Главная | Обратная связь

Тема: Множина цілих невід’ємних чисел.

Навчальне заняття № 27

Лекція 3.1

 

Тема: Множина цілих невід’ємних чисел.

П л а н

 

1. Короткі історичні відомості про виникнення і розвиток поняття натурального числа і нуля.

2. Властивості множини натуральних чисел.

3. Натуральне число як кількісна характеристика класу еквівалентних скінчених множин.

4. Відрізок натурального ряду чисел та лічба предметів.

5. Властивості множини цілих невід’ємних чисел.

6. Порівняння натуральних чисел за величиною.

7. Теоретичні основи порівняння чисел в початковій школі.

 

1. Поняття натурального числа являється одним з основних понять математики. Виникло воно, як і вся наука математика, з практичних потреб людини. Складалось воно поступово в процесі розв’язування більш складних спочатку практичних, а потім теоретичних питань. Причиною, яка привела людину до створення натурального числа, є необхідність порівнювати скінченні множини між собою.

В своєму розвитку поняття натурального числа пройшло декілька етапів.

З давніх-давен людина мала справу з багатьма різноманітними множинами. Досить довго вона не мала чіткого уявлення про їхню чисельність. Елементи конкретної множини розпізнавались за їхніми певними якісними ознаками: формою, розміром, кольором тощо. Ці ознаки допомагали людини судити про чисельність множин, звичайно тільки наближено.

З часом для порівняння чисельності двох множин стали встановлювати відповідність між їхніми елементами. Потім було помічено, що для утворення уявлень про чисельність множин краще порівнювати їх з однією і тією ж самою множиною ( множиною пальців, камінців, вузликів тощо). При цьому про чисельність групи з п’яти предметів говорили, що їх стільки, скільки пальців на одній руці. На цьому етапі розвитку людини число ще не відокремилось від використовуваної множини, але таке порівняння множин поступово вело до поняття натурального числа.

Минуло багато тисячоліть, перш ніж людина усвідомила, що п’ять пальців, п’ять камінців і п’ять вузликів мають ту загальну властивість, яка виражається словом „п’ять”. Після відокремлення поняття про натуральне число від своєї матеріальної основи воно стало існувати як самостійна сутність, що виражає ту загальну властивість, яку має клас еквівалентних множин.

Деякі народи ще до недавнього часу лічили за допомогою пальців. Видатний російський учений і мандрівник Міклухо-Маклай (1846-1888) так описує лічбу папуасів – жителів островів Нової Гвінеї. „Улюблений спосіб лічби полягає в тому, що папуас загинає один за одним пальці руки, примовляючи бе-бе-бе... Долічивши до п’яти, говорить „ібон-бе” (рука). Потім він загинає пальці другої руки і знову повторює „бе-бе-бе”, поки не дійде до „ібон-алі” (дві руки). Потім іде далі, примовляючи „бе-бе-бе” поки не дійде до „самба-бе” ( одна нога) і „самба-алі” (дві ноги). Якщо треба лічити далі, папуас користується пальцями рук і ніг кого-небудь іншого”.

Ще в ХІХ ст. деякі „американські індійці при лічбі замість „один” говорили „палець”, замість „два” – „два пальці” і обов’язково показували їх. Замість „п’ять” – „рука”, „шість” – „рука і один палець” та інш.

Ескімоси із Північної Канадизамість 20 говорили ”людина”, замість 100 – „5 чоловік”. Деякі індійські племена в Бразилії лічили тільки до п’яти, а все що більше п’яти, в них означало „багато”, причому показуючи, що число більше п’яти, вони ворушили на голові волосся. В Австралії були племена, у яких для лічби використовувалися лише два числівники – один і два, а число три називали як один-два, чотири – два-два, п’ять – два-два-один і т.д.

