Главная | Обратная связь

Методом бесконечно малых.

 

В работе, в которой Лейбниц впервые представил свой метод бесконечно малых¹, а также в нескольких своих следующих работах², он особенно подчёркивал перспективы использования и применения нового исчисления, в соответствии с тенденцией модерна придавать больше важности практическим применениям науки, чем собствено науке самой по себе; затруднительно сказать, существовала ли действительно эта тенденция у самого Лейбница или такой способ представления его метода был только чем-то вроде уступки с его стороны. Как бы ни обстояло дело, для обоснования какого-либо метода, очевидно, недостаточно показать преимущества, которыми он обладает перед другими, ранее существовавшими методами, или удобства, предоставляемые им для практических вычислений, или даже результаты, уже полученные этим методом; противники теории исчисления бесконечно малых неустанно использовали этот довод, и именно исключительно их возражения заставили Лейбница приступить к разъяснению принципов и даже истоков его метода. Вместе с тем, вполне вероятно, что по этому последнему пункту он вообще никогда не высказывался, но, в конце концов, это не столь важно, так как зачастую случайные причины какого-либо открытия представляют собой всего лишь достаточно незначительные сами по себе обстоятельства; так или иначе, из того, что он писал по данному предмету³, всё, что нас интересует, это то, что он перешёл от рассмотрения "определимых" разниц между числами к рассмотрению "неопределимых" разниц, которые могут постигаться в геометрических величинах вследствие их континуальности, и что он также придавал большое значение этому переходу, так сказать, "естественному по природе вещей". Из этого следует, что для него бесконечно малые величины не явлены нам непосредственно естественным образом, но даны только как результат перехода от рассмотрения варьирования дискретной величины к рассмотрению варьирования континуальной величины и как результат применения первой для измерения второй.

 

1 Nova Methodus pro maximis et minimis, itemque tangentibus, quae nec fractas nec irrationales quantitates moratur, et singulare pro illis calculi genus (Новый метод для наибольших и наименьших величин, а также касательных без использования дробных или иррациональных величин и уникальный способ исчисления для них), в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1684.

2 De Geometria recondita et Analysi indivisibilium atque infinitorum (О скрытой геометрии и анализе неделимых и бесконечных величин), 1686. Все последующие работы посвящены решениям частных задач.

3 Сначала в его переписке, затем в Historia et origo Calculi differntialis (История и происхождение дифференциального исчисления), 1714.

 

 

Каков в точности смысл этих бесконечно малых величин, оперированием с которыми Лейбниц, не дав их предварительного определения, навлёк на себя известную критику, и позволял ли ему этот смысл рассматривать своё исчисление в качестве абсолютно строгого или, наоборот, всего лишь метода приближений? Ответить на эти два вопроса означало бы, тем самым, разрешить наиболее важные возражения, которые выдвигались против Лейбница; но, к сожалению, он сам так и не ответил на них предельно чётко, и даже его различные попытки дать такой ответ не всегда находятся в согласии между собой. В этом отношении следует заметить, что Лейбниц вообще был склонен к объяснению одних и тех же идей по-разному в зависимости от аудитории, перед которой он выступал; мы, конечно, не будем упрекать его за такое поведение, могущее быть источником раздражения только для буквалистов, поскольку, в принципе, он только следовал инициатическому, конкретно, розенкрейцеровскому предписанию, согласно с которым следует говорить с каждым на его языке; правда, иногда он применял этот принцип достаточно неудачно. В самом деле, если очевидно возможно облачить одну и ту же истину в различные формы выражения, само собой разумеется, что это должно делаться без какого-либо искажения или сокращения её, с тщательным воздержанием от какого-либо способа выражения, могущего повлечь за собой ошибочные представления; в этом отношении Лейбниц во многих случаях повёл себя неудачно⁴. Так, он продвигал мысль о "приспособлении идей" до такой степени, что иногда, казалось, давал справедливый повод упрёкам тех, кто желал видеть в его исчислении только метод приближений, ибо он иногда представлял своё исчисление как всего-навсего сокращённую версию древнего "метода исчерпывания", который был полезен для облегчения вычислений, но давал результаты, которые, при требованиях достаточной строгости, нужно было проверять другим методом; и тем не менее достаточно ясно, что не это лежало в основе идеи Лейбница, но что в реальности он видел в своём методе нечто гораздо большее, нежели просто подручное средство ускорения вычислений.

 

4 На языке розенкрейцеров можно сказать, что эти примеры, в той же мере (и даже большей), как и его проекты characteristica universalis, доказывают, что, даже если у него и была какая-то теоретическая идея природы "дара языков", он тем не менее воспринял её далеко не действенным способом.

