Главная | Обратная связь

Бесконечное и неопределённое.

Рене Генон

Метафизические принципы

исчисления бесконечно малых

 

Перевод:

Алексей Дойлидов. Минск, 2013 г.

Переведено с:

René Guénon. The Metaphysical Principles of the Infinitesimal Calculus. / translated by Henry D. Fohr, Michael Allen; edited by Samuel D. Fohr. – Sophia Perennis – Hillsdale NY, 2004.

Оригинальное издание:

René Guénon. Les Principes du Calcul Infinitésimal. / Éditions Gallimard, 1946.

 

 

 

Содержание:

Предисловие к английскому изданию.

Предисловие автора.

Глава 1.Бесконечное и неопределённое.

Глава 2. Противоречивость понятия "бесконечное число".

Глава 3. Неисчислимое множество.

Глава 4. Метрика континуального.

Глава 5. Проблемы, возникающие в связи с методом бесконечно малых.

Глава 6. "Прочно укоренённые фикции".

Глава 7. "Степени бесконечности".

Глава 8. "Бесконечное деление" или неопределённая делимость.

Глава 9. Неопределённо возрастающие и неопределённо убывающие.

Глава 10. Бесконечное и континуальное.

Глава 11. "Принцип континуальности".

Глава 12. Понятие предела.

Глава 13. Континуальность и предельный переход.

Глава 14. "Обращающиеся в нуль величины".

Глава 15. Нуль – это не число.

Глава 16. Нотация отрицательных чисел.

Глава 17. Представление равновесия сил.

Глава 18. Переменные и постоянные величины.

Глава 19. Последовательное дифференцирование.

Глава 20. Различные порядки неопределённости.

Глава 21. Аналитическая неисчерпаемость неопределённого.

Глава 22. Синтетический характер интегрирования.

Глава 23. Апории Зенона Элейского.

Глава 24. Истинное понимание "предельного перехода".

Заключение.

 

 

Предисловие к английскому изданию.

(с сокращениями)

 

Прошедшее столетие стало свидетелем распада прежних культурных ценностей, а также размытия отличительных особенностей мировых традиционных цивилизаций, что открыло дорогу философскому и моральному релятивизму и мультикультурализму, равно как и опасным реакциям фундаментализма. Французский метафизик Рене Генон (1886–1951) диагностировал эти тенденции уже в 1920-х годах и представил то, что, по его мнению, должно было служить единственным возможным средством примирения обоснованных, хотя, очевидно, противоречивых притязаний внешних религиозных ("экзотерических") форм с их фундаментальной ("эзотерической") сутью. В его работах присутствует глубокая критика современного мира, соединённая с призывом к интеллектуальной реформе, стремление к возрождению исследований в области метафизики, традиционных наук, символизма с особым упором на глубинное единство всех духовных традиций, а также призывы к практике духовной реализации. Несмотря на широкое влияние работ Генона, их переводы на английский язык до сих пор были единичными.

Неугасимый с юных лет интерес Генона к математике, как и у Платона, Паскаля, Лейбница и многих других выдающихся метафизиков, проходит красной нитью через его доктринальные исследования. Предлагаемая читателю одна из поздних книг Генона, опубликованная всего за пять лет до его смерти, полностью посвящена вопросам, касающимся природы пределов и бесконечного применительно к дифференциальному и интегральному исчислению, рассматриваемому и как математическая дисциплина, и как символическое выражение инициатического пути. Поэтому данная книга расширяет и дополняет круг вопросов геометрического символизма, рассмотренных Геноном в других работах, особенно в книгах "Символизм креста", "Множественность состояний сущего" и "Символы священной науки".

Согласно Генону, понятие "бесконечное число" является логически противоречивым. Бесконечность представляет собой метафизическое понятие более высокого уровня реальности, чем уровень количества – на котором всё выразимое может быть не бесконечным, а только неопределённым. Однако, хотя уровень количественности и является единственным уровнем, признаваемым современной наукой, выражающие её числа также обладают качествами, для которых количественный аспект является только их внешней оболочкой. Наша сегодняшняя увлечённость математикой приближений и вероятностей только скрывает от нас "качественную математику" древних, наиболее непосредственно дошедшую до нас через пифагорейско-платоническую традицию.

Рене Генон

Метафизические принципы

исчисления бесконечно малых

Предисловие автора.

 

Хотя может показаться, по крайней мере, на первый взгляд, что настоящее исследование имеет чисто "специализированный" характер, приступая к его написанию, мы руководствовались целями уточнения и более тщательного пояснения некоторых идей, к которым мы обращались в различных случаях использования нами математического символизма, и уже этой причины было бы достаточно для оправдания появления настоящего труда. Тем не менее мы желаем дополнительно заметить, что есть и другие, вторичные причины, в особенности касающиеся того, что можно назвать "историческим" аспектом вопроса; этот аспект, в самом деле, вовсе не лишён интереса с нашей точки зрения, поскольку все дискуссии, возникавшие по предмету природы и смысла теории исчисления бесконечно малых, являют собой поразительный пример того полного отсутствия какого-либо принципиального основания, который характеризует профанные науки, то есть те единственные науки, которые учёные современности знают и даже считают возможными. Мы уже неоднократно отмечали, что большинство из этих наук, даже в той степени, в которой они всё ещё соответствуют какой-то реальности, представляют собой не более чем примитивные девальвированные выжимки из некоторых традиционных наук древности: нижние области этих наук, утеряв контакт с областью принципов и утратив таким образом свой истинный исконный смысл, в конце концов претерпели самостоятельное развитие и стали рассматриваться как самодостаточное знание, хотя в действительности этот процесс означал, что их собственная значимость как знания таким образом сводилась почти к нулю. Это особенно очевидно в случае с физическими науками, но, как мы ранее поясняли в другой работе¹, в этом отношении не является исключением и современная математика, если сравнить её с той наукой о числах и геометрией, которые были известны древним; когда мы говорим в данном случае о древних, под ними следует понимать в равной степени и представителей "классической" античности, как на то указывает малейшее знакомство с учениями пифагорейцев и платоников – или хотя бы должно указывать, если не принимать во внимание невероятное отсутствие понимания их учений теми, кто сегодня провозглашает себя их интерпретаторами. Если бы это непонимание не было настолько абсолютным, то как могло бы вообще поддерживаться, например, мнение об "эмпирическом" происхождении упомянутых наук? Ибо в реальности они выглядят напротив тем более далёкими от какого-либо "эмпиризма", чем глубже во времени исследователь погружается в исследование их корней, и это вообще равным образом справедливо для всех отраслей научного знания².