Аналогічно лічили пальці греки. Ідея нескінченності натурального ряду чисел освоювалась дуже повільно. Найбільшим числом спочатку було число 3, потім 7, далі 13, пізніше – 40. Звідси різні приказки і числові марновірства: „тричі благословенний”, „тричі проклятий”,” сім раз відмір, раз відріж”, „один з сошкою, семеро з ложкою”, „за кусок кишки – сім верст пішки”, „13 – чортова дюжина”. Ще й тепер деякі люди вважають число 13 нещасливим і уникають його. В царській Росії не було 13 номера трамвая, в Лондоні і тепер немає будинків за номером 13, є клуб боротьби з числом 13. Сороковий ведмідь вважався останнім у житті мисливця.

З часом люди навчилися не лише називати числа, але і позначати їх, а також виконувати над ними дії. Багато складностей було розв’язано в результаті виникнення в стародавній Індії десяткової системи запису чисел і поняття нуля. Поступово склалося поняття про нескінченість множини натуральних чисел.

Після того, як поняття натурального числа сформувалося, можливість вивчати їх як математичні об’єкти. Наука, яка стала вивчати числа і дії над ними, одержала назву „арифметика”.

Історична довідка. Назва науки „арифметика” походить від грецького слова (аріфмос) – число. Так як греки вважали числом тільки цілі числа, більші від одиниці, то їх арифметика була наукою про цілі числа, про властивості чисел. Мистецтво лічби і правила операцій над числами відносились до „логістики” – науки нижчого порядку. В російську мову слово ввійшло в ХУІ ст.. Математичні рукописи того часу, за рідким виключенням, починалися однаково: „Книга, ре кома на гречечки арифметика, а по немецки алгоризма, а по русаки цифирная счетная мудрость” Перша друкована книга з арифметики була видана анонімно в Італії в 1478 році.

 

ЦИФРА. Індійські математики називали знак, який означає відсутність деякого розряду, словом „сунья” – пустий. Араби переклали цей термін за змістом і одержали слово „сифр”. Звідси пішла назва „цифра”, яке ввійшло в європейську культуру. Спочатку воно означало нуль, потім (вже в ХУ ст.) цим словом стали називати всі числові знання.

Назва „арабські цифри” історично не вірно, так як наша система числення бере початок з Індії. Допускають, що в європейську математику ці цифри ввів франц. вчений Герберт, який для поповнення освіти їздив в Іспанію, де і познайомився з досягненнями арабських вчених, в тому числі – з „арабськими цифрами”. Леонардо Пізанський першим з відомих європейських математиків прийняв арабські цифри і поширив їх. Але ще в 1299 р. Флорентійська влада забороняла використовувати арабські цифри.

Форма цифр майже не змінилася з тих пір, як вони з’явилися в друкованих творах (1482 – 1489): 0 і 1 завжди зберігали свою форму, 2 в західно-арабських цифрах писалася „головою вниз” - , 3 – зберегла форму; цифра 4 з’явилася вперше в ХШ ст.. Доля цифри 5 така ж, як і 2. Цифра 6 майже сучасної форми зустрічалася вже в 500 р. Н.е.; 7 – наймолодша цифра, її не можна знайти раніше ХУ ст. і ХУП ст..; 8 і 9 зустрічаються так, як і 6, вже в 500р.

Стосовно римських цифр, то спочатку цифри від 1 до 9 позначалися вертикальними паличками. Перекреслення числа означало збільшення в 10 разів: І = 10, ІІ = 20, 5 позначає У або /\, тобто половина від 10. Пізніше було введено позначення С для 100( від слова „centum” – „сто”) і М – для 1000 ( від Mille – „тисяча”).

В грецькій математиці роль цифри грали букви алфавіту, тобто альфа означала 1, бета – 2, гама – 3 і т.д. Букви і, ксі, лямбда – означали – 10,20,30... Ро, сигма, тау – означали відповідно 100, 200, 300... Щоб в тексті не переписувати число зі словом, над числами зверху ставлять риску. Наприклад, 742 записували як: фі, мю, бета та зверху них риска.

 

 

2. Як відомо, числа 1,2,3,4... називаються натуральним рядом чисел. Множина цих чисел називається множиною натуральних чисел і позначається буквою N. N = 1,2,3,4,5...

