Главная | Обратная связь

Винеровский процесс.

Представьте себе мелкую частицу, взвешенную в однородной жидкости. Частица испытывает хаотические столкновения с молекулами жидкости, в результате чего она находится в непрерывном беспорядочном движении, называемым броуновским движением.

Дискретным аналогом этого процесса может служить следующая модель случайного блуждания. Частица меняет свое положение лишь в дискретные моменты времени, кратные Dt. Изменение положения происходит таким образом, что находясь в точке х, частица, независимо от предшествующего поведения, переходит с равными вероятностями в одну из соседних точек х+Dх или х-Dх (речь идет лишь об одной координате частицы.) В пределе Dt®0, Dх®0, получается непрерывное случайное движение, характерное для процесса броуновского движения.

Обозначим x(t) – положение частицы в момент времени t. Пусть x(0)=0. При дискретном блуждании частица за время t совершает n=t/Dt шагов. Пусть S_n - число шагов, совершаемых в положительном направлении.

Тогда x(t)=S_nDх-(n- S_n)Dх=(2S_n-n)Dх.

Поскольку x(0)=0, то x(t)=[x(t)- x(s)]+ [x(s)- x(0)] для любого s в интервале [0,t].

В описанной модели случайного блуждания с.в. [x(t)- x(s)] и [x(s)- x(0)] являются независимыми. Причем распределение вероятностей приращения [x(t)- x(s)] такое же, как и приращения [x(t-s)- x(0)]. Поэтому

Dx(t)= s²(t)=s²(s+(t-s))=D[x(t)-x(s)]+D[x(s)-x(0)]= s²(s)+s²(t-s).

Следовательно, дисперсия есть линейная функция времени:

Dx(t)=s²t,

где s²>0 - некоторая постоянная, называемая коэффициентом диффузии.

С другой стороны, дисперсия с.в. x(t), описывающей смещение за n=t/Dt шагов, имеет вид

Dx(t)=D((2S_n-n)Dх)= D(2S_nDх -nDх)=4(Dх)²DS_n=(Dх)²n=(Dх)²t/Dt.

В итоге получаем следующее соотношение между Dх и Dt: s²=(Dх)²/Dt.

 

Положение частицы описывается формулой x(t)=(2S_n-n)Dх, где S_n – число успехов в n испытаниях Бернулли.

Согласно теореме Бернулли с.в. имеет стандартное нормальное распределение и .

Т.О. и

 

Т.О. x(t) – нормальная с.в. N(0,ts²).

 

Т.О., для моделирования броуновского движения можно определить следующий процесс.

Определение. Винеровским процессом называется случайный процесс с независимыми приращениями, обладающий следующими свойствами:

1. x(0)=0.

2. " t>s с.в. [x(t)- x(s)] имеет нормальное распределение N(0, s²(t-s)).

Моментные функции Винеровского процесса.

1. m_t=0.

2. Если t>s, то

R(t,s)= Mx(t)x(s) = M(x(t)-x(s))x(s)+M(x(s))² = M(x(t)-x(s))Mx(s)+M(x(s))²= Dx(s)= s²s.

Если t<s, то R(t,s)= s²t.

Окончательно получим R(t,s)= s²min(t,s).

Т.О. корреляционные функции Пуассоновского и Винеровского процесса совпадают, но это совершенно разные процессы.