Главная | Обратная связь

Тема: Позиційні і непозиційні системи числення

Навчальне заняття № 28

Лекція 3.2

Тема: Позиційні і непозиційні системи числення

П л а н

1. Короткі історичні відомості про розвиток способів запису цілих невід’ємних чисел.

2. Запис і читання чисел в десятковій системі числення, в інших позиційних системах числення.

3. Порівняння чисел в різних позиційних системах числення

4. Перехід від однієї позиційної системи числення до іншої.

 

1. Сьогодні, виконуючи певні обчислення, ми, в основному, користуємося десятковою системою числення. А чи задумувались ви коли-небудь над тим, як давно вона виникла?

Історики вважають, що десяткова система числення склалася в Індії приблизно в У-УІ ст. н.е. Потім у індійців цю систему запозичили араби в ІХ ст. Через арабів вона поширилася в Західній Європі у ХІІ ст. після виходу латинського перекладу книги узбецького вченого аль-Хорезмі „Трактат з арифметики”. Оскільки ця книга була написана арабською мовою, яка в ті часи була найкращою у науковій літературі народів Близького і Середнього Сходу та Середньої Азії, то за цифрами незаконно закріпилась назва арабських.

В Росії індійські цифри витіснили слов’янську нумерацію у ХУІІ-ХУІІІ ст. У першому російському підручнику з арифметики Л.П. Магницького (1703р.) нумерація сторінок ще велась слов’янськими цифрами. Запровадження десяткової системи числення на Русі було зупинено монгольським ігом.

А як же люди записували числа до виникнення десяткової системи числення?

Поняття числа виникло в далекій давнині. Тоді ж виникла необхідність в запису чисел. Ще до появи письменності люди вміли називати числа, вести лічбу. Під час лічби вони використовували пальці рук і ніг, палички із зарубками, мотузки з вузликами тощо. Згодом вони стали лічити групами, адже записувати досить великі числа за .лічба парами.

Вона виникла, коли людина вела лічбу не на пальцях, а за допомогою рук, тобто, коли одиницею найнижчого розряду була одна рука, одиницею вищого розряду –дві руки. Залишки цієї системи залишились до наших часів. І сьогодні ми часто лічимо парами. Лічба на пальцях обумовила виникнення п’ятіркової, десяткової, двадцяткової та інших систем числення.

Щоб не позначати багато зарубок або рисочок стали позначати певні групи їх одним знаком. Про це свідчать клинописні стародавніх шумерів і вавілонян, ієрогліфи єгиптян і китайців.

В стародавньому Вавилоні рахували групами по 60 одиниць, тобто система числення була шести десятирічна. Для запису чисел використовувались різні положення клина: вертикальне - гострою частиною вниз і горизонтальне – гострою частинкою вліво. Знак .означав одиницю і шістдесят, знак десяток. Ці клини вавілонці видавлювали на глиняних табличках, які потім сушили числа записували за допомогою цих знаків і дій додавання. Так, число 135 записували як., що означало 60 + 60 +10 + 5 = 2 х 60 + 15= 135.

Чому вавилонська система числення була шести десятирічною? Складно сьогодні відповісти на це запитання. Але достовірно відомо, що стародавні вавілоняни мали досить великий запас знаків в різних областях: математиці, астрономії. Можливо основою для створення шести десятирічної системи числення стало ділення кола на 360 рівних частин, які вони провели у відповідності з діленням року на 360 днів. Щоб не лежало в основі даної системи – залишки її існують і сьогодні. Це і поділ кола на 360⁰ ,і вимірювання кутів градусами, хвилинами і секундами, і вимірювання часу годинами, хвилинами, секундами. Вавілонська система числення була позиційною. Значення її символів залежить від їхніх позицій у запису числа.

Стародавні єгиптяни рахували десятками. Але спеціальні знаки у них були тільки для розрядів: одиниць, десятків, сотень, тисяч і т.д. Так число один єгиптяни зображали ієрогліфом -........, 10 -........., 100 – С, 1000 - ........... Числа від одного до десяти записували як суму одиниць.

Наприклад, число 113 записували так: С.............., а число 1314 мало вигляд ......ССС........

Записи вели фарбами на папірусі. Інколи матеріалом для запису були каміння, дерево, черешки, сикура. Текст записували строчками справа наліво або стовпцями згори вниз.