 

 

Лейбниц часто заявлял, что бесконечно малые величины с необходимостью являются "несравнимыми", но в отношении точного значения, в котором должно пониматься это слово, он давал пояснение не только неудовлетворительное, но и крайне неудачное, ибо оно могло только вооружить против него его противников, которые, при этом, не преминули воспользоваться этим обстоятельством; здесь снова очевидно, что он не выражал свои действительные мысли, и на этом втором примере излишнего "приспособления" идей, ещё более тяжеловесного, чем первый случай, мы увидим, как за "адаптированными" выражениями истины на самом деле скрываются ошибочные взгляды. Лейбниц писал:

"Не следует понимать здесь бесконечное в строгом смысле, но только в том смысле, в котором в оптике говорят, что солнечные лучи исходят из бесконечно удалённой точки и поэтому могут рассматриваться как параллельные. И когда мы говорим о нескольких степенях бесконечного или бесконечно малого, то это то же самое, что рассматривать земной шар как точку по отношению к расстоянию до звёзд, а мяч, который мы держим в руке, можно так же рассматривать как точку по отношению к радиусу земного шара, таким образом, что расстояние до звёзд представляет собой как бы бесконечную бесконечность по отношению к диаметру мяча. Ибо вместо бесконечного или бесконечно малого можно взять величины столь большие или столь малые, какие могут потребоваться для того, чтобы полученная погрешность была меньшей, чем заданная погрешность, и она будет отличаться от определения Архимеда только выражением, которое в нашем методе более непосредственно и более согласно с искусством изобретательства"⁵.

 

5 "Mémoire de M.G.G. Leibnitz touchant son sentiment sur le Calcul differentiel", в: Journal de Trévoux, 1701.

 

 

Лейбницу неизменно указывали, что каким бы малым ни был земной шар по отношению к звёздному миру или песчинка по отношению к земному шару, они всё же являются постоянными и определёнными величинами, и если одна из этих величин будет рассматриваться как практически ничтожная по сравнению с другой, это всё-таки будет только простым приближением; он отвечал, что только желал "избежать экивоков" и "сделать аргументацию наглядной для всех"⁶, что полностью подтверждает наш взгляд на его аргументацию*, и что, более того, также является проявлением той тенденции "популяризации", которая распространена среди учёных модерна. Что поразительнее всего, это то, что после этого он пишет: "Во всяком случае, я не давал ни малейшего повода кому-либо думать, что я в самом деле подразумевал крайне малые, но всегда постоянные и определённые величины", и добавляет к этому: "Кроме того, я уже писал несколько лет назад Бернулли, что бесконечные и бесконечно малые могут рассматриваться как фикции, наподобие мнимых корней⁷, без всякого вреда для нашего исчисления, поскольку эти фикции удобоприменяемы и укоренены в реальности"⁸. Вместе с тем, он, похоже, так в точности и не понял, в каком отношении его сравнение страдало некорректностью, поскольку он привёл его снова в тех же выражениях около десяти лет спустя⁹; однако, во всяком случае, поскольку он явно заявил, что не намеревался рассматривать бесконечно малые величины как определённые, из этого нужно заключить, что в его понимании значение приведённого сравнения сводится к следующему: песчинка, хотя и не бесконечно малая, может тем не менее без ощутимого ущерба, считаться таковой по отношению к земному шару, и поэтому нет необходимости рассматривать бесконечно малые "строго" – они даже могут, если угодно, считаться чистейшими фикциями; однако, при любом способе рассмотрения, такое соображение тем не менее явно не может дать иного представления об исчислении бесконечно малых кроме как об идее простого приближённого вычисления, что, несомненно, было бы недостаточным с точки зрения самого Лейбница.

 

6 Письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

 

* Скорее Лейбниц имел здесь в виду проблематику перспективы, т.е. близости-дальности рассматриваемого объекта, его видимости и, соответственно, характера восприятия наблюдателем. О связи проблематики перспективы с проблематикой дискретного-континуального см. напр.: В.Г. Лысенко. "Философия природы" в Индии: атомизм школы вайшешика. Москва: Наука, 1986. с. 116-120; В.П. Зубов, указ. соч., с. 94. (прим. перев.)

 

7 Мнимыми корнями называются корни из отрицательных чисел; на вопросе отрицательных чисел и логических проблем, возникающих в связи с ними, мы остановимся позже.

8 Письмо Вариньону от 14 апреля 1702 года.

9 Mémoire, указ. выше, в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1712.

 

Глава 6.

"Прочно укоренённые фикции".

