Інтеграл та його застосування

Первісна функції. Невизначений інтеграл та його властивості

Функція називається первісноюдля функції на деякому проміжку, якщо для всіх із цього проміжку виконується рівність:

Якщо функція є первісною для на деякому проміжку, то для довільної постійної функція також є первісною для функції і будь-яка первісна для функції на цьому проміжку має вигляд , де - довільна стала (число).

Сукупність усіх первісних для функції на проміжку називають невизначеним інтеграломцієї функції і позначають .

Таким чином: .

Основні властивості невизначених інтегралів

1. ;

2. ;

3. ;

4. , ;

5.Якщо і , то .

Основні формули інтегрування

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

147.Доведіть, що функція є первісною для функції на заданому проміжку:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

148.Знайдіть невизначені інтеграли:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) .

149.Знайдіть інтеграли безпосередньо:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) ;

31) ; 32) ;

33) ; 34) ;

35) ; 36) ;

37) ; 38) .

150.Знайдіть невизначені інтеграли :

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) /

151.Знайдіть невизначені інтеграли методом заміни змінної;

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) ;

11) ; 12) ;

13) ; 14) ;

15) ; 16) ;

17) ; 18) ;

19) ; 20) ;

21) ; 22) ;

23) ; 24) ;

25) ; 26) ;

27) ; 28) ;

29) ; 30) ;

31) ; 32) .

до змісту

Визначений інтеграл та його властивості

Рис. 8

Розглянемо неперервну функцію , невід’ємну на відрізку . Розіб’ємо відрізок на рівних частин , довжина кожної частини дорівнює . Утворимо суму добутків , де , яка називається інтегральною сумою: . Знайдемо . Границя інтегральної суми при умові, що кількість відрізків , називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначають .

Якщо - первісна для функції на відрізку , то

Ця формула називається формулою Ньютона – Лейбніца і є правильною для будь-якої неперервної на відрізку функції ; вона пов’язує поняття інтеграла і первісної та є правилом обчислення інтегралів.