Главная | Обратная связь

Открытие Юкавы. Поле ядерных сил

Кроме электродинамических сил, су­ществуют еще силы другого рода — ядерные силы, у которых есть своя собственная теория поля. Эта теория также предсказывает энер­гию поля, которая для ядерных частиц дает массу, аналогич­ную электромагнитной. Ее можно называть «p-мезополевой массой». Она, по-видимому, очень велика, так как ядерные силы чрезвычайно мощны, и возможно, что именно они являются при­чиной массы тяжелых частиц.

Поле в электродинамике можно описать четырехвектором потенциала, удовлетворяющим уравнению

 

 

Мы видели, что поле может быть излучено, после чего оно су­ществует независимо от источника. Это фотоны, и они описы­ваются дифференциальным уравнением без источника:

 

Некоторые физики утверждают, что поле ядерных сил тоже должно иметь свои собственные «фотоны», роль которых, по-видимому, играют p-мезоны, и что они должны описываться аналогичным дифференциальным уравнением. Мы не можем придумать чего-то действительно нового и беремся рассуждать только по аналогии с тем, что знаем. Таким образом, возможным уравнением для мезонов будет

 

 

где j может быть каким-то другим четырехвектором или, возможно, скаляром. Далее выяснилось, что у p-мезона никакой поляризации нет, поэтому j должно быть скаляром. Согласно этому простому уравнению, мезонное поле должно изменяться с расстоянием от источника как 1/r², т. е. в точности как элект­рическое. Известно, что радиус действия ядерных сил гораздо меньше, чего не может обеспечить нам это простое урав­нение. Есть только один способ изменить положение вещей, не разрушая релятивистской инвариантности,— добавить или вы­честь из даламбертиана произведение константы на поле j. Итак, Юкава предположил, что свободные кванты ядерных сил могут подчиняться уравнению

(28.17)

где m² — некоторая постоянная, т. е. какой-то скаляр. (Посколь­ку ² является скалярным дифференциальным оператором, то инвариантность не нарушится, если мы добавим к нему дру­гой скаляр.)

Давайте посмотрим, что дает уравнение (28.17), когда ядер­ные силы не изменяются с течением времени. Мы хотим найти решение уравнения

 

которое было бы сферически симметрично относительно неко­торой точки, скажем относительно начала координат. Если j зависит только от r, то мы знаем, что

 

 

Таким образом, получается уравнение

 

 

или

 

 

Рассматривая теперь произведение (rj) как новую функцию, мы имеем для нее уравнение, которое встречалось нам уже много раз. Решение ее имеет вид

 

 

Ясно, что при больших r поле j не может быть бесконеч­ным, поэтому нужно отбросить знак плюс в показателе экспо­ненты, после чего решение примет вид

 

(28.18)

Эта функция называется потенциалом Юкавы. Для сил притя­жения К должно быть отрицательным числом, величина которо­го подбирается так, чтобы удовлетворить экспериментально наблюдаемой величине ядерных сил.

Потенциал Юкавы благодаря экспоненциальному множителю убывает быстрее, чем 1/r. Как это видно из фиг. 28.6, для рас­стояний, превышающих 1/m, потенциал, а следовательно, и ядерные силы приближаются к нулю гораздо быстрее, чем 1/r. Поэтому «радиус действия» ядерных сил гораздо меньше «радиуса действия» электростатических. Экспериментально дока­зано, что ядерные силы не простираются на расстояния свыше 10^{-13 см,} поэтому

m»10¹⁵ м^-1.

 

Фиг. 28.6. Сравнение потенциала Юкавы. е^-mr/r с кулоновым потен­циалом 1/r.

И, наконец, давайте рассмотрим волновое решение уравне­ния (28.17). Если мы подставим в него

 

то получим

 

 

Связывая теперь частоту с энергией, а волновое число с импуль­сом, как это делалось в конце гл. 34 (вып. 3), мы найдем соот­ношение

 

которое говорит, что масса «фотона» Юкавы равна

mh/с.

Если в качестве m взять величину ~10¹⁵м^-1, которую дает наблюдаемый радиус действия ядерных сил, то масса оказывается равной 3•10^{-25 г, или 170 Мэв, что приблизительно равно наблюдаемой массе} p-мезона. Таким образом, по аналогии с электродинами­кой мы бы сказали, что p-мезон — это «фотон» поля ядерных сил. Однако теперь мы распространили идеи электродинамики в такую область, где они на самом деле могут оказаться и не­верными. Мы вышли далеко за рамки электродинамики и очутились перед проблемой ядерных сил.

 

 

1.1. Понятие о векторах и простейших действиях над ними

Вектором называют любую физическую величину, имеющую не только числовое значение, но и направление. Двойная смысловая нагрузка вектора хорошо видна при такой записи векторной величины :

,

(1.1)

где число характеризует абсолютное значение, а – направление. Вектор называют единичным вектором, поскольку величина его равна единице.