 

Наиболее характерная для Лейбница мысль, хотя он не всегда утверждал её с одинаковой силой и порой, кажется, весьма неохотно выносил в её отношении категорические формулировки, состоит по сути в том, что бесконечные и бесконечно малые величины являются всего лишь фикциями; однако при этом он добавляет, что это "прочно укоренённые фикции", и этим он не просто имеет в виду, что они удобны для вычислений¹ или даже для "нахождения реальных истин", хотя иногда он также настаивает и на таковой удобности; но он постоянно повторяет, что эти фикции "укоренены в реальности", что они fundamentum in re, что, очевидно, подразумевает нечто больше, нежели просто утилитарную ценность; и для него сама такая ценность объясняется всё же укоренённостью этих фикций в реальности. В любом случае, Лейбниц считает, что для оправдания надёжности его метода достаточно рассматривать не бесконечные или бесконечно малые величины в строгом смысле слова, поскольку они не имеют соответствия в реальности, а только величины, большие или малые настолько, насколько нужно исследователю или насколько необходимо для получения погрешности меньше некоторой заданной величины. Тем не менее необходимо выяснить, верно ли то, что, как он заявляет, вышеозначенная погрешность таким образом становится ничтожной, то есть что такое понимание исчисления бесконечно малых обеспечивает совершенную строгость его принципов, но мы вернёмся к этому вопросу позже. Как бы то ни было в отношении последнего пункта, для Лейбница утверждения касательно бесконечных и бесконечно малых величин подпадают под категорию утверждений, которые, согласно ему, являются только toleranter verae (приемлемо истинными) или "приемлемыми" и должны быть "восстановлены" некоторым пояснением, как в случае рассмотрения отрицательных величин как "меньших нуля" или в ряде других случаев, в которых язык геометрии подразумевает "в определённой степени образную и таинственную манеру речи"²; слово "таинственный" могло бы показаться отсылкой к глубинному символическому смыслу геометрии, но Лейбниц имел в виду вовсе не это, и, вероятно, как это часто с ним случалось, говоря так, он выражал только некие смутные остатки некоторых эзотерических знаний, в той или иной мере усвоенных.

 

1 В этом соображении практической полезности находил достаточное оправдание Карно; очевидно, что за время от Лейбница до Карно "прагматическая" тенденция науки модерна стала намного более гласной.

2 Mémoire, указ. выше, в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1712.

 

 

Что касается смысла, в котором следует понимать утверждение, что бесконечно малые величины являются "прочно укоренёнными фикциями", Лейбниц заявлял, что "бесконечные и бесконечно малые укоренены таким образом, что в области геометрии и даже в природе их можно рассматривать как совершенно реальные"³; в самом деле, для него всё, существующее в природе, некоторым образом подразумевает понятие бесконечного или, по крайней мере, того, что он понимал под бесконечным. Как он говорил, "высшая ступень трансцендентального анализа или геометрии, подразумевающая рассмотрение какого-либо бесконечного, будет, несомненно, тем более важной вследствие своих применений к процессам природы, которая являет бесконечное во всех своих проявлениях"⁴; но, пожалуй, это так только по причине нашей невозможности составить адекватное представление о природе и потому, что она всегда являет элементы, которые мы не можем воспринять с полной отчётливостью. Если согласиться с этим соображением, тогда не следует слишком буквально воспринимать такие утверждения, как, например, следующее: "Поскольку наш метод относится, собственно, к тому разделу математики, который занимается бесконечным, он будет весьма полезен в приложениях математики к физике, ибо в процессах природы, как правило, проявляются качества её беспредельного Творца"⁵. Но даже если этим Лейбниц подразумевает, что сложность вещей природы далеко превосходит пределы отчётливого восприятия, тем не менее остаётся в силе то его соображение, что бесконечные и бесконечно малые величины должны быть fundamentum in re (укоренены в реальности, в вещах), и эта укоренённость обнаруживается в природе вещей, по крайней мере, в его понимании, и представляет собой не что иное, как то, что он называет "принципом континуальности" (к рассмотрению которого мы обратимся позже), который он считает (обоснованно или необоснованно), коротко говоря, только частным случаем некоего "принципа справедливости", который в конечном счёте связан с идеей порядка и гармонии и который также выражается во всех случаях симметрии, как, например, в случаях комбинаций и упорядочений.

 

3 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

4 Письмо маркизу [Гийому Франсуа] Лопиталю, 1693 г.

5 "Considerations sur la différence qu'il y a entre l'Analyse ordinaire et le nouveau Calcul des transcendantes", в: Journal des Sçavans, 1694.

