 |
|
Задача 2. Произведение двух с.в.
Пусть 
- двумерная плотность с.в. (x1,x2). Рассмотрим с.в. a=x1*x2.
Найти 
.
4. Преобразование плотности при линейном преобразовании координат: 
где 
Сделаем замену переменных 
. В новых переменных x область интегрирования примет вид x<y и
,
.
Многомерное нормальное распределение.
В лекции 6 гауссовский n-мерный случайный вектор был определен в виде
,
где А – положительно-определенная матрица размера nxn.
Цель данного пункта – качественно объяснить происхождения данной формулы.
Рассмотрим совокупность n независимых нормальных с.в. 
, где
Тогда n-мерная с.в. 
обладает плотностью
Введем новую с.в. 
, где С – произвольная ортогональная матрица.
Используя формулу 
, получим 
.
Введем диагональную матрицу D с элементами 
, тогда 
и
Поскольку мы получили, что 
, то, подставив в последнюю формулу Cx вместо x, найдем
Легко видеть, что 
и, тогда,
Из курса линейной алгебры известно, что если матрица А получена ортогональным преобразованием диагональной матрицы D с положительными элементами, то А – положительно определенная матрица.
Раскроем вероятностный смысл матрицы А.
Заметим, что 
, поэтому 
.
С другой стороны 
и
Последнее выражение представляет элемент (i,j) матрицы 
.
Т.О. 
.
Подставив 
в формулу 
, получим 
Поскольку 
и 
, то R – корреляционная матрица сл. вектора .
Поскольку мы получили, что 
, то
и
.
Рассмотрим с.в. 
.
Согласно формуле , получим
.
Определение.
Случайный вектор n с плотностью распределения
называется n-мерной нормальной с.в. При этом а – мат.ожидание случайного вектора n,
а , где R- корреляционная матрица случайного вектора n.
Из определения следует, что если компоненты n-мерной нормальной с.в. некоррелированы, то они независимы.
Верно также и то, что линейное преобразование нормального случайного вектора также дает нормальный случайный вектор (может быть меньшей размерности) – без доказательства.
Любой «подвектор» n-мерного случайного вектора есть также нормальный случайный вектор. При этом любая компонента n-мерного случайного вектора есть нормальная случайная величина с МО ai и дисперсией Rii – без доказательства.
Рассмотрим случай n=2, 
.
