Здавалка
Главная | Обратная связь

Однородный Пуассоновский процесс.



Определение. СП с независимыми приращениями pt, t³0 называется однородным пуассоновским процессом, если

1. p0=0

2. Приращение pt-ps (t>s) имеет распределение Пуассона с параметром l(t-s), где l>0, то есть

Свойства Пуассоновского процесса.

Обозначим pk(s,t)=P(pt-ps=k) и найдем некоторые вероятности для pk(t,t+Dt) при Dt®0.

а)

б)

в) (условие ординарности)

Эти условия означают, что вероятность приращения на 1 за малый промежуток времени Dt пропорциональна длине промежутка: p~lDt. В то же время, вероятность приращения на величину большую чем 1 за бесконечно малый промежуток времени Dt бесконечно мала.

Свойства а)-в) могут быть приняты за определение пуассоновского процесса.

Определение 2. Неотрицательный целочисленный СП с независимыми приращениями, начинающийся в нуле и удовлетворяющий свойствам а)-в) называется однородным пуассоновским процессом.

Можно доказать, что приведенные два определения эквивалентны.

Моментные функции пуассоновского процесса

1.

2. Пусть t>s

R(t,s)=Mptps–mtms=M(pt-ps)ps+Mp2s-ltls= M(pt-ps)Mps+Mp2s-ltls=l(t-s)ls+Mp2s-ltls= Mp2s-(ls)2= Mp2s-( Mps)2=Dps= ls.

Повторяя выкладки для t<s, получим, что R(t,s)=lt.

Т.О. R(t,s)=lmin(t,s).

Пуассоновские процессы широко используются в теории массового обслуживания и связанных с ней областях.

Пример.

Предположим, что с течением времени регистрируется наступление некоторых событий (в справочное бюро поступают запросы, на заправку подъезжают машины, и.т.д.). В течение времени D осуществляется x(D) событий.

Предположим, что наш процесс удовлетворяет свойствам:

1. Непересекающимся временным промежуткам D1,…, Dn отвечают независимые с.в. x(D1),…, x(Dn) , т.е. имеем СП с независимыми приращениями.

2. Распределение с.в. x(D) зависит только от длины интервала D (условие стационарности).

3. Вероятность того, что за бесконечно малый промежуток времени Dt произойдет хотя бы одно событие есть p=lDt+0(Dt), а вероятность осуществления более одного события есть 0(Dt).

Каково распределение с.в. x(D)?

 

Разобьем интервал времени (0,t) на n равных интервалов D1,…, Dn. Число событий в интервале времени (0,t) будет x(t)=x(D1)+… +x(Dn), где x(D1),…, x(Dn) – независимые с.в., равные числу событий в интервалах D1,…, Dn.

Производящая функция каждой из с.в. x(Dk) с точностью до малых высшего порядка по сравнению с 1/n есть

Производящая функция с.в. x(t) будет

Переходя к пределу при n ®¥, получим

Эта функция есть производящая функция пуассоновского распределения с параметром lt, так что

Т.О. мы пришли к однородному пуассоновскому процессу.

 







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.