 |
|
Электрическое поле точечного заряда. Напряжённость электростатического поля. Принцип суперпозиции электрических полей
Раздел 4. Электричество и магнетизм
Глава 12. Электростатика
Современной физике известны четыре типа фундаментальных взаимодействий: сильное, электромагнитное, слабое и гравитационное. Сильное и слабое взаимодействие имеют очень малые радиусы действия ( 10-15м и 10-19м) и потому макроскопически не проявляются. Их изучением занимается физика микромира.
Гравитационное взаимодействие, наоборот заметным (и существенным) образом проявляется лишь в макро-и мегамире. Приближённой теорией этого взаимодействия является ньютоновская теория тяготения, а более точной – эйнштейновская общая теория относительности.
Электромагнитное взаимодействие – взаимодействие между электрически заряженными частицами или макроскопическими заряженными телами, которое распространяется со скоростью света с = 3۰108 м/с. Оно обладает значительной интенсивностью и достаточно большим радиусом действия и проявляется как в макро- так и в микромире.
В соответствии с этим различают два раздела физики, посвящённых изучению электромагнитных явлений¸- классическую электродинамику и квантовую электродинамику.
Классическая электродинамика – это теория электромагнитного взаимодействия в макромире. В настоящее время она является одной из самых разработанных областей человеческого знания. В её создании и разработке принимали участие разные учёные – Кулон, Ампер, Фарадей, Максвелл, Лоренц и многие другие.
Электрическое поле точечного заряда. Напряжённость электростатического поля. Принцип суперпозиции электрических полей
Аналогично тому, как вводилось понятие массы при рассмотрении гравитационного взаимодействия, вводится понятие электрического заряда.
Под электрическим зарядом понимают скалярную физическую величину, которая определяет интенсивность электромагнитного взаимодействия и связывает силу этого взаимодействия с расстоянием между взаимодействующими телами.
Обозначается электрический заряд - q, единицей заряда в СИ является Кулон.
Основные свойства электрического заряда:
1. В природе существуют два рода электрических зарядов: положительные и отрицательные. Основанием для такого вывода послужило открытие двух форм взаимодействия заряженных тел: притяжения – для разноимённых заряженных тел и отталкивания – для одноименно заряженных. Сила взаимодействия между зарядами определяется из закона Кулона.
Сила электрического взаимодействия между двумя неподвижными точечными электрическими заряженными телами направлена по прямой, соединяющие заряды, пропорциональна произведению их зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (Закон Кулона):
(12.1)
В скалярной форме закон Кулона записывается в виде
(12.2)
Величину 
называют электрической постоянной.
2. Электрический заряд – величина инвариантная; во всех системах отсчёта заряд данного тела ( или частицы) имеет одно и то же значение. От скорости движения тела заряд не зависит.
3. Электрический заряд – величина аддитивная, т.е. заряд любой системы равен сумме зарядов составляющих эту систему тел (частиц):
(12.3)
4. Электрический заряд дискретен (или квантован). Это означает, что в природе существует некоторый минимальный (его называют элементарным) электрический заряд:
е = 1,6۰10-19Кл
которому кратны заряды всех наблюдаемых элементарных частиц и макроскопических тел:
q = ne (12.4)
где n – любое целое число. Заряд электрона считают отрицательным, а заряд протона – положительным.
5. Для электрического заряда справедлив закон сохранения: при любых процессах в замкнутой системе её суммарный электрический заряд остаётся неизменным. Это означает, что электрические заряды не создаются и не исчезают, а только передаются от одного тела к другому или перераспределяются внутри данного тела:
Большинство тел электрически нейтральны; число электронов в них равно числу протонов. Если нарушить каким-то образом электрическую нейтральность тела, оно становится наэлектризованным. Тело заряжено отрицательно – значит оно имеет избыток электронов. Тело, в котором электронов меньше, чем положительно заряженных частиц, заряжено положительно.
Основная задача электростатики формулируется так: задано распределение электрических зарядов; требуется найти векторы 
создаваемого ими электростатического поля.
Рассмотрим эту задачу в простейшем случае, когда требуется найти поле, создаваемое одним неподвижным точечным зарядом в вакууме.
Электрическое поле, которое не изменяется со временем и источником которого являются неподвижные заряды, называется электростатическим.