Натуральний ряд чисел починається з одиниці. Щоб розглянути інші властивості множини натуральних чисел, спочатку введемо поняття щільності множини і дискретності.

Упорядкована множина називається ЩІЛЬНОЮ, якщо для будь-яких двох її елементів а і в, де в слідує за а, завжди існує принаймні один проміжний елемент с, який слідує за а і передує в.

Упорядкована множина називається дискретною , якщо для кожної пари її елементів а і в існує проміжний елемент.

Множина натуральних чисел – упорядкована.

Для будь-яких двох нерівних натуральних чисел вважають, що менше число передує більшому, а більше слідує за меншим. Для відношень „більше”, „менше” має місце властивість транзитивності, тим самим встановлено, що множина натуральних чисел є упорядкованою множиною. Розміщуючи елементи цієї множини так, щоб із двох натуральних чисел (а і в) більше завжди слідувало за меншим, дістанемо послідовність 1,2,3,4,5,.. яку називають натуральним рядом чисел.

Множина натуральних чисел є дискретна. Не для всяких двох її елементів існує проміжний елемент. Наприклад, немає натурального числа, яке було б проміжним між числами 2 і 3, 5 і 6, та інш, тобто між будь-якими сусідніми натуральними числами.

Множина натуральних чисел – нескінченна. Не існує найбільшого натурального числа, бо яке б не взяли натуральне число а, за ним слідує безпосередньо натуральне число в, яке буде кількісною характеристикою множини В, утвореної із множини А приєднанням до неї ще одного елемента.

Історична довідка. Нескінченність множини натуральних чисел довів ще грецький математик Евклід.Та в давній час поняття нескінченності не сприймалося більшістю математиків. Так відомий француз. Математик ХІХ ст. Коші твердив, що „один Бог нескінченний, крім того все скінчене”. А італійський математик Гранді (ХУШ ст.) намагався використати ідею нескінченності для „доведення” існування Бога і створення Богом матеріального світу з нічого.

Суть цього „доведення” зводилось до таких міркувань:

(1-1)+(1-1)+(1-1)+... = 0

Сума 1-1+1-1+1-1+.... = 1+(-1+1) +(-1+1)+... = 1

 

Звідси виходить, що 0=1, але нуль – це „нічого”, а 1 – ціле, все. Отже Бог „з нічого створив все”.

В основі цього софізму лежить механічне поширення властивостей скінчених множин на множини нескінчені, які мають свої особливості: адже тільки нескінченна множина може бути еквівалентна своїй правильній частині. Поняття нескінченності не може ототожнюватись із поняттям „багато” і поширювати на нього властивості скінченого. „Багато” елементів, якби їх не було багато, завжди їх можна полічити, принаймні теоретично можливо поставити у відповідність цілком певне натуральне число. Полічити ж всі елементи нескінченної множини не можна навіть теоретично.

 

3. Натуральне число як кількісна характеристика класу еквівалентних скінчених множин.

При вивченні початкового курсу математики до поняття про натуральне число приходить від поняття про множину. Сонце, Місяць, Земля та інші одноелементні множини є наочним прикладом поняття про число 1. Очі, руки, вуха, ноги людини, крила птаха тощо ілюструють поняття про число 2. Три палички, три сторони трикутника, три яблука – про число 3 і т.д.

Як бачимо, число 1 є спільною характеристикою всіх одноелементних множин. Тому такому класу множини природно поставити у відповідність 1 і навпаки його клас „один”. Аналогічно, число 2 є спільною характеристикою еквівалентних скінчених множин, які є множинами класу „два” і т.д.

Якщо продовжити цей процес далі, то щодо відношення еквівалентності всі скінчені множини розбиваються на класи еквівалентних множин, причому будь-які дві множини одного класу є еквівалентними, а різних – ні. Тому між множиною всіх класів множин і множиною всіх натуральних чисел встановлено взаємно однозначну відповідність.

Отже, кожній скінченій множині відповідатиме одне і тільки одне натуральне число – інваріант класу еквівалентних множин. Таким чином, з теоретико-множинної точки зору кількісне натуральне число є спільною властивістю класу скінчених еквівалентних множин.

