Главная | Обратная связь

Неисчислимое множество.

 

Как мы уже видели, Лейбниц никоим образом не допускал понятия "бесконечного числа", поскольку он напротив явным образом заявлял, что оно повлечёт за собой противоречие, в каком бы смысле его ни рассматривать; с другой стороны, он допускает понятие, именуемое им "бесконечным множеством", хотя и без уточнения – как, во всяком случае, делали и схоласты – что при любых обстоятельствах оно может быть только infinitum secundum quid (бесконечным в определённом отношении), примером какового множества для него была последовательность чисел. С другой точки зрения, в области количества и даже в области непрерывных величин идея бесконечного тем не менее всегда представляется ему подозрительной на предмет, по крайней мере, возможного противоречия, поскольку, будучи далеко не полноценной идеей, она неизбежно влечёт некоторую путаницу, а нельзя быть уверенным, что некоторая идея не заключает в себе противоречия, пока мы отчётливо не осмыслили все её составляющие¹; это соображение едва ли позволяет усвоить этой идее "символический" – хотя мы бы скорее сказали "представительный" – характер, и, как мы увидим далее, именно поэтому Лейбниц так и не отважился произнести чёткое суждение о природе "бесконечно малого"; но именно это замешательство, этот неуверенный подход ещё более ярко указывает на недостаточность принципиальных оснований, позволившую ему признать возможность оперирования понятием "бесконечное множество". В связи с этим можно было бы поинтересоваться, не задумывался ли он о том, что для того чтобы быть "бесконечным", по его выражению, такое множество должно было бы не только не быть "исчислимым" (что очевидно), но и должно было бы вовсе не быть количественным (если рассматривать количество во всём его объёме и модификациях); это имеет место в некоторых случаях, но не во всех; как бы то ни было, по этому пункту он так и не объяснился чётким образом.

 

1 Декарт говорил исключительно о "ясных и отчётливых идеях"; Лейбниц утверждал, что идея может быть ясной, не будучи отчётливой, то есть может позволять распознать себя и отличать от других вещей, в то время как отчётливой идеей является идея, не только "различаемая" в этом смысле, но и "различённая" в её составляющих частях; вместе с тем, идея может быть более или менее отчётливой, а полноценной идеей является идея отчётливая полностью и во всех её элементах; однако, в то время как Декарт считал, что можно иметь "ясные и отчётливые" идеи всего, Лейбниц напротив считал, что полноценными могут быть только математические идеи, элементы которых представляют собой как бы определённые числа, в то время как все другие идеи заключают в себе множества элементов, анализ которых никогда не выполним до конца, и, таким образом, всегда остаются частично путанными.

 

Идея множества, превосходящего всякое число и, следовательно, не являющегося числом, похоже, приводила в изумление большую часть учёных, рассматривавших концепции Лейбница, как "финитистов", так и "инфинитистов"; тем не менее она является далеко не достоянием Лейбница, как они большей частью, похоже, считали, а напротив была широко известна уже схоластам². Эта идея применялась в частности ко всему, не являющемуся ни числом, ни "исчислимым", то есть ко всему, не относящемуся к области дискретного количества, будь то явления, принадлежащие другим модусам количества, или нечто, находящееся вовсе вне области количества, ибо эта идея подразумевала принадлежность таких явлений к уровню "трансценденталий"* или общих модусов бытия, которые, в отличие от его частных модусов, таких как количество, являются равнообъёмными с бытием³. Исходя из этого, можно говорить о множестве божественных атрибутов, например, или о множестве ангелов, то есть существ, обретающихся в состояниях, не подверженных количественности, где, следовательно, нет и понятия числа; исходя из этого также можно говорить о состояниях сущего или степенях существования, также множественных или также составляющих неопределённое множество, хотя количество присуще в качестве одного из особых условий только каждому такому состоянию по отдельности. С другой стороны, поскольку идея множества, в отличие от идеи числа, применима ко всему существующему, должны с необходимостью быть множества количественного порядка, в частности, по-видимому, в области континуального (непрерывного) количества, и по этой причине мы только что сказали, что будет некорректным считать каждый случай так называемого "бесконечного множества", то есть множества, превосходящего всякое число, случаем полного выхода за пределы области количества. Более того, число само по себе может рассматриваться как вид множества, но при дополнительном условии, что оно будет "множеством, измеряемым единицей", по выражению Фомы Аквинского; все другие виды множеств при этом нужно считать "неисчислимыми" или "неизмеримыми", что не означает, что они являются бесконечными, а означает только, что они являются неопределёнными.

