 |
|
Закон Био-Савара-Лапласа и его применение.
Закон Био-Савара-Лапласа устанавливает величину и направление вектора магнитной индукции dB в призвольной точке А магнитного поля, создаваемого элементом проводника длиной dl с током J (рис 13.2)
(13.3)
 |
где dl – вектор равный по модулю отрезку dl и совпадающий по направлению с током,
- радиус вектор (r – его модуль), m0–магнитная постоянная
Направление 
совпадает с касательной к линии магнитной индукции в точке А.
Модуль вектора dB записывается выражением:
(13.4)
где a - угол между векторами 
, m - относительная магнитная проницаемость среды, если В определяется в какой–то среде
Интегрируя (13.4), получим 
(13.5)
По формуле (13.5) определяется магнитное поле от различных проводников с током в вакууме.
1.Пусть имеется круговой ток (рис 13.3) или круговой контур с током. Применим (13.5), все элементы проводника перпендикулярны радиусу, следовательно,
Это магнитная индукция поля кругового тока в его центре. Магнитная идукция на оси кругового контура уменьшается по мере удаления от центра контура.
2. Вычислим магнитную индукцию поля прямолинейного конечного проводника с током. На проводнике выделим элемент dl и сделаем дополнительные построения, как на рисунке 13.4.
|
Направление 
известно, поэтому как и в предыдущих случаях, вычислим В скалярно. Применим (13.5) 
Необходимо вычислить 
. Из рисунка видно:
rdl = dl sina, отсюда 
, а 
, т.е. 
. Теперь формула для вычисления В примет вид: 
, т. е. Произошёл переход от интегрирования по l к интегрированию по a
.Вычисляя интеграл, получим 
3. Магнитную индукцию бесконечного проводника вычисляют по формуле (13.7). Действительно, если проводник бесконечен, то a1 = a2 = 0, а a2 = 1800. Отсюда cosa1 – cosa2 = [1 – (-1)] = 2. Поэтому индукция магнитного поля бесконечного проводника (прямолинейного) будет равна: 
, (13.8)
42)Циркуляцией вектора В по заданному замкнутому контуру называется интеграл
где dl — вектор элементарной длины контура, направленной вдоль обхода контура, Bl=Bcosa — составляющая вектора В в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода), a — угол между векторами В и dl.
Закон полного тока для магнитного поля в вакууме (теорема о циркуляции вектора В):
циркуляция вектора В по произвольному замкнутому контуру равна произведению магнитной постоянной m0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:
(118.1)
где n — число проводников с токами, охватываемых контуром L произвольной формы. Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого образует с направлением обхода по контуру правовинтовую систему; ток противоположного направления считается отрицательным. Например, для системы токов, изображенных на рис.
Выражение (118.1) справедливо только для поля в вакууме, поскольку, как будет показано ниже, для поля в веществе необходимо учитывать молекулярные токи.
Циркуляция вектора В магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.
Соленоид-цилиндрическая катушка, состоящая из большого количества витков, равномерно намотанных на сердечник.
Для нахождения магнитной индукции В выберем замкнутый прямоугольный контур ABCDA, как показано на рис. 175. Циркуляция вектора В по замкнутому контуру ABCDA, охватывающему все N витков, согласно (118.1), равна
Интеграл по ABCDA можно представить в виде четырех интегралов: по АВ, ВС, CD и DA. На участках АВ и CD контур перпендикулярен линиям магнитной индукции и Bl=0. На участке вне соленоида B=0. На участке DA циркуляция вектора В равна Вl (контур совпадает с линией магнитной индукции); следовательно,
Из (119.1) приходим к выражению для магнитной индукции поля внутри соленоида (в вакууме):
(119.2)
Получили, что поле внутри соленоида однородно (краевыми эффектами в областях, прилегающих к торцам соленоида, при расчетах пренебрегают).
43)Закон Ампера:Ампер установил, что сила dF, с которой магнитное поле действует на элемент проводника 
с током, находящегося в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике, векторному произведению элемента проводника 
на магнитную индукцию 
:
, (13.9)
Направление определяется (рис 13.5) по правилам векторного произведения или вытекающему из них правилу левой руки.