 

1 см. Царство количества и знамения времени.

2 см. Различные работы (сборник) (1976), ч. 3, гл. 1. (ред.)

 

Математики эпохи модерна, а особенно те из них, которые являются нашими современниками, похоже, вообще находятся в неведении относительно того, чем в действительности является число; и, подчёркивая это, мы не намереваемся говорить о числе исключительно в аналогическом и символическом смысле, как в понимании пифагорейцев и каббалистов (что было бы слишком очевидным), но – и это может показаться более странным и почти парадоксальным – просто о числе в его обычном и строго количественном смысле. В самом деле, вся их наука сводится к вычислениям в самом узком смысле этого слова³, то есть к простому набору более-менее искусственных процедур, которые, коротко говоря, обладают ценностью только в отношении к обусловленным ими практическим применениям. В сущности, это равнозначно тому, что они заменяют число цифрой, записью числа*; при этом, смешение этих двух понятий сегодня настолько распространено, что его легко можно встретить повсеместно, даже в разговорных выражениях⁴. Цифра же, запись числа, строго говоря, является не более чем оболочкой числа; мы даже не говорим – его телом, так как, в некоторых отношениях, составляющей истинное тело числа с полным основанием может считаться скорее его геометрическая форма, как на то указывают теории древних о многоугольниках и многогранниках, если их рассматривать в свете числового символизма; и, вместе с тем, это находится в полном согласии с тем фактом, что любое "вотеление" обязательно подразумевает "пространственное представление". Тем не менее мы не имеем намерения утверждать, что цифры сами по себе являются чисто произвольными знаками, форма которых определена только прихотью одного или более лиц; очевидна необходимость существования как цифровых, так и буквенных символов – притом в некоторых языках эти типы символов не различаются⁵ – и как к первому, так и к другому разряду применимо представление об иероглифическом, то есть идеографическом или буквенном происхождении, и это справедливо по отношению ко всем письменным системам без исключения, каким бы затуманенным ни было это происхождение в некоторых случаях по причине более или менее недавних искажений и изменений.

 

3 Французское слово calcul имеет двойное значение: "исчисление" и "вычисления". (ред.)

 

* numeral – цифра, нумерал, запись числа, представление числа. (прим. перев.)

 

4 То же самое относится и к некоторым "псевдо-эзотерикам", которые знают столь мало о предмете разговора, что они подобным образом постоянно неуклонно смешивают эти два понятия в своих фантастических измышлениях, которыми они пытаются подменить традиционную науку о числах.

5 В качестве примеров можно привести иврит и греческий язык. В равной степени таким же языком был арабский до введения числовой записи индийского происхождения, которая после некоторой модификации перешла от арабов в Европу в Средние века; в этом отношении можно заметить, что слово "цифра" [фр. chiffre] это не что иное, как арабское "шифр", хотя это слово в действительности является всего лишь обозначением нуля. С другой стороны, на иврите "сафар" означает "считать" или "перечислять" и в то же время "писать", откуда образуются слова "сефер" – "писание" или "книга" (по-арабски "сифр", что обозначает, в частности, священную книгу), и "сефар" – "нумерация" или "счёт"; от последнего слова происходит также термин "Сефирот" в Каббале, обозначающий основные "цифры", уподобляемые божественным атрибутам.

 

Что является несомненным, так это то, что в своей нотации* математики употребляют символы, значение которых они уже не понимают и которые представляют собой что-то вроде рудиментов забытых традиций; и, что ещё более вызывает опасения, они не только не задаются вопросом о возможном значении этих символов, но и, похоже, не желают, чтобы эти символы вообще имели какой-либо смысл. В самом деле, они всё больше и больше склоняются к тому, чтобы считать любого рода нотацию некой простой "условностью", под которой они понимают нечто, изложенное абсолютно произвольным образом, – но это абсолютно невозможно, так как никто никогда не создаёт любого рода систему условностей или договорённостей без определённых причин для её создания и для создания именно такой системы, а не иной; только для тех, кто игнорирует эту причину, система условностей может казаться произвольной, так же как только для тех, кто игнорирует причину события, оно может казаться "случайным". Именно это происходит в данном случае, и в этом можно усмотреть одно из крайних последствий отсутствия принципиальных оснований, что даже может привести науку (или нечто, обозначаемое этим именем – ибо в настоящее время она более не заслуживает этого имени в любом отношении) к потере всякого характера достоверности. Более того, благодаря самому представлению о науке в настоящее время как о чём-то исключительно количественном** этот "конвенционализм" постепенно распространился из математики на относительно молодые теории физических наук, которые таким образом всё более отдаляются от реальности, которую они призваны объяснять; мы достаточно говорили об этом в другой работе***, чтобы воздержаться от дальнейших замечаний по этому поводу, тем более что сейчас мы намерены детально заняться исключительно математикой. В этом отношении мы добавим только, что как только упускается из виду смысл любой нотации, становится крайне вероятным переход от её легитимного и корректного использования к использованию, являющемуся нелегитимным и, фактически, не соответствующему ничему вообще, а порой даже вовсе нелогичному. Это может показаться весьма удивительным в случае такой науки как математика, которая по своей природе имеет особо тесные связи с логикой, однако всё же является печальной истиной то, что в математических категориях, в том виде, в каком они обыкновенно рассматриваются сегодня, можно обнаружить многочисленные нелогичности.

