до плоскости АВС (длина высоты пирамиды, опущенной из вершины D) равно:
10) составим уравнение плоскости, проходящей через точку D, параллельно плоскости треугольника АВС:
-x+y+z-1=0 - уравнение плоскости, проходящей через точку D, параллельно плоскости треугольника АВС.