 

Итак, если бесконечные и бесконечно малые величины представляют собой только фикции, даже если признать, что они действительно являются "прочно укоренёнными", можно задаться вопросом: зачем употреблять такие выражения, которые, даже если их рассматривать как toleranter verae (приемлемо истинные), всё же являются некорректными? Здесь уже, можно сказать, имеет место предзнаменование дурного "конвенционализма" науки модерна, хотя с той заметной разницей, что эта последняя уже никоим образом не интересуется, являются ли фикции, которыми она оперирует, "прочно укоренёнными" или нет, или, согласно другому выражению Лейбница, могут ли они быть поняты sano sensu (разумным образом), и даже имеют ли они смысл вовсе. Вместе с тем, поскольку можно обойтись без этих фиктивных величин и довольствоваться рассмотрением вместо них величин, просто задаваемых столь большими или столь малыми, сколь угодно исследователю, и которые по этой причине могут называться неопределённо большими или неопределённо малыми, несомненно, было бы лучше сделать так с самого начала и таким образом избежать введения фикций, которые, какой бы ни была их fundamentum in re, не имеют, в конечном итоге, практической ценности не только применительно к вычислениям, но даже применительно к собственно методу бесконечно малых. Выражения "неопределённо большая" и "неопределённо малая" или – что то же самое, но, пожалуй, точнее – "неопределённо возрастающая" и "неопределённо убывающая" не только явно являются единственными подходящими по причине своей строгой точности – они также чётко указывают, что обозначаемые ими величины могут быть исключительно переменными, а не постоянными величинами. Как верно заметил один математик, "бесконечно малое не представляет собой весьма малую величину, имеющую действительное значение, которое может быть найдено; его характер заключается в том, чтобы быть в высшей степени переменным и способным принимать значение, меньшее, чем любое другое, которое можно задать; поэтому намного лучше было бы называть его неопределённо малым"⁶.

 

6 Ш. Фрейсине, De l'Analyse infinitésimale, с. 21-22. Автор добавляет: "Но поскольку первое выражение ["бесконечно малые"] прижилось в языке, мы считаем, что оно должно остаться". Эти сомнения, очевидно, являются абсолютно излишними, ибо словоупотребление не является достаточным основанием для оправдания ошибок и неправильностей языка, и если не подняться над злоупотреблениями такого рода, невозможно даже пытаться внести в термины большую точность и ясность, чем уже имеющиеся в привычном словоупотреблении.

 

Употребление этих терминов предотвратило бы многие проблемы и прения, и в этом нет ничего удивительного, поскольку дело не просто в проблеме слов, а в замене ошибочной идеи верной, фикции – реальностью; очевидно, такой шаг не позволил бы рассматривать бесконечно малые величины в качестве постоянных и определённых, ибо, как мы заметили выше, слово "неопределённый" всегда содержит идею "превращения" и, соответственно, изменения или, в случае величин, переменности; и возымей Лейбниц привычку к употреблению этих терминов, он, несомненно, не был бы столь легко увлечён столь неудачным сравнением с песчинкой. Кроме того, сведение infinite parva ad indefinite parva (бесконечно малых к неопределённо малым) в любом случае было бы более корректным, чем сведение их ad incomparabiliter parva (к несравнимо малым); этим достигалась бы строгость рассуждений без какой-либо потери точности. Бесконечно малые величины, конечно, "не сравнимы" с обычными величинами, но это можно понимать не только однозначно, и, в самом деле, это выражение зачастую понимали не в том смысле, который был в него заложен. Лучше сказать, что они "неопределимы", используя ещё одно выражение Лейбница, ибо кажется, что этот термин может быть понят с полной строгостью только в отношении величин, которые способны принимать столь малое значение, сколь угодно исследователю, то есть менее любой заданной величины, и для которых, соответственно, никоим образом нельзя "определить, приписать"* определённое значение, а это и есть в действительности смысл indefinite parva (неопределённо малых). К сожалению, практически невозможно выяснить, являются ли, по мысли Лейбница, "несравнимые" и "неопределимые" корректными и полными синонимами; но, в любом случае, как минимум ясно то, что действительно "неопределимая" величина посредством подразумеваемой ею способности неопределённого убывания будет в силу этого "несравнимой" с любой заданной величиной, и, если распространить эту мысль на разные уровни бесконечно малых, даже с любой величиной, по отношению к которой она неопределённо убывает, если последняя рассматривается как обладающая хотя бы относительным постоянством.

 

* assign – "приписать, присвоить, определить"; assignable переводим как "определимые" (прим. перев.)