 

* notation – нотация, запись, система записи, представление чисел. (прим. перев.)

** Очевидно, под "представлением о науке как о чём-то исключительно количественном" (на что неоднократно обращается внимание в его работах) Генон имеет в виду тенденцию науки модерна к "математизации" наук, прежде всего, физики, отмечаемую исследователями в связи с проблематикой дискретного и континуального (см. прим. к гл. 16). (прим. перев.)

*** Рассмотрению упомянутой "революции количества" в науке модерна полностью посвящена книга Генона "Царство количества и знамения времени". (прим. перев.)

 

 

Одним из наиболее примечательных примеров этих несовместимых с логикой категорий является тот, который следует рассмотреть в первую очередь (хотя, конечно, он является не единственным из таких примеров, с которыми мы столкнёмся по ходу нашего изложения) – это категория так называемого математического или количественного бесконечного, которая является источником почти всех проблем, которые могут возникать в связи с исчислением бесконечно малых или, точнее сказать, в связи с методом бесконечно малых, ибо в данном случае мы имеем дело с теорией, которая (независимо от мнений "конвенциалистов") выходит за пределы простых "вычислений" в обыкновенном смысле этого слова; и эта категория является источником всех проблем без исключения, кроме разве что тех, которые происходят от ошибочного или неполного представления о понятии "предела", которое должно считаться ключевым, если методу бесконечно малых желают придать необходимую строгость и рассматривать его как нечто большее, нежели просто метод приближений. Кроме того, как мы увидим, необходимо проводить различие между случаями, в которых это так называемое бесконечное является просто полнейшим абсурдом, то есть противоречивым самим по себе понятием – как понятие "бесконечного числа", и случаями, в которых оно только применяется ненадлежащим образом в смысле неопределённого; но не стоит по этой причине думать, что смешение понятий бесконечного и неопределённого может быть сведено к проблеме слов, так как в действительности оно находится в области обозначаемых этими словами идей. Что примечательно, это смешение (факт которого, будь он однажды прояснён, смог бы пресечь столь многие дискуссии) обнаруживается в писаниях самого Лейбница, который вообще считается изобретателем исчисления бесконечно малых, хотя мы предпочли бы назвать Лейбница "автором его формулировок", ибо его метод имеет отношение к определённым реальностям, которые как таковые располагают существованием, независимым от тех, кто их осмысляет и выражает, более или менее корректно; реальности математического порядка, как и все другие реальности, могут быть только открыты, а не изобретены – в то время как наоборот случаем чистейшего "изобретения" является (что чрезвычайно часто случается в этой области) самопотакание в увлечённости "игрой" нотации, приводящей в область чистейшей фантазии. Тем не менее будет несомненно нелегко втолковать некоторым математикам эту разницу, поскольку они охотно воображают, что вся их наука является и должна быть не более чем "продуктом человеческого ума", что (если допустить, что мы могли бы разделять их точку зрения) означало бы низведение этой науки до абсолютно несерьёзного уровня. Как бы то ни было, но Лейбниц так и не смог чётко изъяснить принципы своего исчисления, и это указывает на то, что в этом исчислении было нечто, превосходившее мышление Лейбница, нечто, будто бы навязанное ему без его сознательного участия; если бы он принял это во внимание, он, по всей вероятности, никогда бы не вступал в какие бы то ни было споры о "первенстве" с Ньютоном. Кроме того, такого рода споры всегда совершенно напрасны, ибо идеи, в той степени, в которой они истинны, не являются собственностью какого-либо лица, что бы ни утверждал современный "индивидуализм"; единственная категория, которая с полным правом может быть приписана на правах собственности отдельному человеку – это ошибка. Мы не будем более распространяться по этому вопросу, что могло бы увести нас достаточно далеко от предмета нашего исследования, хотя в некоторых отношениях, пожалуй, было бы небесполезно прояснить, что роль лиц, именуемых "великими", является зачастую по большей части ролью, подразумевающей "восприятие" или "получение", хотя, как правило, именно они сами первыми впадают в заблуждение относительно собственной "оригинальности".

В настоящее время нас непосредственно занимает следующее: если мы отмечаем изъяны такого рода у Лейбница – изъяны тем более серьёзные, что они имеют отношение прежде всего к области принципов – то что может быть сказано об изъянах, обнаруживаемых у других современных философов и математиков, для которых Лейбниц является несомненным высочайшим авторитетом? Этим своим авторитетом Лейбниц обязан, с одной стороны, изысканиям, проведённым им по схоластическим доктринам Средних веков (хотя он не всегда полностью понимал их), а с другой стороны, некоторой эзотерической информации преимущественно розенкрейцеровского происхождения или влияния⁶, информации, очевидно, весьма неполной и даже фрагментарной, которую он к тому же иногда применял весьма неудачно, как мы увидим далее на некоторых примерах. Именно к этим двум "источникам" (говоря языком историков) можно определённо отнести почти всё, что является подлинно значимым в его теориях. И именно это также позволило ему, хотя и не вполне, дать отповедь картезианству, которое в области философии и науки представляло собой весь набор тенденций и концепций, наиболее непосредственно определивших эпоху модерна. Этих кратких замечаний достаточно, чтобы в нескольких словах обрисовать сущность личности Лейбница, и тот, кто стремится понять его, не должен выпускать из виду этой общей информации, которую мы по этой причине посчитали нужным изложить в самом начале нашей работы. Но следует оставить эти предварительные соображения и перейти к рассмотрению собственно вопросов, проливающих свет на истинный смысл теории исчисления бесконечно малых.

