 |
|
Временной анализ линеаризованных цепей
Важным следствием линеаризации является то, что анализ реакции цепи на приращения относительно режима покоя – это задача при нулевых начальных условиях.
При нулевых начальных условиях применение одностороннего преобразования Лапласа
приводит к замене операции дифференцирования и интегрирования по времени к операции умножения или деления на переменную р:
(2.12)
В результате дифференциальное уравнение, определяющее связь «вход-выход» цепи, трансформируется в алгебраическое в функции от р:
y(p) = x(p) × K(p), (2.13)
где 
– передаточная функция цепи.
Переход от изображения реакции цепи к оригиналу (обратному преобразованию Лапласа L–1[у(р)]) может быть проведен на основании интеграла свертки.
В теории преобразования Лапласа доказано, что, если y(p)=A(p) × B(p), а A(t), B(t) – оригиналы А(р) и В(р):
то имеет место равенство
, (2.14)
которое и называется интегралом свертки.
На основании интеграла свертки можно, зная реакцию цепи на некоторый тестовый сигнал, определить реакцию цепи на любой сигнал. В качестве тестового сигнала может, например, выступать дельта-функция d(t) – импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности. По определению дельта-функции площадь под кривой d(t) равна единице:
.
Хотя дельта-функция является математической абстракцией, ее введение позволяет во многих случаях упростить анализ.
Поскольку изображение по Лапласу дельта-функции
,
то реакция цепи на дельта-функцию есть оригинал передаточной функции и называется импульсной характеристикой цепи:
K(t) = L–1[K(p)].
Для произвольного сигнала x(t) имеем
y(p) = x(p) × K(p),
и на основании (2.14) получаем
(2.15)
Соотношение (2.15) означает, что, зная импульсную характеристику цепи k(t), можно определить реакцию цепи на любой сигнал x(t).
Реакция цепи на единичное ступенчатое воздействие x(t)=1=1(t)(t ³ 0) называется переходной характеристикой цепи h(t).
Поскольку изображение по Лапласу единичной функции
,
то реакция системы на единичное воздействие будет равна
h(p)=1(p) × K(p) = 
,
тогда переходная характеристика
.
Для произвольного сигнала x(t) реакция цепи
y(p) = x(p) × K(p).
Проведем очевидное преобразование этого выражения:
На основании свойств преобразования Лапласа оригиналы
Тогда на основании интеграла свертки и свойства линейности преобразования Лапласа получим
(2.16)
Соотношение (2.16) называется интегралом Дюамеля и позволяет по известной переходной характеристике цепи h(t) определить реакцию на любой сигнал.
Контрольные вопросы и задания
Рис. 2.16
|
1. Привести графическое обозначение резисторов, конденсаторов и индуктивностей. Перечислить их основные параметры.
2. Какие методы расчета прохождения сигналов в электрических цепях вы знаете?
3. Что такое амплитудно-частотная характеристика (АЧХ), фазо-частотная (ФЧХ) и переходная характеристики цепи?
4. Рассчитать АЧХ приведенных цепей (рис. 2.16).