 

 

Если есть такой пункт, в отношении которого существует общее единодушие, даже без глубокого рассмотрения вопросов принципиальных оснований, то это то, что понятие неопределённо малого, по крайней мере, с чисто математической точки зрения, является совершенно достаточным для анализа бесконечно малых, и это без особого труда признают сами "инфинитисты"⁷. В этом отношении можно, следовательно, довольствоваться таким определением, как данное Карно: "Что такое бесконечно малая величина в математике? Не что иное, как величина, которая может быть задана столь малой, сколь угодно исследователю, без необходимости по этой причине изменять значения тех величин, с которыми исследователь её сравнивает"⁸. Но что касается истинного смысла бесконечно малых величин, весь вопрос не сводится только к этому; для исчисления неважно, что бесконечно малые являются только фикциями, поскольку можно довольствоваться понятием неопределённо малых, не вызывающим логических проблем; к тому же, поскольку по соображениям метафизического характера, изложенным в начале данной работы, невозможно признать существование количественного бесконечного, как бесконечно большого, так и бесконечно малого⁹, или вообще любого бесконечного определённого и относительного порядка, вполне ясно, что бесконечно малые могут быть только фикциями и ничем более; но если (на законных или незаконных основаниях) эти фикции были изначально введены в исчисление бесконечно малых, это значит, что, по мысли Лейбница, они тем не менее чему-то соответствуют, каким бы некорректным ни был способ выражения их природы. Поскольку мы заинтересованы в рассмотрении принципов, а не просто метода вычислений (который для нас не представляет интереса), мы должны задаться вопросом, в чём в точности состоит ценность этих фикций, не только с логической, но также и с онтологической точки зрения, являются ли они столь "прочно укоренёнными", как считал Лейбниц, и можем ли вместе с ним сказать, что они toleranter verae (приемлемо истинны), и как минимум принимать их как таковые modo sano sensu intelligantur (при постижении разумным образом). Для ответа на эти вопросы необходимо более пристально рассмотреть его концепцию "принципа континуальности", ибо именно в нём он намеревался обнаружить fundamentum in re бесконечно малых.

 

7 См. особенно Л. Кутюра: De l'infini mathématique, с. 265, прим.: "Можно логическим образом вывести исчисление бесконечно малых только из одного понятия неопределённого…". Правда, выражение "логическим образом" здесь является оговоркой, так как у автора это понятие противопоставляется понятию "рациональным образом" (что представляет собой довольно странную терминологию); тем не менее само высказывание примечательно.

8 Réflexions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal, с. 7, прим.; ср.: там же, с. 20. Название работы едва ли оправдывает себя, поскольку в действительности в ней не обнаруживается ни одной идеи метафизического порядка.

9 Чрезмерно расхваленная концепция "двух бесконечностей" Паскаля является метафизическим абсурдом, проистекающим опять-таки исключительно из смешения бесконечного и неопределённого, взятого как возрастающая и убывающая величина.

 

 

Глава 7.

"Степени бесконечности".

 