Деякі єгипетські папіруси збереглися до наших днів. Один з них, під назвою „Московський математичний папірус” зберігається в Державному музеї зображувальних мистецтв ім. О.С.Пушкіна в Москві і датується 2000-1800 р. до н.е. Єгипетська система числення була не позиційною.

Важливий внесок у науку про число зробили стародавні греки. Вони використовували непозиційну алфавітну систему числення. Перші дев’ять букв алфавіту зображували числа від 1 до 9, наступні дев’ять букв – десятки і останні дев’ять букв – сотні. Щоб відрізняти числа від слів, над числами проводили риску. Так число 543 записувалось так:(-500,-40,-3), число 133: (- 100,-30,-3). Для зображення великих чисел Архімед розробив більш зручну десяткову систему числення. Проте й вона була не позиційною.

Культура Київської Русі була тісно пов’язана з грецькою культурою Візантії. Тому числа також зображувались буквами. У великому словенському численні використовувались також розрядні одиниці, як тьма. – 10000, легтон 100 000, лорд - .1.000.000 і 10²⁴ , ворон 10.000.000 і 10⁴⁸ , колода 100.000 000 і 10⁴⁹ і т.д.

У слов’янській нумерації було 2 способи лічби великих чисел: „Мале слов’янське числення” і „Велике слов’янське числення”. У малому слов’янському численні: 10⁴ тьма, 10⁵ – легтон, 10⁶ – лорд-тьма, лорд-лечтон легтонів – 10²⁴ , ворон-леорд леодрів – 10⁴⁸. Найбільшою розрядною одиницею, що мала спеціальну назву, було число колода – десять воронів ( 10⁴⁹ або сто воронів (10^50).

З цих стародавніх систем числення найбільш поширеною є римська. У цій системі вузлові числа записували так: 1- І, 5 – У, 10 –Х, 50 –L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M. Решту чисел записували цими основними за принципом додавання або віднімання. Якщо менша цифра стоїть справа від більшої, то вона додається до неї, причому вона може повторюватися не більше трьох разів; якщо менша цифра стоїть зліва від більшої, то вона віднімається від неї, причому тут повторення меншої цифри не допускається.

Наприклад, 256 – ССLVI, 399 – CCCXCIX, 400 – CD, 1991 – MCMXCI, 2004- MMIV.

Римською нумерацією користуються і тепер. В римській системі були вже загадки позиційного принципу: тисячі записувались тими самими знаками, що й одиниці, тільки з індексом m ( від слова mili – тисяча) внизу або з рискою згори.

Наприклад, 536536 - DXXXVIm DXXXVI або DXXXVI DXXXVI.

Отже, римська система числення була частково позиційною.

 

2.Сучасній людині неможливо прожити без чисел, тому ми повинні вміти правильно називати і записувати числа, а також виконувати над ними дії. І ми можемо це робити. Чому ? Та тому, що поступово створився досить зручний спосіб запису чисел, який має назву десяткової системи числення.

Системою числення або нумерацією називається сукупність правил і знаків або слів, за допомогою яких можна записати письмово або назвати усно будь-яке натуральне число.

Натуральне число, зображене у певній системі числення, називають систематичним або системним числом.

У десятковій системі числення для запису будь-якого числа використовують десять цифр: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. За основу лічби взято число 10. Будь-яка скінчена послідовність цифр означає деяке число, причому значення цифри залежить від того, яку позицію(місце вона займає в запису числа; в запису числа кожна цифра означає відповідну кількість розрядних одиниць.

Перші десять одиниць називаються одиницями першого розряду, десять одиниць першого розряду становлять одну одиницю другого розряду – десяток; десять одиниць другого класу - сотню, десять сотень – одну одиницю четвертого розряду – тисячу і т.д.

Кожні три послідовні розряди, починаючи з першого, утворюють клас. Три розряди класу називаються одиницями, десятками і сотнями цього класу. Назви класів і розрядів наведено у таблиці:

В основі нашої десяткової нумерації лежить принцип позиційного (по місцевого) значення цифр і значення цифри залежить не скільки від її вигляду, а й від того, яке місце (позицію) вона займає в зображені (запису) числа. Наприклад, у числі 3333 перша справа трійка виражає число „три”, друга справа - „тридцять”, третя – „триста” (три сотні), четверта - „три тисячі”.

