 |
|
Розв’язання тригонометричних рівнянь
Якщо тригонометричне рівняння не є найпростішим, то за допомогою тотожних перетворень його треба звести до одного або кількох найпростіших, розв’язання яких визначається стандартними формулами.
Деякі тригонометричні рівняння шляхом тотожних перетворень можна привести до рівняння з однією тригонометричною функцією, потім зробити заміну і привести рівняння до квадратного.
Приклад 1.Розв’язати рівняння 
.
Розв’язання
Нехай 
, тоді 
.
Звідси 
, 
.
Оскільки 
, то 
, 
.
Оскільки 
, то 
, 
.
Відповідь: 
; 
; 
.
Приклад 2.Розв’язати рівняння 
.
Розв’язання
Замінивши 
на 
, матимемо:
Нехай 
, тоді 
.
Звідси 
, 
.
Оскільки 
, то рівняння 
розв’язків немає.
Оскільки 
, то 
, 
Отже 
Відповідь: 
Приклад 3.Розв’язати рівняння 
,
Розв’язання
, 
.
Нехай 
, тоді 
, 
, 
.
Маємо: 1) 
, 
.
2) 
, 
.
Відповідь: 
.
59.Розв’яжіть рівняння:
1) 
, 2) 
,
3) 
, 4) 
,
5) 
, 6) 
,
7) 
, 8) 
,
9) 
, 10) 
,
11) 
, 12) 
.
13) 
, 14) 
,
15) 
, 16) 
.
Багато тригонометричних рівнянь, права частина яких дорівнює 0, розв’язуються розкладанням їхньої лівої частини на множники.
Приклад 1.Розв’язати рівняння 
.
Розв’язання
Врахувавши, що 
, матимемо:
Добуток дорівнює нулю, якщо хоча б один із множників дорівнює нулю. Тому:
1) 
.
2) 
.
Відповідь: 
.
Приклад 2.Розв’язати рівняння 
.
Розв’язання
;
.
1) 
.
2) 
.
Відповідь: 
.
60.Розв’яжіть рівняння:
1) 
, 2) 
,
3) 
, 4) 
,
5) 
, 6) 
,
7) 
, 8) 
,
9) 
, 10) 
,
11) 
, 12) 
,
13) 
, 14) 
,
15) 
, 16) 
.
Рівняння виду 
, де 
і 
не дорівнюють нулю, називається однорідним рівнянням 1-го степеня.
Значення 
, при яких 
дорівнює нулю, не задовольняє даному рівнянню, бо тоді і 
теж дорівнював би нулю. Тому можна розділити обидві частини рівняння на 
. Маємо:
Рівняння виду: 
називається однорідним рівнянням 2-го степеня.
Якщо числа 
не дорівнюють нулю, то розділимо дане рівняння на 
(або на 
). У даному рівнянні 
, бо в супротивному випадку 
теж дорівнював би нулю. Тоді
61.Розв’яжіть рівняння:
1) 
, 2) 
,
3) 
, 4) 
,
5) 
, 6) 
,
7) 
, 8) 
9) 
, 10) 
,
11) 
, 12) 
,
13) 
, 14) 
.
62.Розв’яжіть рівняння
1) 
; 2) 
;
3) 
; 4) 
;
5) 
; 6) 
;
7) 
; 8) 
.
до змісту
§ 11 Розв’язання тригонометричних нерівностей
Тригонометричними нерівностями називаються нерівності, у яких змінна знаходиться під знаком тригонометричної функції.
Рис. 6
Таблиця 3
| 
| 
| |
| 
|  
| Розв’язків немає |
| Розв’язків немає | 
| 
|
Рис. 7
Таблиця 4
|
|
|
| |
|
| 
| Розв’язків немає |
| Розв’язків немає | 
|
|
Таблиця 5
|  
|
|  
|
| 
|
| 
|
63.Розв’яжіть нерівність:
1) 
, 2) 
,
3) 
, 4) 
,
5) 
, 6) 
,
7) 
, 8) 
,
9) 
, 10) 
,
11) 
, 12) 
,
13) 
, 14) 
,
15) 
, 16) 
.
64.Розв’яжіть нерівність:
1) 
, 2) 
,
3) 
, 4) 
,
5) 
, 6) 
,
7) 
, 8) 
,
9) 
, 10) 
,
11) 
, 12) 
.
65.Розв’яжіть нерівність:
1) 
, 2) 
,
3) 
, 4) 
,
5) 
, 6) 
,
7) 
, 8) 
.
66.Розв’яжіть нерівність:
1) 
, 2) 
,
3) 
, 4) 
,
5) 
, 6) 
,
7) 
, 8) 
.
до змісту
Розділ 2