По ходу предыдущего изложения у нас ещё не было возможности рассмотреть все недоразумения, которые неизбежно возникают при оперировании идеей бесконечного в иных смыслах кроме её единственного истинного и собственно метафизического смысла. Многие примеры такого рода обнаруживаются в первую очередь в длительных прениях Лейбница с Иоганном Бернулли по поводу реальности бесконечных и бесконечно малых величин, которые, при этом, так и не завершились окончательным разрешением; они и не могли им завершиться ввиду постоянной путаницы обеих сторон в определениях и отсутствия принципиальных оснований, из которых и происходила эта путаница; вместе с тем, какого бы порядка идеи ни рассматривались, в конечном счёте всегда именно отсутствие принципиальных оснований приводит к неразрешимости рассматриваемых вопросов. Вероятно, многие будут поражены, среди прочего, тем фактом, что Лейбниц различал "бесконечное" и "беспредельное" и, таким образом, не отвергал категорически идею (тем не менее явно противоречивую) "предельного бесконечного" и даже доходил до того, чтобы задаваться вопросом: "может ли быть возможным существование, например, бесконечной прямой линии, которая тем не менее оканчивается на обоих концах"¹. Он, без сомнения, не склонялся к положительному ответу на этот вопрос, "тем более что, поскольку мне кажется, – говорит он в другом письме, – что бесконечное, в строгом смысле, должно иметь источником беспредельное, без которого я не вижу способа найти твёрдое основание для отличения его от конечного"². Но даже если сформулировать это соображение более категорично (чего Лейбниц не сделал) и сказать, что "бесконечное имеет своим источником беспредельное", всё равно эти два понятия не будут рассматриваться как полностью идентичные, но скорее как в некоторой степени отличные друг от друга; и это чревато риском порождения целого набора причудливых и противоречивых идей. Правда, Лейбниц заявляет, что он может признать эти идеи только "в свете бесспорных аргументов", но этого уже достаточно, чтобы приписать им некоторую степень значимости и даже чтобы рассматривать их уже не как абсолютно невозможные. Что касается идеи некоторого рода "предельной вечности" (если взять один из тех примеров, которые Лейбниц выдвигает в этой связи), мы видим в ней только продукт смешения понятий вечности и длительности, что абсолютно неправомерно в области метафизики. Мы вполне можем допустить, что время, в течение которого мы проживаем нашу телесную жизнь, действительно является неопределённым – что никоим образом не противоречит идее его "конечности с обоих концов", то есть признанию, в соответствии с традиционной концепцией циклов, наличия у него начала и конца; мы также готовы допустить наличие других модусов длительности, таких как те, которые у схоластов именовались aevum, неопределённость которых, если можно так выразиться, неопределённо превосходит неопределённость нашего времени; но все эти модусы во всех их возможных объёмах тем не менее являются всё же только неопределёнными, поскольку тому или иному состоянию всегда соответствуют некоторые присущие ему конкретные условия существования; и, именно поскольку каждый из таких модусов являет собой род длительности – подразумевающей последовательность – ни один из них не может быть отождествлён с вечностью или уподоблен вечности (с которой они имеют не больше связи, чем конечное какого бы то ни было модуса), ни также истинному Бесконечному, ибо понятие относительной вечности имеет не больше смысла, чем понятие относительного бесконечного. Во всех таких модусах существуют только различные порядки неопределённости, как мы более подробно покажем далее, однако Лейбниц, не проведя необходимых и существенных различий и, что самое главное, не изложив прежде всего того принципа, который позволил бы ему не сбиться с пути, затруднился опровергнуть мнения Бернулли; в самом деле, ответы Лейбница быль столь двусмысленными и нерешительными, что Бернулли даже посчитал его позицию по отношению к собственным идеям "бесконечности миров" и различных "степеней бесконечности" гораздо более близкой, чем она была на самом деле.

 

1 Письмо Иоганну Бернулли от 18 ноября 1698 года.

2 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

 

 

Упомянутая идея так называемых "степеней бесконечности" сводится вкратце к предположению, что могут существовать миры несравнимо большие или несравнимо меньшие, чем наш, соответствующие части которых находятся в равных пропорциях друг к другу, так что жители любого из этих миров будут иметь столько же оснований считать свой мир бесконечным, как мы свой (мы бы, со своей стороны, сказали, что они будут иметь столь же мало таких оснований). Такая точка зрения не была бы априори абсурдной, если бы в неё не была введена идея бесконечного, которая, конечно, ничего не обосновывает, ибо сколь бы большими ни воображать эти миры, каждый из них всё же является ограниченным; как же они могут называться бесконечными? Истина заключается в том, что ни один из них не может быть бесконечным, хотя бы потому что они понимаются как множественные, так как здесь мы возвращаемся к противоречию множественности бесконечного; и, кроме того, хотя иногда некоторые или даже многие считают наш мир бесконечным, тем не менее это утверждение не имеет приемлемого смысла. Более того, можно задаться вопросом, будут ли такие миры являться различными мирами, а не, скажем, более или менее протяжёнными частями одного мира, поскольку все они по определению должны подчиняться одинаковым условиям существования – в первую очередь, очевидно, пространственности – и просто быть развёрнутыми в большем или меньшем масштабе. В совершенно ином смысле можно корректно говорить не о бесконечности, а о неопределённости миров, поскольку помимо условий существования (таких как пространство и время), свойственных нашему миру, рассмотренному во всех его возможных проявлениях, существует неопределённое количество других, равным образом возможных; мир или, иначе говоря, состояние существования, таким образом, определяется совокупностью условий, которым он подчинён; но в силу самого того факта, что он всегда является обусловленным, то есть определённым и ограниченным, и, следовательно, неспособным вмещать все возможности, он никак не может считаться бесконечным, но только неопределённым³.

 

3 По этому вопросу см.: Множественность состояний сущего.

