 |
|
Преобразование частот
Очередным этапом проектирования является преобразование частот. Для унификации расчетов задача аппроксимации АЧХ любого фильтра ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ сводится к аппроксимации АЧХ ФНЧ, частотная характеристика которого является функцией нормированной частоты W. Переход от проектируемого фильтра к расчетному осуществляется путем замены переменной в выражениях, определяющих функцию передачи цепи. Поскольку независимой переменной в аппроксимирующей функции является частота, то замену переменной называют преобразованием частоты. Такое преобразование изменяет масштаб частот и позволяет трансформировать функцию передачи реализуемого фильтра, получая ее низкочастотное изображение. Для этого изображения и решается задача аппроксимации. После того какаппроксимация выполнена, производят обратный переход от низкочастотного изображения к проектируемому фильтру посредством обратной замены переменной внайденной (аппроксимированной) функции передачи.
| |
, (9)
где W- нормированная (относительная) частота сигнала, 
,
,
– абсолютная частота сигнала,
– частота нормирования.
При этом: 
для ФНЧ и ФВЧ; 
для ПФ и РФ.
После нормирования выполняют преобразование частоты (для ФНЧ преобразование ограничивается нормированием) и аппроксимацию НЧ-функции изображения. Аппроксимацию завершают определением полюсов и нулей НЧ-изображения. Затем осуществляют обратный переход от полюсов и нулей НЧ -изображения к полюсам и нулям искомой передаточной функции. По этим полюсам восстанавливают искомую передаточную функцию и рассчитывают физические параметры цепи: коэффициент затухания d,нормированную собственную частоту цепи W0. После денормирования, в соответствии с выражением (9), вычисляют абсолютное значение собственной частоты цепи 
.Значения w0 и d служат исходными данными для расчета параметров элементов цепи – конденсаторов и резисторов.
Построение ВЧ-функции с помощью НЧ-функцииосуществляется с помощью выражения
S = 1/p, (10)
где S – комплексная частота НЧ–функции изображения; p = jW – комплексная частота ВЧ-функции.
Порядок преобразования заключается в выполнении следующих шагов:
1. Выполняется нормирование заданных частот по формуле (9);
2. Задаются исходные величины, определяющие ВЧ-функцию: затухание в полосе пропускания ап, затухание в полосе задерживания aз и нормированная граничная частота задерживания Wз¢;
3. Выбирается вид аппроксимации и с помощью формул (5)–(8) определяется порядок НЧ-изображения. При этом следует иметь в виду, что 
;
4. Для найденного значения n по соответствующим таблицам определяются значения полюсов (и нулей) НЧ-функции изображения;
5. На основании соотношения (10) находятся полюса (и нули) ВЧ-функции;
6. С помощью полученных данных находят физические параметры звеньев синтезируемого ФВЧ:
7.
, (11)
, (12)
где li – действительная часть полюса; Wi – мнимая часть полюса;
8. Переход от НЧ-функции изображения к синтезируемому ФВЧ завершается денормированием в соответствие с (9) частот нулей передачи Wzвi и собственных часттот W0 звеньев ФВЧ.
Построение полосно-пропускающей (ПП) функции ПФ с помощью НЧ-изображениявыполняетсяс помощью преобразования [1]
, (11)
где S – комплексная частота НЧ–функции изображения;
p = jW – комплексная частота ПП-функции;
DW = (fпв – fпн)/fср - нормированная полоса пропускания ПФ.
Порядок преобразования заключается в выполнении следующих шагов:
1. Выполняется нормирование заданных частот по формуле (9);
2. Задаются исходные величины, определяющие ПП-функцию: нормированная полоса пропускания ПФ ∆W, затухания в полосе пропускания aп и полосе задержки aз;
3. Выбирается вид аппроксимации и с помощью формул (6), (7) или (8) определяется порядок функции НЧ –изображения. При этом надо учесть, что при преобразовании (11) полосе пропускания ПФ (fпв – fпн) соответствует нормированная граничная частота полосы пропускания НЧ–функции изображения 
. Полосе частот (fзв – fзн) соответствует нормированная граничная частота полосы заграждения НЧ-функции изображения:
4.
. (12)
Таким образом, в формулах (6)–(8) Wз=W'з;
5. Для найденного значения nпо соответствующей таблице определяются значения полюсов (и нулей, если дробная аппроксимация) НЧ-функции. Решая (11) относительно p, найдем полюсы pj ПФ, через полюсы Sj НЧ–функции изображения.
. (13)
Подстановка в (13) комплексно-сопряженных полюсов 
приводит к соотношениям для нахождения полюсов ПФ.
,
(14)
,
где 
; 
; lнj и Wнj – действительная и мнимая части j–го полюса НЧ–функции изображения.
В узкой полосе пропускания, когда 
, симметрия функции ПФ приближается к арифметической [Dfср = 0,5(fпв + fпн)] и соотношения (16) упрощаются:
. (15)
Точность соотношения (15) возрастает с уменьшением полосы пропускания и достаточна для практики при DW = 0,2 - 0,4 [3].
При дробной аппроксимации аппроксимирующая функция характеризуется не только полюсами, но и нулями передачи. Поскольку нули передачи преобразуют по тому же закону, что и полюсы, то подставляя в соотношение (13) нули Zнj = ±jWzнj НЧ – функции изображения, получим нули ПФ
; 
, (16)
где
, (17)
. (18)
6. По найденным полюсам определяются физические параметры звеньев W0 и l в соответствии с соотношениями (11) и (12). Как видно, порядок передаточной функции РФ удваивается в сравнении с НЧ-функцией-изображения;
7. Переход от НЧ–функции изображения к синтезируемой функции ПФ завершается денормированием по (9) частот нулей передачи Wzн, Wzв и собственных частот звеньев W0.
Построение полосно-задерживающей (ПЗ) функции РФ с помощью НЧ-изображениявыполняетсяс помощью преобразования [1]
, (19)
где S – комплексная частота НЧ–функции изображения;
p = jW – комплексная частота ПП-функции;
DW = (fзв – fзн)/fср - нормированная полоса заграждения РФ.
Порядок преобразования тот же самый, что и в случае для ПФ, только:
В пункте 3: полосе частот (fпв – fпн) соответствует нормированная граничная частота полосы задержания НЧ–функции изображения
, (20)
а нормированная граничная частота полосы пропускания НЧ–функции изображения остаётся прежней;
В пункте 4: при обратном преобразовании, решая (19) относительно p, находим полюсы РФ из выражения
, (21)
отсюда
,
(22)
,
где 
; 
; lнj и Wнj – действительная и мнимая части j–го полюса НЧ–функции изображения. Нули РФ находятся также из (21).
Порядок передаточной функции РФ удваивается в сравнении с НЧ-функцией-изображения.