Электрическое поле отдельного заряда можно обнаружить, если в пространство, окружающего этот заряд q, внести положительный пробный заряд qпр. На пробный заряд, помещённый в какую-либо точку поля, создаваемого зарядом q, действует Кулоновская сила (12.2)
Вектором электрической напряжённости называется физическая величина, измеряемая отношением электрической силы, действующей на пробный заряд, к этому заряду.(рис.12.1)
(12.5)
Напряжённость – силовая характеристика поля. Напряжённость, создаваемая точечным зарядом, определяется по формуле
(12.6)
(где r – расстояние от заряда q, создающего поле, до точки поля, в которой определяется напряжённость).
Единица напряжённости – Вольт на метр (В/м).
Напряжённость величина векторная. За направление вектора напряжённости принимают направление силы, с которой поле действует на пробный положительный заряд, помещённый в данную точку поля.
Электростатическое поле графически удобно представлять силовыми линиями.
Силовыми линиями или линиями напряженности поля называют линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с вектором напряженности в данной точке поля (рис.12.2).
1. 
Линии напряжённости электростатического поля выходят из положительного, а входят в отрицательные заряды, т.е. направлены от положительного заряда к отрицательному.
2. Линии напряжённости никогда не пересекаются.
3. Густотой линий напряжённости характеризуется напряжённость поля. В местах, где напряжённость поля меньше, линии проходят реже, и наоборот.
Электростатическое поле, во всех точках которого напряжённость поля одинакова по модулю и направлению (Е = const), называют однородным.
Примером такого поля могут быть электрические поля равномерно заряженной плоскости и плоского конденсатора вдали от краёв его обкладок.
Принцип суперпозиции позволяет описать поле, создаваемое любой системой зарядов. В общем случае принцип суперпозиции формулируется так: напряжённость электрического поля, создаваемого несколькими электрическими зарядами, равна векторной сумме напряжённостей электрических полей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности.
(12.7)
Из принципа суперпозиции полей следует, что при наложении полей они не оказывают никакого влияния друг на друга.
Благодаря принципу суперпозиции любая задача о нахождении электростатического поля, создаваемого системой зарядов сводится к применению формулы (12.6) для поля точечного заряда.
Проиллюстрируем применение этой формулы на двух зарядов.
1. Пусть требуется определить напряжённость электростатического поля в вершине 3 равностороннего треугольника, в двух других вершинах которого (1 и 2) находятся одинаковые по модулю, но разные по знаку заряды q0 и -q0 (рис. 12.6 )
У электрического поля в этой задаче два источника. Согласно принципу суперпозиции напряжённость поля в данной точке равна сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым из этих источников в отдельности:
Изобразив векторы Е1 и Е2 и сложив их по правилу параллелограмма (рис. 12.6 ), получим вектор Е, направленный горизонтально вправо. Его модуль (как и модуль результирующей силы ) определяется по теореме косинусов
(12.8)
(Е1 и Е2 - напряжённость электростатического поля в точке 3, создаваемые зарядами q 1 и q 2; α - угол между векторы Е1 и Е2).
§ 12.2 Теорема Гаусса. Применение теоремы Гаусса к расчёту электростатических полей.
Когда зарядов много, при расчётах полей возникают некоторые трудности.
Преодолеть их помогает теорема Гаусса. Суть теоремы Гаусса сводится к следующему: если произвольное количество зарядов мысленно окружить замкнутой поверхностью S, то поток напряжённости электрического поля через элементарную площадку dS можно записать как dФ = Есоsα۰dS где α - угол между нормалью к плоскости и вектором напряжённости 
. (рис.12.7)
Полный же поток через всю поверхность будет равен сумме потоков от всех зарядов, произвольным образом распределённых внутри её и пропорционально величине этого заряда
(12.9)
Определим поток вектора напряжённости сквозь сферическую поверхность радиуса r, в центре которой расположен точечный заряд +q (рис.12.8). Линии напряжённости перпендикулярны поверхности сферы, α =0, следовательно соsα = 1. Тогда
или 
Если поле образовано системой зарядов, то
Теорема Гаусса: поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, делённой на электрическую постоянную.
(12.10)
Если внутри сферы зарядов нет, то Ф = 0.
Теорема Гаусса позволяет сравнительно просто рассчитать электрические поля при симметрично распределённых зарядов.
Введём понятие о плотности распределенных зарядов.