 

По существу дела, рассмотрение различных "миров" в смысле Бернулли, несравнимо больших или меньших друг друга, не слишком отличается от того соображения, к которому Лейбниц прибегал, когда рассматривал "небосвод по отношению к земному шару и земной шар по отношению к песчинке", а песчинку по отношению к "частичке магнитного вещества, проходящей сквозь линзу". Просто у Лейбница нет притязаний на gradus infinitatis (степени бесконечности) в строгом смысле; напротив, он даже стремится показать, что "не следует брать бесконечное в строгом смысле", и довольствуется рассмотрением "несравнимых", против которых нет возражений логического характера. Недостаток его сравнения совсем другого характера и, как мы уже сказали, заключается в том, что даёт неточное и даже совершенно ошибочное представление о бесконечно малых, фигурирующих в его исчислении. По ходу дальнейшего изложения у нас будет возможность заменить это представление идеей подлинных множественных степеней неопределённости, выступающих как в возрастающем, так и в убывающем порядке; поэтому сейчас мы не будем на этом останавливаться.

Коротко говоря, разница между Бернулли и Лейбницем состоит в том, что для Бернулли, хотя он и предлагает свои "степени бесконечности" только в качестве вероятной гипотезы, они действительно являются предметом рассмотрения, в то время как Лейбниц, сомневаясь в правдоподобии и даже возможности этой идеи, ограничивается тем, что заменяет их, так сказать, "степенями несравнимости". Помимо этой разницы, которая, вместе с тем, является, несомненно, крайне важной, общим у них является представление о ряде миров, обнаруживающих подобие, но на разных уровнях. Это представление имеет некоторую несистематическую связь с открытиями, произведёнными в то время с помощью микроскопа, и с определёнными взглядами, появившимися в этой связи, – хотя последующие изыскания ни в коей мере не подтвердили их истинность – такими, как теория "капсуляции эмбрионов"; позже было выяснено, что неверным является взгляд, будто каждая часть организма эмбриона фактически и физически "формируется заранее", и что структура клетки не имеет сходства со структурой всего организма, элементом которого является. Можно без сомнения утверждать, что именно теории такого рода были, так или иначе, отправной точкой представлений Бернулли; в самом деле, среди прочих высказываний, крайне важных в этом отношении, он утверждает, что частицы тела сосуществуют в целом "так же, как, согласно Гарвею и другим, но не согласно Левенгуку, внутри животного существуют бесчисленные клетки, внутри каждой клетки один или несколько микроорганизмов, внутри каждого микроорганизма снова бесчисленные клетки, и так далее до бесконечности"⁴. Что касается Лейбница, кажется, он исходил из совсем другой отправной точки; так, представление о том, что все видимые звёзды могут быть только составными частями тела несравненно большего существа, напоминает каббалистическое представление о "Великом Человеке", но претворённое и, так сказать, "положенное в пространстве" весьма странным образом, посредством пренебрежения истинным аналогическим значением традиционного символизма; схожим образом, представление о продолжении материального существования живого существа "в миниатюре" после смерти, очевидно, навеяно традиционной иудейской концепцией "луза" или "зерна бессмертия"⁵, которую Лейбниц также исказил, связав её с представлением о мирах, несравненно меньших нашего, когда писал: "ничто не мешает живым существам переместиться в такие миры после смерти; в самом деле, я думаю, что смерть – это не более чем свёртывание живого существа, также как рождение – это просто развёртывание"⁶, причём последнее слово употреблялось просто в смысле "роста". Всё это, по существу дела, являет собой только пример тех опасностей, которые появляются при намерении согласовать идеи традиции со взглядами профанной науки, что может быть произведено единственно в ущерб первой; совершенно очевидно, что эти идеи являются совершенно независимыми от теорий, порождаемых исследованиями с применением микроскопа, и, сопоставляя и смешивая их, Лейбниц действовал таким же образом, как позже действовали оккультисты, которые были особенно неравнодушны к такого рода необоснованным сопоставлениям. Вместе с тем, возможность наложения "несравнимых" разных уровней казалось ему согласной с его идеей "лучшего из миров", что давало ему возможность придать этому миру "столько бытия или реальности, сколько возможно", говоря словами его определения; и, как мы уже указывали в другой работе⁷, эта идея "лучшего из миров" также происходит из ещё одной неверно понятой традиционной доктрины, заимствованной из символической геометрии пифагорейцев. Согласно этой геометрии, из всех линий одинаковой длины окружность заключает в себе наибольшую площадь, а из всех тел одинаковой площади поверхности шар, подобным образом, заключает максимальный объём, и это одна из причин, почему эти фигуры рассматривались как наиболее совершенные. Однако, если в этом отношении существует максимум, то тем не менее не существует минимума, то есть не существует фигур, заключающих площадь или объём меньший, чем у всех других, и по этой причине Лейбниц склонялся к мысли, что, хотя существует "лучший из миров", но не существует "худшего из миров", то есть мира, содержащего меньше бытия, чем любой другой возможный мир. Вместе с тем, известно, что эта идея "лучшего из миров", как и идея "несравнимых", связана с его хорошо известными сравнениями, такими как "сад полный деревьев" или "пруд, полный рыбы", где "каждая ветка, каждый член животного, каждая капля его отправлений содержит в себе снова такой же сад и такой же пруд"⁸; и это естественным образом подводит нас к следующему связанному с этой проблемой вопросу, к вопросу "бесконечной делимости материи".