Геометрически векторная величина изображается стрелкой, опять-таки несущей двойную смысловую нагрузку: длина стрелки определяет абсолютное значение векторной величины, а направление указывается стрелкой. Условимся обозначать любую векторную величину соответствующей буквой со стрелкой над ней, а модуль вектора – той же буквой без стрелки. Так, например, – вектор скорости, а u – модуль скорости, то есть всегда величина положительная.

Действия над векторами введены из-за необходимости описывать наблюдаемые явления. Так, на рис.1.1 изображена задача, в которой из т. А в т. C можно пройти двумя путями: прямым (вектор ) и через точку В. Во втором случае результат будет такой же, поэтому:

.

(1.2)

Длину вектора , то есть абсолютное значение пути АC можно найти, если известны длины отрезков АB и ВC,то есть зная a и b (модули соответствующих векторов). Задача нахождения c требует, вообще говоря, нового чертежа – рис.1.1б, где даны только длины отрезков. По теореме косинусов

,

(1.3)

где a – угол между векторами и .

Углом между двумя векторами называют угол, образованный этими векторами, проведенными из одной точки. На рис. 1.1а показан не угол между векторами, а равный ему. Если пользоваться правилом параллелограмма, то на чертеже можно указать непосредственно угол между векторами соответственно его определению (см. рис. 1.1б). В теореме косинусов (1.3) знак плюс появляется потому, что сторона с лежит против угла (180^о– a).

Операция сложения векторов, как видим, требует для её выполнения двух уравнений. Уравнение (1.2) формально задаёт вектор-сумму, а уравнение (1.3) даёт возможность вычислить модуль суммы двух векторов. Заметим, что само по себе выражение (1.2) не задаёт направление вектора , а лишь определяет операцию. Это определение следует дополнить правилом сложения: сложить два вектора – значит построить второй вектор из конца первого и соединить стрелкой начало первого вектора с концом второго. Пунктиром на рис. 1.1б показано сложение по правилу параллелограмма, которое, очевидно, эквивалентно первому.

Этот же рисунок иллюстрирует и вычитание векторов: если результат – путь АС – известен,а пройден путь АВ, то остался путь ВС,значит:

.

(1.4)

Отсюда вытекает правило вычитания векторов: соединив начала векторов и замкнув концы в сторону вектора уменьшаемого, получим вектор разности. Длина его также может быть найдена по теореме косинусов:

.

(1.5)

Снова задача нахождения векторной величины распадается на две: нахождение направления вектора по (1.4) и его модуля по (1.5).

Здесь уместно заметить, что приращение D векторной величины – это вектор разности двух векторов. Так, скорость – векторная величина и ее изменение (приращение) будет тоже векторной величиной:

.

(1.6)

Направление приращения скорости найдется по правилу вычитания векторов, и, следовательно, не будет совпадать с направлением ни вектора-уменьшаемого, ни вектора-вычитаемого. Длина вектора записывается с символом модуля – | |. Не следует путать его с изменением длины вектора , обозначаемым через . Нетрудно убедиться, что если векторы направлены в одну сторону и длина вектора больше длины вектора , то приращение скорости совпадет с направлением скоростей. Если же скорость < , то приращение будет отрицательно, то есть направлено в сторону, противоположную движению.

Векторы можно перемножать двумя способами: скалярным и векторным.

Скалярное произведение двух векторов есть скаляр, величина которого равна произведению модулей перемножаемых векторов, умноженному на косинус угла между ними:

.

(1.7)

Скалярное умножение векторов – единственный случай действия над векторами, когда не требуется два уравнения: ведь получаемый результат – скаляр!

 

 

Результатом векторного умножения векторов будет вектор, направление которого находится по правилу: вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы-сомножители. Направление векторного произведения определяется поступательным движением буравчика, если головку вращать от первого сомножителя ко второму (рис. 1.2). Записывается векторное произведение так:

.

(1.8)

Одного уравнения (1.7), указывающего операцию, вновь не достаточно: ведь следует указать и величину этого вектора. Она находится по правилу:

,

(1.9)

где a – угол между векторами-сомножителями.

В механике приходится иметь дело ещё и с двойным векторным произведением, но это правило будет дано в тексте соответствующей лекции.

Кроме арифметических операций с векторными величинами часто бывает нужно находить проекции вектора на оси координат, или выражать вектор через его проекции. Рассмотрим двумерный случай, когда вектор лежит в плоскости XOY и составляет угол aс осью ОХ (рис. 1.3). Как следует из рисунка, угол вектора с осью ОУ будет в этом случае равен (90^о + a). Проекциями данного вектора на оси координат будут числа a_x и a_y, которые определяются величиной вектора и углом a. В данном случае (см. рис. 1.3)

ax = acosa; ay = – asina.

(1.10)

Вектор через его проекции можно выразить как сумму векторов, полученных умножением проекций на соответствующие единичные векторы и , выполняющие роль введенного выше единичного вектора , и определяющие направления осей координат:

.

(1.11)

Модуль вектора легко определяется через его проекции по теореме Пифагора:

.

(1.12)

В трехмерном случае проекций вектора будет три и в суммах (1.11) и (1.12) добавится проекция a_z c соответствующим единичным вектором.