 

6 Неоспоримый признак такого влияния обнаруживается в герметической фигуре, помещённой Лейбницем в заглавии его трактата "De Arte Combinatoria": это изображение Rota Mundi, в котором в центре двойного креста из стихий (огонь, вода, воздух и земля) и качеств (горячее, холодное, сухое и влажное) находится символ пятого элемента в виде розы с пятью лепестками (соответствующий эфиру, понимаемому как самостоятельный элемент и как принцип четырёх стихий); естественно, эта "визитная карточка" была обойдена вниманием всех без исключения академических комментаторов.

 

 

Глава 1.

Бесконечное и неопределённое.

 

Предлагая изложение в манере, которая должна быть обратной манере профанной науки и согласной с неизменной перспективой всех традиционных наук, мы должны прежде всего выдвинуть принцип, который позволит нам практически сразу разрешить проблемы, возникающие в связи с методом бесконечно малых, не сбиваясь с пути в сторону опасных своим нескончаемым характером дискуссий, что происходит с некоторыми современными философами и математиками, которые именно в силу игнорирования ими этого принципа так и не смогли дать удовлетворительное и окончательное решение этих проблем. Этим принципом является сама идея Бесконечного, понимаемая в её единственном истинном смысле, который является чисто метафизическим смыслом, и по этому поводу нам следует только вкратце упомянуть то, что мы уже подробно излагали в другой работе¹: Бесконечным является собственно то, что не имеет границ, ибо "конечное" очевидно синонимично "ограниченному"; таким образом, невозможно корректно применить этот термин к чему-либо иному кроме того, что не имеет абсолютно никаких границ, а это есть универсальное Всё, которое включает в себя все возможности и, следовательно, не может быть ограничено чем-либо каким бы то ни было образом; понимаемое таким образом Бесконечное метафизически и логически необходимо, так как оно не только не подразумевает какого-либо противоречия, не заключая в себе чего-либо отрицательного, но наоборот как раз его отрицание было бы противоречивым. Кроме того, очевидно, что может быть только одно Бесконечное, так как два предположительно различных бесконечных ограничивали бы и поэтому неминуемо исключали бы друг друга; следовательно, каждый раз, когда термин "бесконечное" употребляется в любом смысле, отличном от только что упомянутого, можно быть априори уверенным, что это употребление с необходимостью является неправильным, так как оно равнозначно, коротко говоря, либо игнорированию метафизического Бесконечного вообще либо предположению о наличии другого Бесконечного наряду с первым.

 

1 Множественность состояний сущего, гл. 1.

 

Верно, что схоласты признавали наличие так называемого ими infinitum secundum quid (бесконечное в определённом отношении), и что они тщательно отличали его от infinitum absolutum (абсолютного бесконечного), под которым понимали исключительно метафизическое бесконечное; но здесь можно усмотреть только несовершенство их терминологии, ибо, хотя это различие позволяло им избежать противоречия множественности бесконечных, понимаемых в собственном смысле, двойное использование слова infinitum тем не менее несло определённый риск порождения множественных недоразумений, и, кроме того, одно из этих двух значений становилось в таком случае полностью неправомерным, так как сказать, что нечто является бесконечным только в определённом отношении – а это точное значение выражения infinitum secundum quid – значит сказать, что в реальности оно не является бесконечным вообще². В самом деле, на основании того что вещь не ограничена в определённом смысле или в определённом отношении, нельзя обоснованно заключать, что она не ограничена вообще никак (в таком случае она с необходимостью была бы истинно бесконечной); она не только одновременно может быть ограничена в других отношениях, но мы даже можем сказать, что это с необходимостью так, ввиду того что это обусловленная, определённая* вещь, которая, ввиду самой своей обусловленности, не включает в себя все возможности, а это равнозначно утверждению, что она ограничена тем, что находится вне её; если же, напротив, универсальное Всё понимается как бесконечное, то это так именно по той причине, что вне его ничего нет³. Поэтому любая обусловленность, определённость, какой бы широкой её ни предполагать и как бы широко ни трактовать сам этот термин, с необходимостью исключает истинное понятие бесконечного⁴; любая обусловленность, что бы она из себя ни представляла, всегда представляет собой ограничение, поскольку её существенным свойством является установление определённой области возможностей, отличной от всех остальных и, таким образом, исключение всех остальных. Поэтому поистине "бессмыслицей" являются попытки применить идею бесконечного к той или иной обусловленности, как, например, в случае, рассматриваемом нами в данном исследовании – случае количества или тех или иных его модусов. Сама идея "обусловленного (или определённого) бесконечного" выглядит для нас слишком явно противоречивой, чтобы далее задерживаться на её рассмотрении, хотя это противоречие зачастую ускользало от профанной мысли учёных модерна; и даже те, которых можно назвать "полупрофанами"⁵, как Лейбниц, были неспособны чётко осознать его. В целях ещё большего обнаружения упомянутого противоречия мы могли бы выразиться по-иному (но, в принципе, равнозначным образом), что является очевидным абсурдом намерение определить Бесконечное, поскольку любое определение является, в сущности, ничем иным, как выражением некоторой обусловленности или ограничения, и сами слова достаточно ясно указывают на то, что являющееся предметом определения может быть только предельным или ограниченным**. Намерение заключить Бесконечное в какую-либо формулировку или, если угодно, облачить его в какую угодно форму является сознательной или бессознательной попыткой свести бесконечное Всё к одной из его мельчайших частей, а это, вне всяких сомнений, наиболее очевидное из всех проявлений невозможности.

 

2 В достаточно схожем смысле Спиноза позже употреблял выражение "бесконечное в своём роде", которое, естественно, даёт повод тем же возражениям.

 

* determined – обусловленный, определённый, установленный; (далее, говоря о величинах, переводим determined как "находимая" или "измеримая"). (прим. перев.)

