Главная | Обратная связь

Понятие спектра стационарного СП

План лекции.

1. Стационарные в широком и узком смысле СП.

2. Понятие спектра стационарного СП

3. Закон больших чисел для СП, понятие эргодичности.

 

Стационарные в широком и узком смысле СП.

Определение. СП X_t, "tÎT называется стационарным в узком смысле, если его конечномерные распределения удовлетворяют условию

" n ³1, " t₁,…,t_nÎT, " t: t₁+t, …,t_n+t ÎT

.

Это условие означает, что конечномерные распределения не меняются при сдвиге по оси времени на величину t.

Условие стационарности в узком смысле трудно проверить, поэтому введем еще одно определение.

Определение. СП X_t, "tÎT называется стационарным в широком смысле, если он обладает моментами до второго порядка включительно и выполняются условия:

1. "t m_t=MX_t=m=const

2. "t,sÎT R(t,s)=R(t-s)

Очевидно, что если СП обладает моментами до второго порядка включительно, то из стационарности в узком смысле следует стационарность в широком смысле. Обратное не верно, то есть из стационарности в широком смысле не следует стационарность в узком смысле. Для гауссовских СП понятия стационарности в узком и широком смысле совпадают.

 

Свойства корреляционной функции стационарного (в широком смысле) СП

1. R(0)=DX_t³0

2. R(-t)=R(t)

3. | R(t)|£R(0) (Это следует из того, что R(t)=r(t)R(0)=r(t)DX_t, r(t)£1)

 

Понятие спектра стационарного СП

Определение. СП X_t называется непрерывным в среднеквадратическом (с.к. непрерывным), если "tÎT

.

Далее будем рассматривать только с.к. непрерывные СП.

Как следует из неравенства Чебышева, для с.к. непрерывного СП

Для с.к. непрерывного стационарного СП корреляционная функция R(u) является непрерывной.

Док-во.

Выше мы воспользовались неравенством Коши-Буняковского для с.величин: .

Справедливо и обратное утверждение о том, что если R(u) непрерывна, то СП является с.к. непрерывным (без док-ва.)

 

Далее нам потребуется известная теорема из мат. анализа в удобной для нас формулировке.