Теорема Бохнера-Хинчина.

Для того, что бы непрерывная функция f(t), -¥<t<+¥, такая что f(0)=1, была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде

где F(l) – некоторая функция распределения.

Напомним, что функция является положительно определенной если

Ранее было доказано, что корреляционная функция является положительно определенной.

Сформулируем теперь центральную теорему спектральной теории стационарных СП.

Теорема Хинчина.

Непрерывная функция R(t), -¥<t<+¥ является корреляционной функцией стационарного с.к. непрерывного СП (может быть комплекснозначного), тогда и только тогда, когда она представима в виде

где G(w) имеет все свойства функции распределения, только G(+¥)=R(0).

Доказательство.

1. Необходимость.

Пусть R(t) является корреляционной функцией стационарного с.к. непрерывного СП. Перейдем к нормированной корреляционной функции r(t)=R(t)/R(0).

Для функции r(t) справедливы условия теоремы Бохнера-Хинчина, поэтому существует некоторая функция распределения F(w): .

Т.О. R(t)=r(t)R(0)=

2. Достаточность.

Пусть функция R(t) представима в виде . Надо доказать, что она является корреляционной функцией стационарного с.к. непрерывного СП.

Для доказательства достаточности надо построить хотя бы один процесс с корреляционной функцией для произвольной функции G(w), которая имеет свойства функции распределения, но G(+¥)=R(0).

Пусть G(+¥)=s². Рассмотрим с.в. x с функцией распределения G(w)/s².

Построим СП x(t)=s*exp(i(tx+j)), где с.в. x и j независимы, причем j – равномерно распределена на интервале (0,2p). Тогда

Таким образом, построенный СП x(t) имеет заданную кор. функцию.

Функция G(w) называется спектральной функцией стационарного СП. Если G(w) представима в виде , то функция g(w) называется спектральной плотностью СП. g(w)=dG(w)/dw - в точках непрерывности G(w).

Если спектральная плотность существует, то .

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