 

3 Можно добавить, что оно оставляет вне себя только невозможное, которое, представляя собой абсолютное ничто, не может ограничивать его никоим образом.

4 Это равным образом справедливо для определённостей универсального, а не просто общего порядка, включая само понятие Бытия, которое является первой из всех определённостей; но, само собой разумеется, это соображение не влияет на рассмотрение вопросов чисто космологического порядка, которыми мы занимаемся в настоящем исследовании.

5 Предупреждая любые возражения по поводу употребления нами выражения "полупрофан", скажем, что оно в весьма полной мере оправдано разницей, существующей между действенной инициацией и исключительно виртуальной инициацией, которую мы поясним в другой работе. (см. Заметки об инициации – ред.)

 

** Генон обращает внимание на семантику однокоренных слов, которые в латыни, французском, английском и русском образуются по схожим схемам:

finite (конечный, предельный) – de-finition (о-пределение) – in-finite (бес-конечный, бес-предельный) – in-finity (бес-конечность, бес-предельность);

terminal (предельный, граничный) – de-termined (о-пределённый, об-условленный) – de-termination (о-пределение, об-условленность);

limit (граница, предел) – limited (о-граниченный) – limitation (о-граничение). (прим. перев.)

 

 

Сказанного достаточно чтобы, не оставляя места ни малейшим сомнениям и не нуждаясь в иных соображениях, прояснить, что не может быть никакого математического или количественного бесконечного, и что это выражение даже не имеет вовсе смысла, поскольку количество само по себе есть определённая категория. Число, пространство и время, к которым некоторые желают применить понятие этого так называемого бесконечного, являются определёнными, обусловленными состояниями, и как таковые могут быть только конечными; они представляют собой не что иное, как некоторые возможности или некоторые наборы возможностей, кроме и вне которых существуют другие, и это, очевидно, подразумевает их ограниченность. В этом отношении можно сказать ещё следующее: помышлять о Бесконечном количественным образом значит не только ограничивать его, но и к тому же помышлять о нём как о чём-то, подверженном возрастанию и убыванию, что не менее абсурдно; при подобных соображениях нетрудно представить не только несколько бесконечностей, сосуществующих без смешения или исключения друг друга, но также бесконечности, которые являются большими или меньшими других; и в итоге, когда бесконечное при таких условиях становится столь относительным понятием, что оно более не является удовлетворительным, изобретается понятие "трансфинитного", то есть области количества, большего чем бесконечность. Вот здесь как раз имеет место так называемое "изобретение", ибо такие концепции не соответствуют какой-либо реальности вообще. Столь много слов, столь много абсурдных соображений, даже касательно простейшей элементарной логики – но даже это не останавливает некоторых лиц, ответственных за это состояние науки, от провозглашения себя "специалистами" в области логики, столь велика интеллектуальная сумятица в наше время!

Следует отметить, что немного выше мы намеренно сказали не "помышлять о количественном бесконечном", но "помышлять о Бесконечном количественным образом", и это следует прояснить. Этим выражением мы желали указать на исследователей, называемых на современном философском жаргоне "инфинитистами"; в самом деле, все прения между "финитистами"* и "инфинитистами" ясно показывают, что у обеих сторон общей является как минимум эта ошибочная идея о сродстве метафизического Бесконечного математическому бесконечному, если не их полное отождествление⁶. Таким образом, обе эти партии равным образом игнорируют наиболее элементарные принципы метафизики, поскольку наоборот только понятие истинного, метафизического Бесконечного позволяет нам отвергнуть любые "частные бесконечные", если можно так выразиться, такие, как так называемое количественное бесконечное, и заранее быть уверенными, что, где бы оно не встретилось, оно представляет собой всего лишь иллюзию; затем следует лишь задаться вопросом о том, что вызвало эту иллюзию, для того чтобы заменить её понятием, более близким к истине. Одним словом, в каждом случае рассмотрения конкретной вещи, определённой возможности, мы можем быть априориуверенными, что она ограничена самим фактом своего наличия и, можно сказать, ограничена по своей природе, и это равным образом справедливо в случае невозможности (по какой бы то ни было причине) фактического достижения её границ; но именно эта невозможность достижения границ некоторых вещей, а иногда и ясного их осмысления, и создаёт иллюзию отсутствия у этих вещей границ, по крайней мере, у людей, незнакомых с метафизическими принципами; и, подчеркнём ещё раз, единственно эта иллюзия и ничто более выражена в противоречивой формулировке "определённая бесконечность".

 

* "Финитистами" в Средние века и позже называли сторонников дискретной онтологии. См.: В.П. Зубов. Развитие атомистических представлений до начала XIX века. Москва: Наука, 1965. с. 89 и след. (прим. перев.)

 

6 В качестве характерного примера позволим себе привести место из заключительной части работы Л. Кутюра De l'infini mathématique, в которой он пытался доказать существование бесконечности чисел и размеров, утверждая, что его намерением было показать своей работой, что "несмотря на новую волну критицизма [т.е. теории Ренувье и его школы], возможность построения инфинитистской метафизики приемлема"!