· Линейная плотность обозначается τ и характеризует заряд q, приходящийся на единицу длины ℓ. В общем виде может быть рассчитана по формуле
(12.11)
При равномерном распределении зарядов линейная плотность равна 
· Поверхностная плотность обозначается σ и характеризует заряд q, приходящийся на единицу площади S. В общем виде определяется по формуле
(12.12)
При равномерном распределении зарядов по поверхности поверхностная плотность равна 
· Объёмная плотность обозначается ρ, характеризует заряд q, приходящийся на единицу объёма V. В общем виде определяется по формуле
(12.13)
При равномерном распределении зарядов она равна 
.
Ø 
Напряжённость электростатического поля равномерно заряженной сферы(рис.12.9), имеющей радиус r0. Найдём модуль вектора в какой-либо точке А, находящейся на расстоянии r1 от центра этой сферы.
Так как заряд q располагается на сфере равномерно, то
σ = const. Применим теорему Гаусса. Проведём сферу радиусом через точку А. Поток вектора напряжённости рис.12.9 сквозь сферическую поверхность радиуса равен 
соsα = 1, так как α = 0. По теореме Гаусса, 
.
или 
(12.14)
Из выражения (12.14) следует, что напряжённость поля вне заряженной сферы такая же, как напряжённость поля точечного заряда, помещённого в центре сферы. На поверхности сферы, т.е. r1 = r0 , напряжённость 
.
Внутри сферы r1 < r0 (рис.12.9) напряжённость Е = 0, так как сфера радиусом r2 внутри никаких зарядов не содержит и, по теореме Гаусса, поток вектора сквозь такую сферу равен нулю.
Ø 
Напряжённость поля, создаваемого равномерно заряженным бесконечно длинным цилиндром
Цилиндр радиусом r0 равномерно заряжен с поверхностной плотностью σ (рис.12.10). Определим напряжённость поля в произвольно выбранной точке А. Проведём через точку А воображаемую цилиндрическую поверхность радиусом R и длиной ℓ. Вследствие симметрии поток будет выходить только через боковые поверхности цилиндра, так как заряды на цилиндре радиуса r0 распределены по его поверхности равномерно, т.е. линии напряжённости будут радиальными прямыми, перпендикулярными боковым поверхностям обоих цилиндров. Так как поток через основание цилиндров равен нулю (cos α = 0), а боковая поверхность цилиндра перпендикулярна силовым линиям (cos α = 1), то
или
(12.15)
Выразим величину Е через σ - поверхностную плотность. По определению,
следовательно, 
Подставим значение q в формулу (12.15)
(12.16)
По определению линейной плотности, 
, откуда 
; подставляем это выражение в формулу (12.16):
(12.17)
т.е. напряжённость поля, создаваемого бесконечно длинным заряженным цилиндром, пропорциональна линейной плотности заряда и обратно пропорциональна расстоянию.
Ø Напряжённость поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью
Определим напряжённость поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью в точке А. Пусть поверхностная плотность заряда плоскости равна σ. В качестве замкнутой поверхности удобно выбрать цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости, а правое основание содержит точку А. Плоскость делит цилиндр пополам. Очевидно, что силовые линии перпендикулярны плоскости и параллельны боковой поверхности цилиндра, поэтому весь поток проходит только через основания цилиндра. На обоих основаниях напряжённость поля одинакова, т.к. точки А и В симметричны относительно плоскости. Тогда поток, через основания цилиндра равен
Согласно теореме Гаусса,
Так как 
, то 
, откуда
(12.18)
Таким образом, напряжённость поля бесконечной заряженной плоскости пропорциональна поверхностной плотности заряда и не зависит от расстояния до плоскости. Следовательно, поле плоскости является однородным.
Ø Напряжённость поля, создаваемого двумя разноименно равномерно заряженными параллельными плоскостями
Результирующее поле, создаваемое двумя плоскостями, определяется по принципу суперпозиции полей: 
(рис.12.12). Поле, создаваемое каждой плоскостью, является однородным, напряжённости этих полей равны по модулю, но противоположны по направлению: 
. По принципу суперпозиции напряжённость суммарного поля вне плоскости равна нулю:
Между плоскостями напряжённости полей имеют одинаковые направления, поэтому результирующая напряжённость равна
(12.19)
Таким образом, поле между двумя разноименно равномерно заряженными плоскостями однородно и его напряжённость в два раза больше, чем напряжённость поля, создаваемого одной плоскостью. Слева и справа от плоскостей поле отсутствует. Такой же вид имеет и поле конечных плоскостей, искажение появляется только вблизи их границ. С помощью полученной формулы можно рассчитать поле между обкладками плоского конденсатора.