Однородный Пуассоновский процесс.
Определение. СП с независимыми приращениями pt, t³0 называется однородным пуассоновским процессом, если 1. p0=0 2. Приращение pt-ps (t>s) имеет распределение Пуассона с параметром l(t-s), где l>0, то есть Свойства Пуассоновского процесса. Обозначим pk(s,t)=P(pt-ps=k) и найдем некоторые вероятности для pk(t,t+Dt) при Dt®0. а) б) в) (условие ординарности) Эти условия означают, что вероятность приращения на 1 за малый промежуток времени Dt пропорциональна длине промежутка: p~lDt. В то же время, вероятность приращения на величину большую чем 1 за бесконечно малый промежуток времени Dt бесконечно мала. Свойства а)-в) могут быть приняты за определение пуассоновского процесса. Определение 2. Неотрицательный целочисленный СП с независимыми приращениями, начинающийся в нуле и удовлетворяющий свойствам а)-в) называется однородным пуассоновским процессом. Можно доказать, что приведенные два определения эквивалентны. Моментные функции пуассоновского процесса 1. 2. Пусть t>s R(t,s)=Mptps–mtms=M(pt-ps)ps+Mp2s-ltls= M(pt-ps)Mps+Mp2s-ltls=l(t-s)ls+Mp2s-ltls= Mp2s-(ls)2= Mp2s-( Mps)2=Dps= ls. Повторяя выкладки для t<s, получим, что R(t,s)=lt. Т.О. R(t,s)=lmin(t,s). Пуассоновские процессы широко используются в теории массового обслуживания и связанных с ней областях. Пример. Предположим, что с течением времени регистрируется наступление некоторых событий (в справочное бюро поступают запросы, на заправку подъезжают машины, и.т.д.). В течение времени D осуществляется x(D) событий. Предположим, что наш процесс удовлетворяет свойствам: 1. Непересекающимся временным промежуткам D1,…, Dn отвечают независимые с.в. x(D1),…, x(Dn) , т.е. имеем СП с независимыми приращениями. 2. Распределение с.в. x(D) зависит только от длины интервала D (условие стационарности). 3. Вероятность того, что за бесконечно малый промежуток времени Dt произойдет хотя бы одно событие есть p=lDt+0(Dt), а вероятность осуществления более одного события есть 0(Dt). Каково распределение с.в. x(D)?
Разобьем интервал времени (0,t) на n равных интервалов D1,…, Dn. Число событий в интервале времени (0,t) будет x(t)=x(D1)+… +x(Dn), где x(D1),…, x(Dn) – независимые с.в., равные числу событий в интервалах D1,…, Dn. Производящая функция каждой из с.в. x(Dk) с точностью до малых высшего порядка по сравнению с 1/n есть Производящая функция с.в. x(t) будет Переходя к пределу при n ®¥, получим Эта функция есть производящая функция пуассоновского распределения с параметром lt, так что Т.О. мы пришли к однородному пуассоновскому процессу.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|