 

 

Для того чтобы исправить это ошибочное понятие, или, скорее, чтобы заменить его понятием, соответствующим реальному положению вещей⁷, следует ввести идею неопределённого, которая представляет собой именно идею развёртывания возможностей, границы которых мы фактически не можем достичь; и именно поэтому мы рассматриваем различие между Бесконечным и неопределённым как фундаментальное применительно ко всем проблемам, в связи с которыми возникает это так называемое математическое бесконечное. Без сомнения, именно это различие соответствовало в построениях его авторов схоластическому различию между infinitum absolutum и infinitum secundum quid. Весьма досадно, что Лейбниц, столь много позаимствовавший у схоластики, упустил это различие или пренебрёг им, ибо, какой бы несовершенной ни была форма, в которую оно облечено, оно бы позволило ему достаточно легко справиться с некоторыми возражениями, возникшими против его метода. Напротив, Декарт, кажется, действительно пытался установить рассматриваемое различие, однако он был весьма далёк от того, чтобы выразить его или даже помыслить о нём с достаточной аккуратностью, поскольку, согласно ему, неопределённым является то, границы чего мы не воспринимаем, и что в реальности могло бы быть бесконечным, хотя мы и не можем утверждать этого – в то время как истинной точкой зрения является то, что мы напротив можем утверждать небесконечность чего-либо, и что никоим образом не является необходимым воспринимать границы этого объекта для уверенности в их существовании. Таким образом, можно видеть, насколько туманными и запутанными являются все такие объяснения, которые всегда своей почвой имеют отсутствие принципиальных оснований. Декарт в самом деле говорил: "Когда мы рассматриваем вещи, в которых мы, в определённом смысле⁸, не замечаем границ, мы не можем утверждать на основании этого, что они бесконечны, но мы должны считать их только неопределёнными"⁹. И в качестве примеров он приводит протяжённость и делимость тел; он не настаивает, что эти явления бесконечны, но, очевидно, он не желает и явно отрицать этого, тем более что незадолго до этого он заявляет, что не намерен "ввязываться в дебаты о категории бесконечного", что является очевидным удобным способом отмахнуться от трудностей, даже если позже он и говорит, что "хотя мы наблюдаем некоторые явления, которые кажутся нам не имеющими вовсе границ, мы сознаём, что это происходит от недостатка осмысления, а не от их природы"¹⁰. Короче говоря, он совершенно обоснованно желает сохранить имя бесконечного для того, что не имеет границ; но, с одной стороны, кажется, он не знает со всей уверенностью, всегда подразумеваемой метафизическим знанием, что не имеющее границ не может быть чем-то иным кроме как универсальным Всем, а с другой стороны, само его понятие неопределённого требует серьёзного уточнения; будь оно точным, несомненно, не было бы столь значительного количества столь легко порождаемых недоразумений¹¹.

 

7 Следует, со всей логической строгостью, различать "ошибочное понятие" (или, если угодно, "псевдо-понятие") и "неправильное понятие": "неправильным понятием" является понятие, не соответствующее реальности надлежащим образом, хотя оно тем не менее соответствует реальности в определённой мере; напротив, "ошибочное понятие" подразумевает противоречие – как в данном случае – и поэтому не является собственно понятием, даже неправильным, хотя и кажется таковым тем, кто не улавливает находящегося в нём противоречия, ибо, выражая только невозможное, которое тождественно ничтожности, оно не соответствует абсолютно ничему; "неправильное понятие" может быть исправлено, а "ошибочное понятие" может быть только целиком отвергнуто.

8 Эти слова, кажется, относятся к схоластическому понятию secundum quid, и поэтому, возможно, основной целью приведённой фразы была косвенная критика выражения infinitum secundum quid.

9 Principes de la Philosophie, I, 26.

10 Там же, I, 27.

11 Так, в своей переписке с Лейбницем по вопросу об исчислении бесконечно малых, Вариньон употребляет термины "бесконечное" и "неопределённое" без различия, как будто они по сути синонимичны, или, по крайней мере, как будто неважно, скажем так, если один будет заменять другой, хотя напротив именно разница в значениях этих слов должна была рассматриваться в качестве отправного пункта этих дискуссий.

 

 

Мы утверждаем, что неопределённое не может быть бесконечным, так как оно всегда подразумевает некоторую обусловленность и ограничение, будь то в плане размера, продолжительности, делимости или в какой-либо иной возможности; одним словом, что бы ни представляло собой неопределённое и в каком аспекте его ни рассматривать, оно принадлежит категории конечного и может быть исключительно только конечным. Без сомнений, его границы могут быть увеличены до тех пор, пока они не окажутся вне нашей досягаемости, во всяком случае, в той мере, в какой мы намерены постигать их некоторым способом, который можно назвать "аналитическим" (что мы более подробно поясним далее); но они посредством этого никоим образом не упраздняются, и, во всяком случае, если могут быть упразднены ограничения некоторого определённого порядка, останутся другие, имеющие такую же природу, что и первые, ибо именно в силу своей природы, а не просто неких более-менее внешних или акцидентальных обстоятельств каждая конкретная вещь является конечной, вне зависимости от степени возможного модифицирования присущих ей ограничений. В этом отношении можно указать, что символ ∞, которым математики обозначают своё так называемое бесконечное, является замкнутой фигурой, поэтому очевидно конечной, так же как и круг, который некоторыми по непонятной причине был сделан символом вечности, в то время как в действительности он может быть только символом временного цикла, всего-навсего неопределённого на своём уровне, то есть того, что корректно называется повторяемостью или цикличностью¹²; и нетрудно заметить, что это смешение вечности и цикличности, столь распространённое среди современных людей Запада, тесно связано со смешением Бесконечного и неопределённого.

 

12 Снова следует отметить (как мы уже поясняли в другой работе), что такой цикл в действительности никогда не бывает замкнутым, и кажимость такой замкнутости сохраняется лишь до тех пор, пока наблюдатель рассматривает такой цикл с перспективы, не позволяющей воспринять расстояние, существующее в реальности между его крайними точками – точно так же как спираль, расположенная вдоль вертикальной оси, выглядит как круг при проекции на горизонтальную плоскость.