 

2 Мы сошлёмся только на один текст, который особено чётко выражает эту мысль: "Qui diceret aliquam multitudinem esse infinitam, non diceret eam esse numerum, vel numerum habere; addit etiam numerus super multitudinem rationem mensurationis. Est enim numerus multitudo mensurata per unum <…> et propter hoc numerus ponitur species quantitatis discretae, non autem multitudo, sed est de transcendentibus" – "Если сказать, что некоторое множество бесконечно, это не значит сказать, что оно представляет собой число или имеет число, ибо число прибавляет ко множеству идею меры. Ибо число есть множество, измеряемое единицей <…> и по этой причине число классифицируется как вид дискретного количества, но множество не классифицируется таким образом, а скорее является одной из трансценденталий" (Фома Аквинский, Физика, III, 1.8).

 

* Трансценденталии – в схоластике наиболее широкие понятия (свойства бытия), превосходящие все онтологические границы, относящиеся к бытию вообще и являющиеся его атрибутами. Классическим стало признание трёх основных трансценденталий: единое, истинное и благое (unum, verum, bonum). Подробнее см.: Э. Корет. указ. соч., разд. 2.1.4, 2.4.2, 5.1. (прим. перев.)

 

3 Известно, что схоласты, даже в собственно метафизических разделах своих доктрин, никогда не шли дальше рассмотрения Бытия, таким образом для них метафизика, фактически, сводилась единственно к онтологии**.

 

** Это замечание, будучи верным по сути, т.е. применительно к европейской схоластике в общих чертах (особенно к зрелому её периоду, т.е. к эпохе экзистенциалистского томизма, сформировавшегося во второй половине 13 века), тем не менее не учитывает второстепенной (подчинённой томизму со времени его утверждения), однако не менее активной линии европейской схоластики, которую можно назвать "эссенциалистской", к которой можно причислить большинство августинианцев, большинство францисканцев и всех финитистов. Ярким примером может быть Николай Кузанский, разрабатывавший учение о "возможности", превосходящей "бытие", т.е. явно отвергавший томистский экзистенциализм. Сведение метафизики к онтологии характерно как раз для томизма (ср. Э. Корет: "Метафизика есть онтология, т.е. учение о бытии" – указ. соч., разд. 2.4.2).

Генон, как и другие европейские исследователи, к сожалению, обходит вниманием наличие и весьма высокую степень разработанности византийской схоластики, которая до начала 13 века (до завоевания Константинополя крестоносцами в 1204 году) была, преимущественно, эссенциалистской (см.: Ю. Чорноморець. Візантійський неоплатонізм від Діонісія Ареопагіта до Геннадія Схоларія. Київ, 2010. с. 348-359). К сожалению, труды византийских схоластов этого периода остаются почти в полном составе неопубликованными (см.: Ф.И. Успенский. Очерки по истории византийской образованности. Москва, 2010. с. 144, 152). Экзистенциализм, схожий по типу с томистским, установился в качестве официальной философии Византии только с победой паламизма в 1351 году, не без значительного сопротивления части интеллектуальной и политической элиты (см.: Ф.И. Успенский, указ. соч., с. 225-226, 300-303). (прим. перев.)

 

 

