Главная | Обратная связь

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс

Вынужденные колебания под действием синусоидальной силы

Колебания, которые совершаются под действием только внутренних сил колебательной системы, называются собственными колебаниями. Частота таких колебаний – собственная частота.

Колебания, возникающие под действием внешней периодически изменяющейся силы или э.д.с., называются вынужденными механическими или вынужденными электромагнитными колебаниями.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний гармонического осциллятора (шарик на пружине) под действием внешней силы F = F₀ sinωt без учета трения имеет вид

(1)

f = F₀/m – приведенная сила

– собственная частота

Решение уравнения (1):

(2)

1 слагаемое описывает свободные сопровождающие колебания с частотой ω₀

2 слагаемое описывает вынужденные колебания с частотой ω

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний гармонического осциллятора с учетом трения имеет вид:

(3)

δ – коэффициент затухания

Решение линейного неоднородного дифференциального уравнения вынужденных колебаний (3) равно сумме общего решения однородного уравнения (при равенстве нулю правой части уравнения) и частного решения неоднородного уравнения:

(4)

(5) – амплитуда вынужденных колебаний

(6) – начальная фаза вынужденных колебаний

w – круговая частота вынужденных колебаний.

Первое слагаемое играет существенную роль только при установлении колебаний до тех пор, пока амплитуда вынужденных колебаний не достигнет значения, определенного уравнением для А(w).

x

В установившемся режиме вынужденные колебания происходят с частотой w и являются гармоническими. Амплитуда и фаза вынужденных колебаний также зависят от w.

В установившемся режиме

x(t) = A(w) × cos[wt – j(w)]. (7)

Амплитуда и фаза вынужденных колебаний. Резонанс

Рассмотрим зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты

Найдем максимум А(w). Продифференцируем подкоренное выражение по w и результат приравняем нулю

.

Это равенство выполняется при w = 0, .

Только положительное значение w имеет физический смысл.

Частота, при которой амплитуда вынужденных колебаний достигает максимума называется резонансной частотой.

(8)

Явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешней силы (механической или электродвижущей) к резонансной частоте называется резонансом (соответственно механическим или электрическим).

При d² << w₀² значение резонансной частоты практически совпадает с собственной частотой w₀ колебательной системы.

A

Подставляя значение w_рез в формулу для А(w), получим значение амплитуды вынужденных колебаний на резонансной частоте

f/ω02

(9)

При малом затухании (d²<< w₀²) резонансная амплитуда

(10)

Где Q=ω₀ /2δ (11) – добротность колебательной системы

– статическое отклонение.

Следовательно, добротность характеризует резонансные свойства колебательной системы: чем выше добротность, тем больше резонансная амплитуда.

Явления резонанса могут быть как вредными, так и полезными. Если собственная частота колебаний машины или сооружения совпадает с частотой возможных внешних вредных воздействий, то машина или сооружение может разрушиться. В радиотехнике, электротехнике, акустике явление резонанса используют для обнаружения слабых колебаний.

Работа внешних сил в установившихся вынужденных колебаниях целиком идет только на преодоление сил трения. Чтобы такие колебания поддерживались долго необходимо в систему все время подводить энергию, величина которой пропорциональна амплитуде.

Автоколебания

Большой интерес для техники представляет возможность поддерживать колебания незатухающими за счет восполнения энергии реальной колебательной системы.

Автоколебанияминазываются незатухающие колебания, поддерживаемые в колебательной системе за счет внутренних источников энергии системы при отсутствии внешней периодической силы, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.

Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями). При автоколебаниях необходимо периодическое поступление энергии от собственного источника внутри колебательной системы.

Примером автоколебательной системы могут служить: часы, духовые музыкальные инструменты, двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповые генераторы и т.д.

Часовой механизм с анкерным ходом

Колебания маятника в этих часах воздействует периодически на механизм, который обеспечивает поступление в колеблющуюся систему дополнительной энергии от источника в виде поднятой гири или заыведенной пружины).

Назначение обратной связи:

1) Воспринять от колеблющейся системы сигнал

2) Преобразовать его к нужному виду

3) Передать снова в систему в форме дополнительной силы

Резонансные и автоколебательные процессы являются в природе и технике основными причинами появления устойчивых периодических движений достаточно большой амплитуды.

 

Волны

Упругие волны

Если в каком-либо месте упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить колебания ее частиц, то вследствие взаимодействия между частицами это колебание будет распространяться в среде от частицы к частице с некоторой скоростью v.

Процесс распространения колебаний в сплошной среде (пространстве) называется волновым процессом (или волной).

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передаются лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством всех волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества.

Различаются следующие типы волн: волны на поверхности жидкости, упругие волны, электромагнитные волны.

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Упругие волны бывают продольные и поперечные.

В продольных волнах частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформации сжатия и растяжения, т.е. твердых, жидких и газообразных телах.

В поперечных волнах частицы среды колеблются в плоскостях, перпендикулярных направлению распространения волны. Поперечные волны могут распространяться в среде, в которой возникают упругие силы или деформации сдвига, т.е. только в твердых телах.

Упругая волна называется гармонической (или синусоидальной), если колебания частиц среды при распространении волны являются гармоническими.

Рис. 1

На рис. 1 представлена гармоническая поперечная волна, распространяющаяся со скоростью v вдоль оси х, т.е. приведена зависимость смещения x частиц среды, участвующих в волновом процессе, от расстояния х этих частиц (например, частицы В) от источника колебаний О для какого-то фиксированного момента времени t.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны l.

Длина волны равна тому расстоянию, на которое распространяется определенная фаза колебаний за период, т.е.

l = v × T,

или учитывая

,

где f – частота колебаний, получаем

.

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым фронтом.

Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью.

Волновых поверхностей можно провести бесчисленное множество, а волновой фронт в каждый момент времени один. Волновой фронт также является волновой поверхностью.

Волновые поверхности могут быть любой формы.

Если волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, то волна называется плоской волной.

Если волновые поверхности представляют собой множество концентрических сфер, то волна называется сферической волной.