 

Для того чтобы лучше понять идею неопределённого и способ, которым оно образуется из конечного в его обычном смысле, можно рассмотреть какой-нибудь пример, скажем, пример последовательности чисел: в этом случае, очевидно, никогда не существует возможности остановиться в определённой точке, поскольку после каждого числа всегда есть ещё одно, которое может быть получено путём прибавления единицы; следовательно, ограничение этой неопределённой последовательности должно происходить из уровня, инакового по отношению к уровню определённого ряда чисел, взятого между любыми двумя определёнными числами; это ограничение должно выводиться не из частных свойств отдельных чисел, а скорее из самой природы числа во всей её универсальности, то есть из такой определённости или обусловленности, которая, существенным образом составляя эту природу, делает число непосредственно тем, чем оно является, и ничем иным. Можно было бы сделать в точности такое же наблюдение в случае рассмотрения не категории числа, а категорий пространства или времени, таким же образом рассмотренных во всех возможных модификациях, которым они подвержены¹³. Любая такая модификация, неопределённая в меру её восприятия и по действительной своей природе, никогда никоим образом не выйдет за пределы конечного. В самом деле, в то время как конечное с необходимостью подразумевает существование Бесконечного – ибо это последнее является тем, что охватывает и объемлет все возможности – неопределённое наоборот происходит от конечного, всего лишь развёртыванием которого оно является в реальности и к которому оно, следовательно, всегда сводимо, ибо очевидно, что какие бы операции не совершать с конечным, из него нельзя вывести как что-либо большее, так и что-либо инаковое относительно того, что уже потенциально в нём содержится. Снова взяв пример с последовательностью чисел, можно сказать, что эта последовательность, при всей неопределённости, ею подразумеваемой, дана нам через формулу её образования, поскольку именно из этой самой формулы непосредственно следует эта неопределённость; формула же эта заключается в том, что при наличии некоего числа, можно образовать следующее путём добавления единицы. В силу этого последовательность чисел образуется путём последовательных прибавлений единицы к самой себе, повторенных неопределённое количество раз, что представляет собой, по существу, всего лишь неопределённого рода модификацию процесса образования любой арифметической суммы; и на этом примере достаточно ясно видно, как неопределённое образуется из конечного. Вместе с тем, данный пример обязан своей особенной чёткостью дискретному характеру численных величин; однако, для рассмотрения проблемы в более общей перспективе, применимой ко всем случаям, достаточно утвердить саму идею "становления", подразумеваемую термином "неопределённый", что мы уже отмечали выше, когда говорили о развёртывании возможностей, развёртывании, которое само по себе и во всём своём течении всегда состоит из чего-то незаконченного¹⁴; смысл этого замечания станет вполне ясен при рассмотрении "переменных величин" в их отношении к исчислению бесконечно малых.

 

13 Таким образом, бессмысленно утверждать, что, например, пространство может быть ограничено только чем-то также пространственным, при том что пространство вообще не может быть ограничено ничем; оно, напротив, ограничено самой той обусловленностью, которая составляет его собственную природу в качестве пространства и которая оставляет место, вне его, всем непространственным возможностям.

14 Ср. замечание А.К. Кумарасвами по поводу платоновского понятия "меры", приведённое нами в другой работе (Царство количества и знамения времени, гл. 3): "не измеренное" – это то, что ещё не было определено, то есть, короче говоря, неопределённое, и оно тем самым одновременно представляет собой нечто, только неполностью реализованное в проявленности.

Глава 2.

Противоречивость понятия "бесконечное число".

 

Как мы ещё отчётливее проясним по ходу дальнейшего изложения, в некоторых случаях достаточно заменить идею так называемого бесконечного идеей неопределённого, для того чтобы немедленно развеять все возникающие проблемы; но в некоторых случаях этот шаг невозможен, поскольку речь идёт о чём-то явно определённом – "постоянном", так сказать, по определению – которое, как таковое, не может быть причислено к неопределённому исходя из наших недавних замечаний. Так, например, можно сказать, что некоторая последовательность чисел неопределённа, но не что некоторое число, каким бы большим его ни предполагали и какое бы положение оно ни занимало в последовательности, является неопределённым. Идея "бесконечного числа", понимаемого как "наибольшее из всех чисел" или "число всех чисел" или "число всех единиц", является сама по себе поистине противоречивой идеей, которая осталась бы невозможной даже при отказе от неправомерного употребления слова "бесконечное". Не может быть числа, большего чем все другие, поскольку, как бы велико ни было число, всегда можно образовать большее путём добавления единицы, согласно формуле образования последовательности, упомянутой нами ранее. Это равнозначно утверждению, что у последовательности чисел не может быть конечного члена, и именно по той причине, что она не "оканчивается", она является поистине неопределённой; поскольку число членов последовательности равно последнему её члену, можно сказать, что последовательность "неисчислима", и к этой идее мы ещё вернемся по ходу дальнейшего изложения.

Невозможность "бесконечного числа" может быть установлена и другими различными аргументами. Лейбниц, который, по крайней мере, хотя бы это понимал чётко¹, рассматривал аргумент о сопоставлении последовательности чётных чисел с последовательностью целых чисел: каждому числу в таком сопоставлении соответствует другое число, равное произведению первого на два, таким образом, можно сопоставить обе последовательности почленно, и результатом будет совпадение количества членов в обеих; но, очевидно, что целых чисел в два раза больше, чем чётных, поскольку чётные числа идут через одно в последовательности целых чисел; таким образом, сопоставление приводит к очевидному противоречию. Этот аргумент можно обобщить, взяв вместо последовательности чётных чисел (то есть умноженных на два) числа, умноженные на любое число, и вывод останется прежним; или же, подобным образом, можно взять последовательность квадратов целых чисел² или, более общим образом, последовательность их степеней любого показателя. В любом случае, вывод будет прежним: последовательность, включающая только часть целых чисел будет равной по числу членов другой последовательности, включающей все целые числа, что равнозначно утверждению, что целое не больше его части, и, при допущении существования числа всех чисел, это противоречие будет неизбежным. Тем не менее некоторые полагали возможным избежать данного противоречия, предполагая существование чисел, умножение на определённое число или возведение в определённую степень которых невозможно именно по причине того, что такие операции будут иметь результатом число, превосходящее так называемое "бесконечное число"; находятся даже такие, которые в самом деле склоняются к рассмотрению чисел, описываемых как "большие чем бесконечность", – так появляются такие теории, как "трансфинитные числа" Кантора, которые могут выглядеть весьма хитроумными, но находятся за пределами какой-либо логической состоятельности³: является ли вообще мыслимой такая фантазия, которая предполагает именовать число "бесконечным", когда напротив оно настолько "конечно", что даже не является наибольшим из чисел? Более того, при наличии таких теорий будут существовать такие числа, к которым не будут применимы никакие из правил обыкновенного вычисления, то есть, коротко говоря, числа, которые не будут являться в действительности числами, а только называться таковыми по соглашению⁴. Так неизбежно происходит, когда в попытке помыслить "бесконечное число" иным образом, нежели как наибольшее из чисел, рассматривают различные "бесконечные числа", предположительно неравные друг другу, которым приписываются качества, уже не имеющие ничего общего с качествами обычных чисел; так через уход от одного противоречия открывается дорога к нескольким новым, и всё это, по сути, является только результатом того самого пресловутого бессмысленного "конвенционализма".

