 |
|
Характеристики варіації
Для вимірювання та оцінки варіації використовують абсолютні та відносні характеристики. До абсолютнихналежать: розмах варіації (варіаційний розмах), середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення, дисперсії; до відносних – коефіцієнти варіації, нерівномірності, локалізації, концентрації.
Розмах варіації (R) характеризує діапазон варіації ознаки і являє собою різницю між максимальним (xmax) і мінімальним (xmin) значеннями ознаки: R =xmax - xmin. Оскільки розмах варіації визначається на основі тільки двох крайніх значень ознак сукупності, він дає уявлення про загальний розмір варіації і не дозволяє встановити рівень варіації всередині сукупності. З цієї причини його використовують для попередньої наближеної оцінки варіації.
Більш точними показниками варіації є середнє лінійне відхилення ( 
) та середнє квадратичне відхилення ( 
), які ґрунтуються на відхиленні всіх індивідуальних значень ознаки від середньої величини ( 
). Оскільки алгебраїчна сума відхилень 
=0, то використовують або модулі 
, або квадрати 
відхилень. Середнє лінійне відхилення і середнє квадратичне відхилення є іменованими величинами і визначаються в одиницях вимірювання ознаки.
Для згрупованих даних і розраховуються за принципом зваженої середньої:
= 
; = 
.
За первинними не згрупованими даними зазначені характеристики варіації визначаються за принципом простої середньої:
= 
; = 
.
Середнє лінійне і середнє квадратичне відхилення за змістом ідентичні, через математичні властивості > . У симетричному, близькому до нормального, розподілі 
, R= 
.
Дисперсія – це середній квадрат відхилень 
. Застосування дисперсії більш широке, ніж тільки для оцінки варіації. Так, її використовують і при вимірюванні взаємозв`язків. Для ознак метричної шкали визначення дисперсії проводиться за такими формулами:
Для альтернативної ознаки, варіація якої має два взаємовиключні значення – “1” (наявність) та “0” (відсутність), а розподіл характеризується відповідно двома частками – p і q (p+q=1, звідки p=1-q, q=1-p), дисперсія обчислюється як добуток часток = 
.
При статистичному аналізі варіацій різних ознак або порівнянні варіації однієї і тієї ж ознаки в різних сукупностях використовують відносні характеристики варіації.
Коефіцієнти варіації визначають відношенням абсолютних характеристик варіації (R, , ) до центру розподілу ( 
) і найчастіше виражаються у відсотках:
осциляції 
; лінійний 
;
квадратичний 
.
Чим більшою є величина коефіцієнта варіації, тим більшим є розшарування значень ознаки навколо середньої величини, тим більша неоднорідність сукупності.
Квадратичний коефіцієнт варіації 
використовують як критерій однорідності сукупності. Вважається, що при значенні 
сукупність є однорідною, а є типовою і надійною характеристикою даної сукупності.
Розв`язок типових задач
Задача 1. Визначимо середній, модальний і медіанний вік студентів за даними вищенаведеної таблиці про розподіл студентів-заочників однієї групи (табл.1).
Розв`язок задачі. Для розрахунку зазначених характеристик центру розподілу побудуємо табл.2.
Таблиця 2.
Розподіл студентів за віком
| Групи студентів за віком, років (x) | Кількість студентів, осіб (fj) | Кумулятивні частоти, осіб
(  )
| Середини інтервалів вікових груп, років (xj) | 
|
| До 20 | 17,5 | |||
| 20-25 | 22,5 | |||
| 25-30 | 27,5 | |||
| 30 і старші | 32,5 | |||
| Разом | Х | Х |
Перший інтервал (відкритий) умовно прирівнюємо по ширині до другого (закритого), а останній (відкритий) - до передостаннього (закритого). Так, якщо ширина другого інтервалу 5 років (20-25), то будемо вважати, що ширина першого інтервалу буде також 5 років (15-20), відповідно його середина – 17,5.
Середнє значення віку визначимо за формулою середньої арифметичної зваженої:
=22,5 (роки).
Серед студентів найбільш вагомою віковою групою є 20-25 років, представників цієї групи 10 осіб. Отже, модальний інтервал визначено. За формулою розрахуємо значення моди в межах цього інтервалу:
Mo= 
.
Нижня межа визначеного модального інтервалу x0=20, його ширина h=5, частота модального інтервалу fMo=10, частота передмодального інтервалу fMo-1=8, частота післямодального інтервалу fMo+1=4.
Таким чином, мода дорівнюватиме:
Mo= 
= 
= 21,3 (роки).
Отже, в групі найчастіше зустрічаються студенти саме з таким віком.
Для визначення медіани спочатку з`ясуємо, якою є половина обсягу сукупності. В нашому випадку 
=12. Таким чином, перша кумулятивна частота, що перевищує половину обсягу сукупності, становить 
=18. Ця накопичена частота знаходиться в другому інтервалі – 20-25 років. В межах визначеного медіанного інтервалу визначимо значення медіани:
Me= 
.
Нижня межа медіанного інтервалу x0=20, його ширина h=5. Частота медіанного інтервалу 
= 10, кумулятивна частота передмедіанного інтервалу 
=8. Таким чином,
Me= 
=22 (роки).
Отже, половина студентів групи мають вік до 22 років, а інша половина – більше 22 років.
Задача 2. Використовуючи дані попередньої задачі, зробимо висновки щодо однорідності досліджуваної сукупності.
Розв`язок задачі.
Для цього побудуємо табл.3.
Таблиця 3.
Розрахунок показників варіації віку студентів
| Вікові групи студентів, років | Кількість студентів, осіб (fj) | Середини інтервалів вікових груп, років (xj) | 
|
| До 20 | 17,5 | ||
| 20-25 | 22,5 | ||
| 25-30 | 27,5 | ||
| 30 і старші | 32,5 | ||
| Разом | Х |
Використовуючи визначене в попередній задачі значення 
р., останню графу таблиці 3 будемо заповнювати таким чином. В першому інтервалі (до 20 років):
= 
200 і т.д.
Для висновку щодо однорідності досліджуваної сукупності визначимо квадратичний коефіцієнт варіації: .
Середнє квадратичне відхилення для згрупованих даних розрахуємо за відповідною формулою: 
.
Отже, використовуючи дані табл.3:
= 4,6 (р.)
Отже, значення віку студентів групи відрізняються від середнього значення ( 
=22,5 р.) в середньому на 4,6 р.
Квадратичний коефіцієнт варіації становитиме: 
=20,4%, що свідчить про однорідність досліджуваної сукупності.