 

Множина Множина Множина

Класу класу класу

Один два …. „n”

 

 

| | |

1 2 n

 

 

Кількісним натуральним числом називається кількісна характеристика деякого класу скінчених еквівалентних між собою множин.

Натуральне число а , будучи інваріантом класу еквівалентних скінчених множин А_, А₁, А_{2 ...}є разом з тим і характеристикою чисельності кожної з цих множин.

А еквів. А₁ еквів. А₂ .....еквів. А_n

| | | |

а

Отже, кожній скінченій множині відповідає одне і тільки одне натуральне число, а кожному натуральному числу відповідає безліч еквівалентних між собою скінчених множин.

 

Число „нуль” з теоретико-множинної точки зору відповідає порожній множині: n ( 0 ) = 0.

 

 

4. Поняття натурального числа розвивалось у двох напрямках. Один напрямок – через безпосереднє встановлення взаємно однозначної відповідності між скінченими множинами. Він привів до поняття натурального числа як кількісної характеристики певного класу скінчених еквівалентних множин. При цьому натуральне число називається кількісним або кардинальним.

Другий напрямок розвитку поняття натурального числа пов’язаний з визначенням за допомогою натурального числа місця знаходження елементів будь-якої зчисленної впорядкованої множини. Він привів до поняття порядкового натурального числа або до ординального числа.

Відповідно до двох функцій натурального числа існує теоретико-множинна, або кількісна теорія натурального числа і порядкова або аксіоматична теорія.

Обидві функції поняття натурального числа тісно пов’язані між собою. Справді, рахуючи елементи деякої множини М, говоримо: „перший”, „другий”...

Якщо при цьому вичерпані всі елементи множини М, то процес лічби закінчується і останнє назване порядкове натуральне число m вказує на кількісну характеристику даної множини – число її елементів.

Як бачимо, для встановлення числа елементів даної множини М, була використана множина 1,2,3.., яке є відрізком натурального ряду.

Відрізком N _a натурального ряду називається множина всіх послідовних натуральних чисел, які не перевищують натурального числа а.

Поняття відрізка натурального ряду чисел дає змогу уточнити поняття лічби елементів даної множини. Оскільки в процесі підрахунку елементів множини М кожному її елементу ставиться у відповідність єдине число з відрізка N _a, то можна дати таке означення лічби елементів.

Лічбою елементів множини М називається встановлення взаємно однозначної відповідності між множиною М і відрізком N _a натурального ряду.

Число аназивається числом елементів у множинні М і пишуть: n(M)=a. Число а є кількісним натуральним числом.

Таким чином, під час лічби елементи скінченої множини М не тільки розміщуються в певному порядку (при цьому використовуються порядкові натуральні числа, що виражаються числівниками „перший”, „другий”...) а й встановлюються також, скільки елементів має множина М( при цьому використовуються тільки натуральні числа, що виражаються числівниками ”один”, „два” ...).

Порядкове число вказує на місце, яке займає предмет під час лічби, і відповідає на запитання „Яким по порядку є даний предмет?”. Кількісне натуральне число відповідає на запитання: „Скільки елементів має дана множина?”.

 

5. Множиною цілих невід’ємних чисел називається множина, що утворюється приєднанням до множини натуральних чисел одноелементної множини 0.

Нуль у цій множині ставиться перед числом 1. Отже, упорядкована множина 1,2,3... називається множиною або послідовністю цілих невідомих чисел і позначається N ₀.

 

Історична довідка. Слово „нуль” походить від латинського nulus – ніщо, порожній. Являється характеристикою порожньої множини. Нуль не є натуральним числом. Воно не має всіх властивостей натуральних чисел і, навпаки, має ряд специфічних властивостей, яких не мають натуральні числа.

