Здавалка
Главная | Обратная связь

Метрика континуального.



 

До сих пор, говоря о числе, мы имели в виду исключительно целые числа1, и логически это было необходимо, поскольку мы рассматривали численную величину исключительно как дискретную величину: между двумя идущими подряд членами последовательности целых чисел всегда имеется строго определённый интервал, установленный разницей в единицу, существующей между этими двумя числами, которая, при верности принципу целых чисел, никоим образом не допускает уменьшения. Более того, в реальности только целые числа являются истинными числами или, можно ещё сказать, чистыми числами*; и последовательность целых чисел начиная с единицы продолжается, неопределённо возрастая, никогда не достигая последнего члена, само предположение существования которого, как мы видели, было бы противоречивым; однако, само собой размеется, что последовательность разворачивается только в одну сторону, и противоположное направление – то есть бесконечное убывание – не может быть ею выражено, хотя, с другой точки зрения, существует определённое соотношение и некий род симметрии между понятиями бесконечно возрастающих и бесконечно убывающих величин, как мы покажем далее по ходу изложения. Однако, людям было мало целых чисел и они начали подумывать о других видах чисел; обычно утверждается, что эти другие виды чисел представляют собой расширение или обобщение самой идеи числа, и это до известной степени так; но в то же время такое расширение представляет собой также искажение, и об этом современные математики, похоже, слишком легко забывают, поскольку их "конвенционализм" ведёт к непониманию ими происхождения и смысла этих чисел. В действительности числа, не являющиеся целыми, всегда возникают, прежде всего, как выражение результата операций, невозможных при верности точке зрения чистой арифметики, которая в строгом смысле является арифметикой исключительно целых чисел: так, дробное число, например, представляет собой не более чем выражение результата деления, невозможного в реальности, то есть такого, которое должно считаться арифметически невозможным, и, вместе с тем, именно это косвенно признаётся, когда говорят, в согласии с обычной математической терминологией, что одно из двух рассматриваемых чисел не делится на другое. Здесь следует указать, что определение, обычно даваемое дробным числам, является абсурдным; дроби никоим образом не могут быть "частями единицы", как их определяют, ибо истинная арифметическая единица является с необходимостью неделимой и не имеет частей; из этого следует сущностная дискретность числа, образуемого из единицы; но рассмотрим, откуда происходит абсурдный характер этих определений.

 

1 Похоже, что Генон, говоря о "целых числах" (nombres entiers) имеет в виду положительные целые числа, т.е. натуральные. (ред.)

 

* Признание реальности (т.е. соответствия реальной онтологии) только целых чисел было одним из пунктов финитистов. См. напр.: А.Н. Вяльцев. Дискретное пространство-время. Москва: Наука, 1965. с. 150. (прим. перев.)

 

 

В действительности вовсе не обязательно слепо принимать результаты указанных операций вышеозначенным способом, вместо того чтобы посчитать их чистейшей невозможностью; по большому счёту, это происходит именно вследствие применения числа – дискретной (прерывной) величины – к измерению величин, принадлежащих порядку континуальных (непрерывных), как, например, пространственные величины. Между двумя этими модальностями величин существует естественное различие, заключающееся в том, что между ними не может быть установлено полное соответствие; для некоторого устранения этого несоответствия, по крайней мере, в некоторой возможной степени, стремятся как бы уменьшить интервалы этой дискретности, образуемой последовательностью целых чисел, путём введения других чисел между её членами, прежде всего, дробных чисел – что было бы бессмысленно без учёта данного соображения. Поэтому нетрудно уяснить, что только что отмеченный нами абсурдный характер определения дробей очевидным образом проистекает из смешения арифметической единицы и того, что называется "единицами измерения", единиц, являющихся таковыми только посредством условности и представляющих собой в реальности величины иного рода, нежели число, прежде всего, очевидно, геометрические величины. Единица длины, например, является всего лишь некоторой величиной длины, избранной по причинам, чуждым арифметике, и число 1 объявляется соответствующим ей, для того чтобы имелась возможность измерения всех остальных длин путём соотнесения их с ней; но любая длина, даже выраженная таким образом такими единицами, по самой своей природе является континуальной величиной, как, равным образом, и всегда неопределённо делимой. При сравнении её с другими длинами, не являющимися в точности кратными данной единице, возникает, таким образом, возможность рассмотреть части данной единицы измерения, которые на этом основании никоим образом не будут представлять собой части арифметической единицы; и именно таким образом вводится понятие дробных чисел в качестве выражения отношений величин, не делимых с точностью одна на другую. Измерение величины, в самом деле, представляет собой не что иное, как численное выражение её отношения к другой величине того же порядка, взятой в качестве единицы измерения или, собственно, в качестве единицы сравнения; и именно поэтому обычный метод измерения геометрических величин по существу основан на делении.