В связи с этим следует отметить достаточно странный факт: для Лейбница это множество, не составляющее числа, является тем не менее "результатом единиц"⁴. Как это следует понимать, и какие в действительности единицы имеются в виду? Слово "единица" можно рассматривать в двух совершенно разных смыслах⁵: с одной стороны, есть арифметическая или количественная единица, которая является первым элементом числа, его отправной точкой, а, с другой стороны, есть нечто аналогическим образом обозначаемое как метафизическое Единое, которое отождествляется с самим чистым Бытием; кроме этих значений мы не видим никаких других; к тому же, когда слово "единица" употребляется во множественном числе, очевидно, его можно понимать только в количественном смысле. Однако, если это так, тогда сумма этих единиц не может представлять собой что-либо иное помимо числа и никоим образом не может превосходить число; правда, Лейбниц употреблял слово "результат", а не "сумма", но это различие, даже если оно было намеренным, тем не менее остаётся невнятным. Кроме того, в другом месте он заявляет, что множество, не будучи числом, тем не менее постигается по аналогии с числом: "Когда существует большее количество вещей, – говорит он, – чем может быть охвачено каким-либо числом, мы всё равно приписываем им аналогическим образом число, которое называем бесконечным", – хотя, кажется, это только оборот речи, modus loquendi⁶, и даже, в такой форме, крайне некорректный оборот речи, поскольку в реальности рассматриваемая вещь вовсе не является числом; однако, какими бы ни были недостатки выражений и те недоразумения, к которым они могут привести, мы в любом случае должны признать, что отождествление множества и числа, несомненно, не подразумевалось построениями Лейбница.

 

4 Systéme nouveau de la nature et de la communication des substances.

5 Французское слово unité имеет двойное значение "единицы" и "единства", как объясняет сам Генон. (ред.)

6 Observatio quod rationes sive proportiones non habeant locum circa quantitates nihilo minores, et de vero sensu Methodi infinitesimalis (Рассуждение о том, что к убывающим величинам неприменимы расчёты и пропорции, и об истинном понимании метода бесконечно малых), в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1712.

 

Другой пункт, которому Лейбниц, кажется, придавал немалое значение, это то, что "бесконечное", в его понимании, не составляет целое⁷; он считает, что эта предпосылка необходима во избежание противоречий в рассуждениях, однако здесь заключается ещё одна значительная неясность. Можно задаться вопросом, какое "целое" здесь имеется в виду, и в этом случае прежде всего придётся полностью отбросить идею универсального Всего, которое напротив, как мы утверждали с самого начала, представляет собой метафизическое Бесконечное, единственно истинное Бесконечное, которое никоим образом не может рассматриваться в этом случае; в самом деле, при рассмотрении области как континуального, так и дискретного, "неопределённое множество", рассматриваемое Лейбницем в каждом из этих случаев, имеет смысл только в ограниченной и контингентной* области космологического, но не метафизического порядка. Вместе с тем, очевидно, это также и вопрос о целом, понимаемом как состоящее из частей, в то время как (что было пояснено нами ранее⁸) универсальное Всё, собственно говоря, "не имеет частей", в силу самой своей бесконечности, поскольку такие части с необходимостью относительны и конечны и поэтому не могут иметь реальной связи с ним, что равнозначно утверждению, что для него они не существуют. Таким образом, что касается поставленного вопроса, следует ограничиться рассмотрением частного целого; но здесь снова, опять-таки в отношении структуры такого целого и его отношения к своим частям, есть два способа рассмотрения, соответствующие двум весьма различным смыслам слова "целое". Во-первых, существует целое, представляющее собой не более и не что иное, нежели простую сумму своих частей, из которых оно состоит наподобие арифметической суммы – такое понятие целого, по мнению Лейбница, является очевидно фундаментальным, поскольку такой способ его образования в точности соответствует способу образования, присущему числу (при этом Лейбниц отказывается рассматривать реалии, лежащие за пределами области числа). Но в действительности такое понятие, явно не будучи единственным способом осмысления какого-либо целого, не является даже понятием собственно целого в самом строгом смысле этого слова. В самом деле, такое целое, которое, таким образом, является только суммой или результатом своих частей, и которое, следовательно, является логически вторичным по отношению к ним, представляет собой, по существу, не что иное, как ens rationis (логическое или умственное бытие), ибо оно является "единым" и "целым" только в той мере, в какой мы осмысляем его как таковое; само по себе оно является, строго говоря, всего лишь "группой", и это мы, посредством способа нашего рассмотрения, придаём ему в некотором относительном смысле характер единства и целостности. Напротив, истинное целое, обладая характером целого по своей природе, должно быть логически первичным, предшествующим своим частям и независимым от них: таков случай непрерывного множества, которое мы можем делить на части произвольно, то есть на части любого размера, без того чтобы хоть в какой-либо мере предполагать действительное существование таких частей; в данном случае мы сами придаём реальность таким частям, посредством мнимого либо действительного разделения, и этот случай, таким образом, представляет собой полную противоположность предыдущему.