 

Множина цілих невід’ємних чисел має всі три властивості, що і натуральний ряд чисел. Це множина упорядкована, дискретна і нескінчена. Ці властивості наочно добре уявити за допомогою числового променя, початкові якого відповідатиме число нуль і при вибраній одиниці масштабу кожному наступному числу одна єдина точка променя. Але не кожній точці променя відповідає натуральне число.

0 1 2 3 4 5 6 х

Так, між точками 1 і 2 є безліч точок,яким відповідають інші не натуральні числа ( дробові, ірраціональні). Нескінченість множини цих невід’ємних чисел також наочно підтверджується нескінченістю променя.

 

 

6. Два натуральних числа а і в називаються рівними тоді і тільки тоді, коли відповідні їм скінчені множини еквівалентні, і нерівні, коли ці множини не еквівалентні. Тобтоа = вколи А еквівалентно В і а = в тоді і тільки тоді коли А еквів. В.

Оскільки еквівалентні скінчені множини належать до одного класу і їм відповідає одне те саме натуральне число, то два рівних натуральних числа по суті є тим самим натуральним числом.

Які б не були натуральні числа а і в, завжди має місце одне із співвідношень: а = в або а = в.

 

Натуральне число а називається меншим за натуральне число в, що позначається а < в , тоді і тільки тоді, коли множина А є власною підмножиною множини В, або А еквівалентно деякій власній підмножині множини В. Тобто:а< в, якщо А В або А В^/ де В^/ В.

Аналогічно:а> в, якщо В А або В А^/ де А^/ А.

Властивості множин і чисел:

1. Властивість рефлексивності рівності і антирефлексивності нерівності.

А А , а = а А А а а

2. Властивість симетричності рівності і антисиметричності нерівності.

 

3. Властивість транзитивності рівності і нерівності.

 

7. В початкових класах з порівнянням чисел учні знайомляться вже під час вивчення нумерації чисел першого десятка.

1) При порівнянні чисел в межах 20 використовують означення відношень „ дорівнює” і „менше”.

Озн.1. Числа а і в рівні, якщо вони визначаються рівнопотужними множинами.

Озн.2. Якщо множина А рівнопотужна власній підмножині В і n(А) = а , то кажуть, що число а менше числа в, і пишуть: а < в

Або кажуть, що в більше а, і пишуть: в> а

 

 

Приклад 1. Порівняти кількість кружечків і квадратів.

- Скільки кружечків? (4)

- Скільки квадратів? (4)

- Чи однакова кількістьб? (Так)

Отже 4=4.

З теоретико-множинної точки зору: є дві множини. А – множина кружечків, В- множина квадратів. n (А) = 4, n(В) = 4. Ці множини рівнопотужні, бо n(А) = n(В) = 4. Отже, 4=4.

 

Приклад 2. Порівняти три кружечки і чотири квадрати.

Для порівняння використовуємо один із способів (накладання, прикладання, вкладання) – накладання. Накладаємо кожен кружечок на квадрат. Один квадрат зайвий. Отже кружечків менше, а квадратів більше, тобто 3 менше 4 або 4 більше 3.

З теоретико-множинної точки зору: є дві множини : А – множина кружечків, В – множина квадратів. n(А) =3, n(В) = 4. В множині В виділили підмножину В^/ еквів. А, n(В^/) = n (А) = 3. Але в множині В є ще інші елементи. Отже, кількість елементів множини В більша. Висновок: 3 менше 4, чотири більше трьох.

 

 

2) Порівняння цілих невід’ємних чисел.

Нехай а < в. Тоді а= n(А), в=n(В), і А В , де В В.

 

Висновок:

Число а < в тоді і тільки тоді, коли існує таке натуральне число с, що а + с = в.

Використання:Порівняти числа 4 і 9. Так існує таке натуральне число 5, що 9=4+5, то 4 менше 9.

 

3) Нехай а < в. Тоді про будь-яке натуральне число х можна сказати, що якщо х< а , то х < в. Це означає, що при а < в відрізок N_a натурального ряду чисел є власною підмножиною відрізка N_b .

Висновок: Число а менше числа в тоді і тільки тоді, коли відрізок натурального ряду N є власною підмножиною відрізка цього ряду N