Главная | Обратная связь

Распространение радиоволн в идеальном однородном диэлектрике

 

В такой среде e, m = Const, r = s = 0. Модель наиболее близка к распространению в нейтральной атмосфере. Для воздуха можно полагать, что магнитная проницаемость m = m₀ = 4p×10^-7 Гн / м, а диэлектрическая проницаемость e = e' e₀ (e₀ = 8,85×10^-12 Ф / м, e¢ - относительная диэлектрическая проницаемость). Тогда система (1.1) принимает вид

 

(1.2)

 

Выведем уравнение, описывающее распространение радиоволн в такой среде. Применим к двум первым уравнениям (1.2) операцию rot:

 

 

Получаем два дифференциальных уравнения второго порядка:

 

, (1.3)

 

Будем полагать, что ток в излучающей антенне меняется по гармоническому закону, т. е. E, H~ Cos wt (w - круговая частота), или в комплексной форме . Из представления напряжённости электрического поля E(r,t) = E(r)×e^iwt следует, что , аналогичное соотношение получается и для H. Подстановка в (1.3) даёт

 

, (1.4)

 

где введено обозначение .

Из электродинамики известно, что физически корректным и математически точным решением волнового уравнения вида (1.3) является распространяющаяся от источника сферическая волна, амплитуда которой (r – расстояние от излучателя). При решении многих задач распространения рассматриваются плоские радиоволны, которые определяются следующим образом: электромагнитная волна называется плоской, если вектор напряженности электрического (магнитного) поля имеет одну и ту же величину во всех точках любой плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. Такая плоскость, следовательно, является и поверхностью равных фаз.

Пусть плоская радиоволна распространяется вдоль оси Ox, т. е. E = E(x,t), H = H(x,t). После подстановки этих представлений в (1.4) и сокращения на временной множитель e^iwt получим

 

. (1.5)

 

Нетрудно проверить, что решения уравнений (1.5) для волны, распространяющейся в положительном направлении Ox, имеют вид

 

E(x) = E_m×e^-ikx,H(x) = H_m×e^-ikx, (1.6)

 

где E_m и H_m - амплитуды полей. Таким образом, решения уравнений (1.4) для заданных условий имеют вид:

 

. (1.7)

 

Из (1.7) следует, в частности, что поля Eи H в распространяющейся волне синфазны.

Освободиться от специального выбора системы координат можно, используя волновой вектор k =kn (n – единичный вектор, направленный по пути распространения радиоволны). Если r – радиус-вектор точки на поверхности фронта волны (рис. 1.1), то расстояние от т. О до фронта равно nr, и решения (1.3) можно представить в следующей форме:

 

, . (1.8)

Справедливость (1.8) нетрудно проверить подстановкой в уравнения (1.3).

Выражения (1.8) описывают монохроматическую волну, т. е. волну, векторы напряженности которой меняются во времени по гармоническому закону с одной определенной частотой.

Найдем скорость распространения радиоволны как скорость перемещения ее фронта (рис.1.1). На такой поверхности фаза y = wt – kr= wt – knr = Const, следовательно,

 

(1.9)

 

здесь r_фр – проекция r на направление перемещения фронта волны.

Из (1.9) следует, что , где .

Определим ориентацию векторов E и H волны относительно направления распространения и между собой. Векторные операции в (1.2) можно выразить с помощью оператора :

 

divE= ÑE, rotE =[Ñ, E], divH= ÑH, rotH =[Ñ, H].

 

Применим Ñ к экспоненте в (1.8). Поскольку kr = k_xx + k_yy + k_yz, то Ñe^{i(wt - kr)} = e^iwt Ñe ^-ikr=e^iwt(-ik)e ^-ikr= -ik e^{i(wt - kr)}. Тогда два последних уравнения системы (1.2) можно записать как

 

divE= ÑE = -i(kE) = 0, divH= ÑH = -i(kH) = 0. (1.10)

 

Из (1.10) следует, что векторы Eи H перпендикулярны волновому вектору k, а, следовательно, и направлению распространения волны.

Проанализируем теперь второе уравнение системы (1.2).

 

. (1.11)

 

Но , тогда после сокращений получим

 

. (1.12)

 

Из (1.12) следует, что векторы Eи H взаимноперпендикулярны и образуют с направлением распространения правостороннюю тройку векторов.

Если, используя представление (1.8), взять модуль от обеих частей (1.12) и учесть, что ênê= 1, êe^i…ê= 1, то

 

,

 

т. е. отношение величин амплитуд полей волны

 

, (1.13)

 

Пусть в декартовой системе координат плоская радиоволна распространяется вдоль оси Оx, а вектор Eнаправлен вдоль Оz (рис. 1.2). Компоненты поля в тригонометрической форме будут иметь следующий вид:

 

(1.14)

(1.15)