 

1 Он писал: "Невзирая на мою теорию исчисления бесконечно малых, я не признаю существования в действительности бесконечного числа, хотя я признаю, что совокупность всех вещей превосходит все конечные числа или, скорее, всякое число".

2 Это было произведено Коши, который приписывал этот аргумент Галилею (Sept leçons de Physique générale, лекция третья).

3 Уже во времена Лейбница Валлис рассматривал spatia plus quam infinita (более чем бесконечное пространство); эта точка зрения, раскритикованная Вариньоном как заключающая противоречие, также поддерживалась Гвидо Гранди в его книге De Infinitis infinitorum (О бесконечности бесконечных). С другой стороны, Иоганн Бернулли в ходе дискуссий с Лейбницем писал: "Si dantur termini infiniti, dabitur etiam terminus infinitesimus (non dico ultimus) et qui eum equuntur" ("Если даны границы бесконечного, будут даны и границы бесконечно малых (не говорю: предельные границы), которые из них следуют"), что, при отсутствии более внятных пояснений с его стороны, выглядит как его предположение, что в числовой последовательности могут быть члены "за пределами бесконечного".

4 Ни в коем случае нельзя считать, что здесь дело в аналогическом употреблении понятия числа, ибо это подразумевало бы переход в область, инаковую по отношению к количеству; напротив, соображения такого рода всегда относятся исключительно к количеству, понимаемому в его самом буквальном смысле.

 

Таким образом, идея так называемого "бесконечного числа", каким бы способом её ни излагали и каким бы именем ни называли, всегда содержит противоречивые элементы; вместе с тем, сама потребность в такой абсурдной идее отпадает с того момента, как только формируется адекватное понятие о сути неопределённости числа, а также понимание того, что число, несмотря на его неопределённость, ни в коем случае не приложимо ко всему существующему. Нет необходимости задерживаться на этом моменте, так как мы уже досточно пояснили его в других наших работах. Число является только модусом количества, а количество само по себе является всего лишь категорией или особенным модусом бытия, неравнообъёмным по отношению к нему, или, ещё точнее, количество является всего лишь условием, присущим одному определённому состоянию существования во всей целостности вселенского бытия; и именно этот момент современные учёные понимают с наибольшим трудом при их привычной склонности сводить всё к количеству и даже к численной оценке всего⁵. Тем не менее в самой области количества есть реалии, существующие вне числа, как мы увидим при рассмотрении категории непрерывности (континуальности); и даже оставаясь исключительно в сфере рассмотрения дискретного количества, следует признать, по крайней мере, косвенным образом, что число не приложимо ко всем явлениям – например, очевидно, что множество всех чисел не может составлять числа; что, вместе с тем, представляет собой только частный случай той неоспоримой истины, которая гласит, что нечто, ограничивающее некоторый уровень возможностей, должно с необходимостью принадлежать уровню внешнему и инаковому по отношению к ограничиваемым объектам⁶. Необходимо только уяснить, что такое множество, будь оно прерывным, как в случае последовательности чисел, или непрерывным – этот вопрос мы рассмотрим далее – никоим образом не может именоваться бесконечным, и в таких случаях не может иметь места ничего кроме неопределённого; и именно это понятие множества мы сейчас намерены рассмотреть более подробно.

 

5 Так, Ренувье полагал, что число приложимо ко всему, по крайней мере, в идеальном плане, то есть что всё "исчислимо" само по себе, даже если мы фактически неспособны его "исчислить"; поэтому он совершенно неверно понял значение, которое Лейбниц придавал понятию "множество", и он так и не уяснил, каким образом различие между множеством и числом позволяет избежать противоречия "бесконечного числа".

6 Мы сказали тем не менее, что каждая конкретная или определённая вещь, что бы она собой ни представляла, ограничена по самой своей природе, но здесь нет абсолютно никакого противоречия: действительно, она ограничена негативной стороной этой природы (ибо, как выразился Спиноза: "omnis determinatio negatio est" – "всякое определение есть отрицание"), то есть своей природой, рассматриваемой в той мере, в какой она исключает другие вещи и оставляет их вне самое себя*, таким образом, что в итоге именно сосуществование этих иных вещей производит ограничение рассматриваемой вещи; вместе с тем, именно по этой причине универсальное Всё, и только оно одно, не может быть ограничено ничем.

 

* Сущность (лат. essentia) есть принцип негативный, принцип отрицания (иных содержаний бытия), ограничения бытия (сведения его к конечному бытию), определённости – в отличие от принципа бытия, который есть позитивный принцип, принцип полагания. См.: Э. Корет. Основы метафизики. / пер. В. Терлецкого. Киев, 1998. разд. 3.2.3. (прим. перев.)

 

 

Глава 3.