 |
|
Тема: “Перетворення Фур’є, частотні характеристики”.
Лекція №5
Перетворення Фур'є є окремим випадком перетворення Лапласа за умови: 
, тобто 
.
Тоді відповідно до (прямого перетворення Лапласа) перетворення Фур'є має вигляд:
або в символічній формі:
де F - оператор Фур'є.
Усі теореми та властивості перетворення Лапласа справедливі й для перетворення Фур'є (у частотній зоні). Потрібно лише змінну s замінити на 
.
Оскільки W(s)=Y(s)/X(s), то з урахуванням сказаного вище можна записати:
Цю передавальну функцію називають частотною або комплексною (КПФ). Частотна передавальна функція - це відношення Фур'є-зображення вихідної величини до Фур'є-зображення вхідної величини за нульових початкових умов.
Частотна передавальна функція W( ) є комплексною функцією від змінної 
. Її, як і будь-яке комплексне число, можна записати в алгебраїчній та показниковій формі:
де 
= Re{W( )} – (real-реальный) дійсна частина КПФ, яка називається дійсною частотною функцією; графік цієї функції називається дійсною частотною характеристикою (ДЧХ);
V( ) = Im{W( )} – (imaginary - воображаемый) уявна частина КПФ, яка називається уявною частотною функцією, а її графік - уявною частотною характеристикою (УЧХ);
А( ) = |W( )| - модуль КПФ - амплітудна частотна функція, причому
Графік цієї функції називають амплітудною частотною характеристикою (АЧХ);
– аргумент КПФ, який називають фазовою частотною функцією:
.
Графік цієї функції називається фазовою частотною характеристикою (ФЧХ).
Фізичний зміст АЧХ і ФЧХ. Якщо на вхід системи подати гармонічний сигнал частоти : 
, то на виході в усталеному режимі отримаємо гармонічний сигнал тієї самої частоти : 
амплітуда і початкова фаза якого може відрізнятися від амплітуди та початкової фази вхідного сигналу.
АЧХ - це залежність зміни відношення амплітуди вихідного сигналу А2 до амплітуди вхідного сигналу А1 від частоти вхідного сигналу, тобто
ФЧХ - це залежність зсуву по фазі між вхідним і вихідним сигналами від частоти вхідного сигналу, тобто 
. Саму частотну передавальну функцію 
називають також амплітудно-фазовою частотною функцією, а її графік на комплексній площині - амплітудно-фазовою частотною характеристикою (АФЧХ або АФХ).
АФЧХ САК у декартовій або полярній системі координат.
У декартовій: W(jw) представляють у алгебраїчній формі: Wp(jw) = U(w) + jV(w) і відкладають їх значення на осях координат, змінюючи значення частоти w від 0 до ¥.
У полярній: W(jw) представляють у показниковій формі: Wp(jw) = A(w)ejy(w). Задаючись різними значеннями w визначають А(w) і y(w) і відкладають їх значення у полярній системі координат.
Приклад. Задана частотна характеристика (комплексна передавальна функція) системи:
.
Визначити модуль |Wp(jw)| = A(w) і аргумент y(w) частотної характеристики.
Розв’язок. Користуючись правилом, що модуль добутку комплексних чисел дорівнює добутку їх модулів, а аргумент – сумі аргументів співмножників, знайдемо:
;
.
При побудові АФЧХ задаються різними значеннями w, визначають значення А(w) і y(w) і відкладають їх у полярній системі координат. З’єднання знайдених точок дає АФЧХ системи.
Приклад. W(jw) системи задана у такому вигляді:
.
Визначити А(w) і y(w) комплексної передавальної функції.
Розв’язок.
;
На комплексній площині (рис. АФЧХ) визначає вектор 
, довжина якого дорівнює 
, і аргумент (кут між вектором і дійсною додатною піввіссю) – 
.
Крива, яку описує кінець вектора функції при зміні частоти від 0 до 
називається АФЧХ.
Окрім перелічених частотних характеристик (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ДЧХ, УЧХ), під час аналізу та синтезу САК широко застосовуються також логарифмічні частотні характеристики (ЛЧХ):
ЛАЧХ - логарифмічна амплітудно-частотна характе-ристика; ЛФЧХ - логарифмічна фазочастотна характеристика.
Логарифмічною амплітудно-частотною характеристикою системи називають АЧХ цієї системи, виражену в децибелах і побудовану в логарифмічному масштабі частот.
При побудові логарифмічних характеристик по вертикальній осі відкладають логарифм відповідної величини в децибелах (дБ). Для знаходження відповідної величини в децибелах слід її десятковий логарифм помножити на 20.
Так, АЧХ в децибелах матиме вигляд
де А( ) - модуль КПФ.
ЛАЧХ та АЧХ зв'язані співвідношенням:
По горизонтальній осі частоти відкладають також у логарифмічному масштабі в октавах або декадах.
Приклад. Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика аперіодичної ланки першого порядку. Передаточна функція цієї ланки
.
Заміняємо 
на , отримаємо:
,
тобто комплексне число, модуль якого дає підсилення амплітуди , а аргумент – зсув фази . Відповідно для даного типу ланки
, (АЧХ)
. (ФЧХ)
Таким чином ми отримали вирази для АЧХ і ФЧХ аперіодичної ланки.
Вираз для ЛАЧХ має вигляд:
.
Для побудови точної ЛАЧХ потрібно:
1. Знайти 
– частоту сполучення: 
;
2. Підставити у вираз 
частоти менші та більші за знайдемо реальну (точну) ЛАЧХ.