Модуль силы Ампера вычисляется по формуле: dF = IB * dl * sind (13.91) где a - угол между векторами dl и B.
Зная закон Ампера, можно определить силу взаимодействия двух прямолинейных бесконечных параллельных проводников, по которым проходят токи I1 и I2 (рис 13.6). Такое взаимодействие называют механическим или пондеромоторным взаимодействием. Из рисунка 13.6 ясно,
|
что на первый проводник действует сила со стороны второго и наоборот. Магнитная индукция В2 в точке первого проводника создаётся током второго. Аналогично индукци В1 создаётся током второго проводника. Поэтому В1 в точке 2: 
. Сила, действующая на проводник 2, по закону Ампера: F1 = IF1 = I2 B1 l2, а сила F2 = I1 B2 l1.
Направление индукции В1 и В2, а так же и сил F1 и F2 определяется по известным правилам, поэтому вывод сделан для их модулей. Подставляя в формулу F1 = I2 B1 l2 значение 
, (13.8) получим 
.
Вычисляя F2, убедимся, что F2 = F1 и на единицу длины формула будет иметь вид:
(13.10)если токи противоположны, то между ними действует сила отталкивания.
На основании (13.10) устанавливается единица силы тока в СИ – ампер (А).
Ампер– это сила неизменного тока, который, проходя по двум параллельным бесконечно длинным невесомым проводникам, вызывает между ними силу взаимодействия F, равную 2 × 10-7 Н на каждый метр длины, т.е. F = 2×10-7 Н/м.
44)Сила Лоренца.
Магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на отдельные заряды. Если заряд q движется со скоростью 
, то сила, действующая на заряд 
(14.1) Она называется силой Лоренца. Направление силы перпендикулярно 
и 
. Можно его определить и по правилу левой руки. Магнитное поле действует только на движущийся заряд. Сила Лоренца изменяет направление скорости и не изменяет её модуля. Следовательно, сила Лоренца не совершает работы, т.е. магнитное поле не совершает работы над движущимися в нём зарядами.
Если на движущийся заряд, кроме магнитного поля, действует и электрическое, то результирующая сила:
(14.2).
1)Если частица q движется в магнитном поле перпендикулярно его силовым линиям (рис. 14.1), то сила Лоренца действует как центростремительная сила и частица движется по окружности. Можно вычислить при этом R (радиус окружности) и Т (период обращения). По условию Fл = Fц или 
, отсюда 
. Так как 
, 
.
2)Если скорость частицы не перпендикулярна , то частица движется по спирали, ось которой параллельна магнитному полю. Такое движение является результатом равномерного прямолинейного движения вдоль поля и равномерного движения по окружности в плоскости перпендикулярной полю.
3) Если заряженная частица движется в магнитном поле со скоростью v вдоль линий магнитной индукции, то угол a между векторами v и В равен 0 или p. Тогда по формуле (14.1) сила Лоренца равна нулю, т. е. магнитное поле на частицу не действует и она движется равномерно и прямолинейно.
Эффект Холла — это возникновение в металле (или полупроводнике) с током плотностью j, помещенном в магнитное поле В, электрического поля в направлении, перпендикулярном В и j.
где а — ширина пластинки, Dj — поперечная (холловская) разность потенциалов.
Учитывая, что сила тока I=jS=nevS (S — площадь поперечного сечения пластинки толщиной d, п — концентрация электронов, v — средняя скорость упорядоченного движения электронов), получим
(117.1)
т. е. холловская поперечная разность потенциалов прямо пропорциональна магнитной индукции В, силе тока I и обратно пропорциональна толщине пластинки d. В формуле (117.1) R=1/(en) — постоянная Холла, зависящая от вещества.
45)Потоком вектора магнитной индукции (магнитным потоком) измеряется в (Вб)через площадку dS называется скалярная физическая величина, равная
(120.1)
где Bn=В cos a —проекция вектора В на направление нормали к площадке dS (a — угол между векторами n и В), dS=dSn — вектор, модуль которого равен dS, а направление его совпадает с направлением нормали n к площадке.