Отже, наша десяткова система числення є позиційною. Саме позиційний принцип дає можливість за допомогою небагатьох знаків зобразити будь-яке як завгодно велике натуральне число.

Виходячи з позиційного принципу десяткової нумерації, кожне натуральне число можна подати у вигляді суми добутків цифр числа на відповідні степені числа 10.

Наприклад, 5324 = 5 * 10³ + 3* 10² + 2 *10 + 4

Якщо перейти до загальної форми запису, то можна дати таке означення десяткового запису чисел.

Десятковим записом натурального числа Х називається його подання у вигляді Х = або скорочено.. де коефіцієнти . приймають значення 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 і а............

Числа 1,10,10², 10³, ...10ⁿ називаються розрядними одиницями відповідно першого, другого..... енного розряду, причому 10 одиниць одного розряду утворюють одну одиницю наступного вищого розряду, тобто відношення сусідніх розрядів дорівнює десятковій основі системи числення.

Приклади запису чисел в десятковій системі числення:

3080 = 3 * 10³ + 0 * 10² + 8 * 10 + 0 або 3080= 3*10³ + 8 * 10

400 = 4 * 10² + 0*10 +0 або 400 = 4 * 10²

Десяткова система числення знайшла найбільше визначення серед цих систем числення.

Застосовуються також і інші системи числення. Так в астрономії з давніх давен застосовуються шістдесяткова система числення. Основою цієї системи числення є число 60.

Так, 60 сек = 1 хв., 60 хв = 1 год, або 60^// = 1^/, 60^/ = 1⁰ тощо.

Взагалі, основою числення може бути будь-яке натуральне число р........2. Для запису числа в такій системі числення використовуються р символів: 0,1,... р – 1.

Записом цілого невід’ємного числа Х у р-ній системі числення називається його подання у вигляді Х=.......................................................... набувають значень 0,1,....., р-1, а.........

Числа 1, р, р², р³,...рⁿ називають розрядними одиницями 1-го, 2-го, (р+1)-го розрядів.

Будь-яке ціле невід’ємне число можна зобразити в довільній позиційній системі числення, причому єдиним способом.

Очевидно, що найменшою основою числення може бути число 2. У цій системі числення є лише дві цифри: 0,1. Число „два” записується як 10 (один нуль, один двійка плюс нуль 1*2 +0)., число „три” – 11 (один, один, або один двійка і одна одиниця 1*2+1), число „чотири” – 100 (один, нуль, нуль або одна двійка в квадраті, 1*2² + 0*2+0), число „п’ять” – 101 (один, нуль, один або одна двійка в квадрати і одна одиниця – 1*2² + 0*2+1) і т.д.

Для того, щоб було видно, в якій не десятковій системі числення записано число, будемо внизу ставити основу числення, основу 10, як і раніше, не писатимемо. Наприклад, 11.... означає число 3 , записане в двійковій системі числення.

Якщо g =3, то система числення матиме цифри 0,1,2. Число „три” запишеться як 10.... (1*3 + 0), „чотири” – 11..., (одна трійка і одиниця 1*3 +1), „шість” – 20 (дві трійки плюс нуль, 2*3 +0),”дев’ять” 100 ( одна трійка в квадраті 1*3² + 0*3 +0) і т.д.

При g= 8 система числення матиме цифри 0,1,...7. Число 2вісім” запишеться як 10... (1*8 +0). Число „десять” як 12.... (одна вісімка і дві одиниці 1*8 +2), „шістдесят чотири” – 100... (одна вісімка в квадраті).

Якщо g= ...... то система числення матиме дванадцять цифр, десять цифр десяткової нумерації і ще дві цифри: „десять” і „одинадцять”. Для того, щоб для них не вводити спеціальних значків, будемо зображати їх, як у десятковій системі числення двома цифрами, але брати у дужки: (10) – ніби одноцифрове число 10 і „одинадцять” – (11). „Дванадцять” запишемо як одна одиниця другого розряду (дюжина) – 10(12), „п’ятнадцять” – 13(12) (один дюжина і три одиниці 1*12+3), „сто сорок чотири” – 100(12) ( одна дюжина в квадраті 1*12² +0*12+0).

3.1) Два системних числа рівні тоді і тільки тоді, коли всі цифри їх відповідних розрядів однакові.

Наприклад, 57429 = 57429, 3876 ... = 3876...