 

7 Ср. там же: "Infinitum continuum vel discretum proprie nec unum, nec totum, nec quantum est" ("Бесконечное, как континуальное, так и дискретное, собственно говоря, не является ни единым, ни целым, ни количеством"), где выражение nec quantum, кажется, подразумевает, что для Лейбница, как мы указывали ранее, "неопределённое множество" не может мыслиться количественно, если только под quantum он не имел в виду исключительно определённое количество, такое, каким должно было бы быть так называемое "бесконечное число", противоречивость которого он уже пояснил.

 

* Понятие "контингентного" (т.е. не-необходимо сущего), центральное в схоластике авраамических религий, выражает особенный характер тварного, обусловленность конечного сущего, т.е. его зависимость от абсолютного бытия, и, следовательно, различие сущности и существования в конечном сущем (см.: Э. Корет. указ. соч., разд. 3.2.4). (прим. перев.)

 

8 По этому поводу см. подробнее: Множественность состояний сущего, гл. 1.

 

 

Итак, собственно вопрос, коротко говоря, сводится к выяснению следующего: когда Лейбниц говорил, что "бесконечое не является целым", исключал ли он вышеупомянутый второй смысл понятия "целое" так же, как и первый? Кажется, что исключал, и следует полагать так, поскольку только в том втором смысле целое будет поистине "единым", а бесконечное, согласно Лейбницу, не является nec unum, nec totum (ни единым, ни целым). Что дополнительно подтверждает эту точку зрения, это то, что именно второй упомянутый смысл, а не первый, применим к живому существу или организму, рассматриваемому с точки зрения целостности; а Лейбниц говорит: "Даже Вселенная не является целым, и её не следут рассматривать как живое существо, душой которого является Бог, как думали древние"⁹. Однако, если это так, невозможно понять, как идеи бесконечного и континуального могут выступать как связанные, в качестве каковых он чаще всего их рассматривает, поскольку идея континуального, по крайней мере, в некотором смысле, связана именно со вторым упомянутым пониманием целостности; но этот пункт мы подробнее поясним по ходу дальнейшего изложения. В любом случае, ясно то, что если бы Лейбниц постиг третий смысл слова "целое", чисто метафизический смысл, превосходящий другие два, а именно понятие универсального Всего, изложенное нами в самом начале данной работы, он не смог бы сказать, что понятие бесконечного исключает целостность, ибо он помимо прочего заявлял: "Реально бесконечным является, пожалуй, сам абсолют, который не состоит из частей, но, имея части, постигает их превосходящим всё разумом, сообразно степени его совершенства"¹⁰. Здесь, можно сказать, как минимум виднеется свет в конце тоннеля, ибо в данном случае, почти по случайности, он употребляет слово "бесконечное" в его истинном смысле, хотя ошибочно утверждать, что это бесконечное "имеет части", каким бы образом это ни понимать; но странно, что он снова выражает свою мысль в исключительно неясной и запутанной форме, как будто он не полностью утвердился относительно смысла этой своей идеи; и в самом деле, видимо, он так и не утвердился в этой идее, ибо в противном случае невозможно объяснить, почему он столь часто игнорировал её собственный смысл, и почему при рассмотрении его высказываний о бесконечном порой так трудно уразуметь, намеревался ли он употребить этот термин строго, хотя и некорректно, или предлагал ли он просто "оборот речи".

 

9 Письмо Иоганну Бернулли. – Здесь Лейбниц достаточно необоснованно приписывает древним вообще мнение, в реальности разделявшееся только некоторыми из них; он, очевидно, имеет в виду доктрину стоиков, которые рассматривали Бога как исключительно имманентного, отождествляя его с Anima Mundi (мировой душой). Вместе с тем, само собой разумеется, что в этом случае рассматривается только проявленная Вселенная, то есть космос, а не универсальное Всё, которое охватывает все возможности, непроявленные, так же как проявленные.

10 Письмо Иоганну Бернулли от 7 июня 1698 года.

 

Глава 4.