Главная | Обратная связь

Аппроксимация амплитудно-частотных характеристик фильтров.

Первой задачей в процессе синтеза всякого фильтра является отыскание передаточной функции (в операторной или в комплексной форме), которая отвечает условиям практической реализуемости и одновременно обеспечивает получение необходимой АЧХ или ФЧХ (но не обеих) фильтра. Этот этап называется аппроксимацией характеристик фильтров. Таким образом, первой задачей синтеза является нахождение функции, с помощью которой можно построить фильтр, АЧХ которого должна удовлетворять условиям физической реализуемости и техническим требованиям, предъявляемым к устройству, также должна наилучшим образом приближаться к идеальной АЧХ, изображенной на рисунке 1. Процесс нахождения такой функции называют аппроксимацией. Характер аппроксимации зависит от выбора критерия качества аппроксимации.

Исходной функцией для решения задачи аппроксимации служит идеальная низкочастотная АЧХ (рис. 1а). Функция, аппроксимирующая эту характеристику, должна иметь квадрат модуля, близкий к единице в диапазоне частот пропускания , где W = f / f_п – нормированная (относительная) частота, и стремиться к нулю вне этого диапазона.

Любая физически реализуемая электрическая цепь имеет коэффициент передачи в виде аналитической дробно рациональной функции комплексной переменной

 

, (3)

 

где U_вых(p), U_вх(p) –комплексные напряжения на выходе и входе электрической цепи; b_i(i=0,…,m), a_j(j=0,…,n-1) –вещественные коэффициенты, зависящие от физических параметров цепи; m, n - степени полиномов числителя и знаменателя, m £ n. Поэтому задача аппроксимации состоит в том, чтобы из всех функций класса (3) выбрать такие, квадрат модуля которых наилучшим образом приближается к единице в пределах полосы пропускания фильтра и к нулю вне ее характера, а точность аппроксимации зависит от критерия качества аппроксимации. Если по условиям задачи необходим монотонный характер аппроксимации, т.е. критерием качества аппроксимации служит ее монотонность, то наилучшей аппроксимирующей функцией будет та, которая обеспечивает наилучшую точность аппроксимации, т.е. наименьшее DçКç²инаибольшую крутизну АЧХ в переходной области. Из всех монотонных функций класса (3) одинакового с ней порядка n, наилучшей аппроксимирующей является та, которая при одинаковой точности аппроксимации имеет наименьший порядок, т.е. проще для реализации. Монотонную аппроксимацию осуществляют методом Тейлора. При этом наилучшими являются функции класса (3), квадрат модуля которых выражается через полиномы Баттерворта. Так аппроксимацию называют аппроксимацией по Баттерворту. Частотная характеристика фильтра Баттерворта в пределах полосы пропускания весьма близка к равномерной, и ее называют максимально плоской. Наклон переходного участка характеристики фильтра Баттерворта равен 6 дБ/октава на полюс. Таким образом, фильтр Баттерворта восьмого порядка будет иметь наклон переходного участка характеристики, равный 48 дБ/октава. Фильтр Баттерворта имеет нелинейную фазово-частотную характеристику; другими словами, время, которое требуется для прохождения сигнала через фильтр, зависит от частоты нелинейно. Поэтому ступенчатый сигнал или импульс, поданный на вход фильтра Баттерворта, вызывает выброс на его выходе. Используется фильтр Баттерворта в тех случаях, когда желательно иметь одинаковый коэффициент усиления для всех частот в полосе пропускания. На рис. 3 показана частотная характеристика фильтра Баттерворта нижних частот.

Иногда возможен немонотонный характер аппроксимации. Например, наилучшей из класса функций (3) одинакового порядка, обеспечивающих такую аппроксимацию, будет та функция, которая обеспечивает наилучшую точность (наименьшее DçКç²и наибольшую крутизну АЧХ в переходной области) или при одинаковой точности имеет наименьший порядок. Оптимальными в указанном смысле являются функции класса (3), квадрат модуля которых выражается через полиномы Чебышева. Такую аппроксимацию называют аппроксимацией по Чебышеву. По характеру аппроксимации она является разноволновой вполосе пропускания.

Рисунок 3. АЧХ фильтров Баттерворта нижних частот.

1-однополюсного (первого порядка); 2-двухполюсного (второго порядка); 3-трехполюсного (третьего порядка); 4-четырехполюсного (четвертого порядка);

 

На рисунке 4 представлены АЧХ фильтров нижних частот, аппроксимированных полиномами Чебышева. Если возможна немонотонность аппроксимации за пределами полосы пропускания, то используют дробную аппроксимацию. В этом случае квадрат модуля передаточной функции выражают через дробь. При этом коэффициент передачи на некоторых частотах полосы заграждения обращается в нуль. Эти частоты выбирают из условия обеспечения изоэкстремальности (равенства максимумов АЧХ вполосе задерживания) или равными частотам спектра сигнала, которые необходимо подавить.

Рисунок 4. АЧХ фильтров Чебышева нижних частот.

1-второго порядка с неравномерностью в полосе пропускания 0,5 дБ; 2- второго порядка с неравномерностью в полосе пропускания 1 дБ 3- второго порядка с неравномерностью в полосе пропускания 2 дБ; 4- второго порядка с неравномерностью в полосе пропускания 3дБ; на участке А начальный наклон на переходном участке превышает 6 дБ/октава; на участке В скорость изменения ослабления приближается к 6 дБ/октава на один полюс.

 

Если возможна немонотонность (колебательный характер АЧХ как в полосе пропускания, так и в полосе задерживания), то применяют дробь Золотарева

. Она обеспечивает равноволновое приближение в полосе пропускания и изоэкстремальное в полосе задерживания. Такую аппроксимацию называют аппроксимацией по Золотареву или аппроксимацией по Кауэру.

При выборе вида аппроксимации следует учитывать следующее. При равных порядках аппроксимирующих функций аппроксимация по Золотареву обеспечивает наиболее крутой спад АЧХ в переходной области, т.е. наибольшую избирательность при малых расстройках. Кроме того, в полосе задерживания некоторые частоты полностью подавляются (нули передачи). Но при больших расстройках избирательность фильтров, аппроксимированных по Чебышеву и Баттерворту, может оказаться лучше. Аппроксимация по Чебышеву обеспечивает лучшую избирательность (при любых расстройках) по сравнению с аппроксимацией по Баттерворту. Однако фазовая характеристика фильтра, аппроксимированного по Баттерворту, наиболее линейна. Наименее линейна фазовая характеристика фильтра, аппроксимированного по Золотареву.

Таким образом, реализация одних и тех же требований к АЧХ (при сравнительно небольших расстройках) осуществляется проще всего при аппроксимации по Золотареву (наименьшее n) , а сложнее всего по Баттерворту (наибольшее n).