2) Із двох системних чисел, записаних різною кількістю цифр, більшим є те, в якому більше цифр, тобто яке має одиниці більш високого розряду:

3) Із двох системних чисел з однаковою кількістю цифр більшим є те, у якому цифра найвищого розряду має більше одиниць, а якщо цифри найвищого розряду однакові, то більшим є те число, в якому цифра, що стоїть за ним, має більше одиниць, і т.д.

4. Для виконання дій над числами, записаними в різних системах числення, треба подати ці числа в одній системі. Розглянемо правила переходу.

А) ПЕРЕХІД ВІД ДЕСЯТКВОЇ СИСТЕМИ ДО ІНШОЇ.

1) Якщо дане число N менше від основи системи числення р, то його так і записують:

7 = 7 (8), 7(9) = 7 (12).

2) Якщо дане число N більше, ніж р, то визначити скільки в цьому числі міститься одиниць першого розряду, другого і т.д. Це можна зробити послідовним діленням. Поділивши N на p знаходять, що в числі N =N... + r..., де r <p ; у числіN... буде всього N... одиниць третього розряду і r ... одиниць другого розряду і т.д. Оскільки в процесі ділення частки зменшуються, то врешті решт дістанемо частку N.., яка менша, ніж р. Тоді N...= 0*р +r .., деr < p. Отже, N =r..p..+...+ r..p... + r = r .....r..r..

Наприклад, число 1340 у п’ятнадцятковій системі числення записують так:

Правило 1. Щоб натуральне число, записане в десятковій системі, подати в позиційній системі при основі р, треба поділити це число на основу р; частку знову поділити на р і т.д. Одержані при цьому послідовні остачі будуть цифрами цього числа записаного при основі р. Перша остача – цифрою одиниць, друга остача – цифрою одиниць другого розряду (р), третя остача – цифрою одиниць третього розряду (р²) і т.д. Остання остача – цифрою найвищого в цьому числі розряду.

Запишемо число 869 при основі g=4. Виконаємо послідовно ділення. Запишемо це так:

Б) Перехід від не десяткової системи числення до десяткової.

Розглянемо обернену задачу: необхідно перевести число з не десяткової системи числення в десяткову.

Наприклад, 31211 (4) = Х (10)

Це можна зробити двома способами.

І спосіб. Дане число записують у вигляді суми розрядних одиниць у десятковій системі і виконують обчислення.

31211(4) = 3 4⁴ + 1*4³ +2*4² +1*4 +1= 3*256 +1*64 +2*16 +4+1 = 768 +64+32+4+1= 869.

Отже, 31211(4) = 869

Правило 2. І спосіб. Для того, щоб будь-яке число N (p), де p.......10, записати в десятковій системі числення, досить зобразити його у вигляді суми розрядних доданків, усно виразити всі цифри і основу р в десятковій системі і виконати обчислення.

П спосіб. Записати число N= ............................. в десятковій системі означає визначити, скільки в цьому числі одиниць, десятків і т.д. Це можна знаходити послідовним діленням його на число 10, записане при основі р.

Наприклад, 31211

Цей спосіб більш громіздкий, бо доводиться двозначну при основі 4 ( р<10) остачу або частку перетворювати в одноцифрове число при основі 10.

 

В) Перехід від не десяткової системи до іншої не десяткової системи числення.

І спосіб. Дано деяке натуральне число N, записане при основі р.......Його треба записати при основі k…... Найпростіше це виконати так: від основи р перейти до основи 10 і далі від основи 10 до основи k, тобто послідовно застосувати два попередніх випадки.

Наприклад, запишемо число 31211 (4) при основі *.

Виконаємо це в 2 етапи:

П спосіб. Записати число N , подане при основі р, в системі з основою k – це означає визначити скільки у числі n є простих одиниць, одиниць k, одиниць k² ,k³ і т.д. Тому цей перехід можна здійснити і послідовним діленням.

ІІ спосіб. Записавши число N у вигляді суми розрядних одиниць, можна усно виразити всі цифри і стару основув новій системі і виконати обчислення в новій системі.

А) 31211(4) = Х(8)

31211(4) = 3*4⁴ + 1*4³ +2*4² + 1*4 +1

Тут основа 4 менша, ніж основа 8, тому всі цифри при основі 8 залишилися такими ж, як і при основі 4. Степені основи 4 простіше перетворити у вісімкову систему так