Вместе с тем, следует заметить, что несмотря на использование этого метода, всегда неизбежно остаётся что-то от дискретной природы числа, что, таким образом, препятствует получению точного эквивалента континуальному; можно уменьшать интервалы как угодно – то есть, в конечном счёте, уменьшать их неопределённо, задавая их меньше любой заранее заданной величины – но от них полностью всё равно никогда не избавиться. Чтобы лучше пояснить это, возьмём простейший пример геометрического континуума, прямую линию: рассмотрим половину прямой линии, протяжёную неопределённо в некотором направлении2, и пусть каждая из её точек соответствует числу, выражающему удалённость этой точки от начала, обозначенного нулём (поскольку её удалённость от самое себя, очевидно, не составляет величины); начиная с исходной точки линии, целые числа будут, таким образом, соответствовать следующим друг за другом краям отрезков данной линии, равным друг другу и единице длины; точки, содержащиеся внутри этих отрезков, будут выражаться только дробными числами, поскольку их расстояние от начала линии не будет точно кратным единице длины. Само собой разумеется, что если брать дробные числа со всё большими знаменателями и, следовательно, со всё меньшей разницей между ними, интервалы между точками, которым соответствуют эти числа, будут уменьшаться в такой же пропорции; таким образом интервалы могут уменьшаться неопределённо, теоретически насколько угодно, поскольку возможные знаменатели дробных чисел представляют собой целые числа, последовательность которых возрастает неопределённо3. Мы сказали "теоретически", ибо в действительности множество дробных чисел неопределённо, и невозможно взять абсолютно все из них, но предположим (идеальным образом), что все возможные дробные числа соответствуют точкам на рассматриваемой половине линии. Несмотря на неопределённое убывание интервалов, на этой линии всё равно останется некоторое множество точек, которым не будут соответствовать числа. С первого взгляда это может показаться странным и даже парадоксальным, но это тем не менее легко продемонстрировать, ибо такая точка может быть получена путём весьма простой геометрической конструкции. Построим квадрат с основанием на отрезке между точками 0 и 1 и проведём диагональ этого квадрата из точки 0, а затем окружность с центром в точке 0 и радиусом, равным этой диагонали; точка, в которой эта окружность пересечёт прямую, не может быть выражена никаким целым или дробным числом, поскольку расстояние от неё до точки 0 равно диагонали квадрата, несоизмеримой с его стороной, то есть с единицей длины. Таким образом, множества дробных чисел, несмотря на неопределённое убывание их значений, всё равно не хватает, чтобы заполнить, скажем так, отрезки между точками, содержащимися в линии4, что равнозначно утверждению, что это множество не является реальным и адекватным эквивалентом линейной непрерывности; для выражения мер определённых длин, таким образом, приходится вводить новые виды чисел, называемые несоизмеримыми, то есть такие, которые не имеют общей меры с единицей. Таковы иррациональные числа, выражающие результаты арифметически невозможных излечений корней, как, например, квадратный корень из числа, не являющегося квадратом другого числа; так, в предыдущем примере, отношение диагонали квадрата к его стороне и, соответственно, точка, удалённая от начала линии на длину этой диагонали могут быть выражены только иррациональным числом √2, которое действительно является несоизмеримым, поскольку не существует целого или дробного числа, квадрат которого равнялся бы 2; и помимо этих иррациональных чисел существуют ещё другие несоизмеримые числа, геометрическое происхождение которых очевидно, как, например, число π, выражающее отношению длины окружности к её диаметру.

 

2 По ходу дальнейшего изложения (при рассмотрении геометрического выражения отрицательных чисел) станет ясно, почему здесь следует рассматривать только половину прямой линии; кроме того, сам факт развёртывания последовательности чисел только в одном направлении, на что мы указывали ранее, уже является достаточным указанием на причину этого.

3 Это будет лучше пояснено, когда мы будем говорить об отрицательных числах.

4 Заметим, что мы не сказали "точками, составляющими (или образующими) линию", что стало бы поводом к ошибочному пониманию континуальности, как покажут некоторые соображения по ходу дальнейшего изложения.

 

Не вдаваясь глубже в вопрос "структуры континуума", можно с очевидностью заметить, что число, как бы далеко ни простирали его понятие, никогда совершенным образом не приложимо к континууму; в конечном итоге такое приложение всегда сводится к замене континуального дискретным, интервалы которого могут быть крайне малыми, и даже могут всё более убывать посредством неопределённой серии последовательных делений, но никогда не исчезают, ибо в реальности не существует "неделимого", к которому может быть сведено деление континуума, поскольку континуальная величина, какой бы малой она ни была, всегда останется неопределённо делимой*. Именно к этому делению континуума собственно относится идея дробных чисел; однако – и это особенно важно отметить – дробь, какой бы малой она ни была, всегда является находимой, измеримой величиной, и, какой бы малой ни предполагали разницу между двумя дробями, она всегда является равным образом измеримым интервалом. Свойство же неопределённой делимости, являющееся характерным свойством континуальных величин, очевидно, требует возможности всегда взять элемент сколь угодно малый и наличия интервала между этими элементами, также выражающегося в сколь угодно малой величине; однако – и именно здесь видна недостаточность дробных чисел и даже, можно сказать, числа вообще – для существования подлинной континуальности необходимо, чтобы эти элементы и эти интервалы не воспринимались как нечто находимое. Соответственно, наиболее точное выражение континуальной величины будет получено при рассмотрении не постоянных и находимых величин, таких, как только что рассмотренные, а наоборот, переменных, поскольку сама их переменность может рассматриваться как результат свойств континуальности; и такие величины должны быть способны к неопределённому убыванию посредством своей переменности, не исчезая и не достигая некоторого "минимума", который был бы не менее противоречивым, чем "неделимые" континуума: и именно в этом, как мы увидим далее, заключается истинное понятие бесконечно малых величин.

 

 

* О делимости континуума и проблеме "бесконечной делимости" см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 121 и след. (прим. перев.)

 


Глава 5.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.