 

4 Письмо от 23 июля 1698 года.

5 См.: Царь мира, гл. 7.

6 Ранее цит. письмо к Иоганну Бернулли от 18 ноября 1698 года.

7 Символизм креста, гл. 6. По поводу различия "возможных" и "совозможных", с которыми связана идея "лучшего из миров", см.: Множественность состояний сущего, гл. 2.

8 Монадология, гл. 67; ср.: там же, гл. 74.

 

 

Глава 8.

"Бесконечное деление" или неопределённая делимость.

 

С точки зрения Лейбница, делима не только материя, но все её части "актуально делимы всё дальше без конца, <…> каждая часть на другие части, из которых каждая делима"¹; он подчёркивает это прежде всего для того, чтобы обеспечить теоретическую поддержку недавно рассмотренной нами концепции: "Из возможности актуального разделения следует, что в каждой части вещества, какой бы малой она ни была, существует как бы свой мир бесчисленных существ"². Бернулли также предполагал возможность такого актуального деления материи in partes numero infinitas (на бесконечно многие части), но делает из этого выводы, которые не могут быть приняты Лейбницем: "Если конечное тело, – говорит он, – имеет бесконечные по числу части, то, как я всегда полагал и ныне полагаю, мельчайшие из этих частей должны находиться в неопределимом или бесконечно малом отношении к целому"³; на что Лейбниц отвечает: "Даже если согласиться, что не существует части материи, которая не может подвергнуться актуальному делению, тем не менее это не означает признание неделимых элементов или частиц, меньших всех остальных, или бесконечно малых частиц, но оставляет место только для соображений всё меньших частей, которые, однако, являются обычными величинами, точно так же, как при возрастании получаются всё большие величины"⁴. Таким образом, Лейбниц оспаривает существование именно minimae portiones (мельчайших частей) или "конечных элементов"; для Бернулли, напротив, кажется ясным, что актуальное деление подразумевает одновременное существование всех рассматриваемых элементов, так же как в случае "бесконечной" последовательности даны все составляющие её члены одновременно, что подразумевает существование terminus infinitesimus (бесконечного предела). Но для Лейбница существование такого предела является не менее противоречивым, чем существование "бесконечного числа", а понятие меньшего из чисел или fractio omnium infima (части, меньшей всех других) не менее абсурдным, чем понятие наибольшего из чисел. "Бесконечность" последовательности в его понимании характеризуется как раз невозможностью достижения конечного члена, и таким же образом материя не могла бы быть делимой "бесконечно", если бы это деление могло бы быть завершено и заканчиваться на "конечных элементах"; и дело не в том, что мы просто неспособны фактически достичь этих конечных элементов, как допускает Бернулли, а в том, что они не существуют в природе вовсе. Не существует неделимых телесных элементов или "атомов" в собственном смыле этого слова, так же как нет неделимых дробей, из которых нельзя было бы получить меньшие дроби, в числовом порядке, или – в геометрическом порядке – линейных элементов, которые нельзя разделить на меньшие элементы.

 

1 Монадология, 65.

2 Письмо к Иоганну Бернулли, между 12 и 22 июля 1698 года.

3 Ранее цит. письмо от 23 июля 1698 года.

4 Письмо от 29 июля 1698 года.

 

 

Во всех этих рассуждениях Лейбниц в основном употребляет слово "бесконечное" в точности в том же смысле, как когда он говорит о "бесконечной последовательности"; для него, говорить о любой последовательности (включая последовательность целых чисел), что она "бесконечна", не означает, что она должна заканчиваться неким terminus infinitesimus или "бесконечным числом", но означает, напротив, что она не должна иметь конечного члена, поскольку её члены plus quam numero designari possint (более чем исчислимы), то есть составляют множество, превосходящее всякое число. Подобным образом, если можно утверждать, что материя делима бесконечно, то по той причине, что любая из её частей, какой бы малой она ни была, всегда заключает в себе такое множество; иными словами, у материи нет partes minimae (мельчайших частей) или простейших элементов, она является по своей сущности составной: "Верно, что простейшие субстанции, то есть такие, которые не существуют посредством соединения, реально неделимы, но они нематериальны и представляют собой только принципы действия"⁵. Именно в смысле неисчислимого множества – а именно в этом смысле, как правило, выражается Лейбниц – идея так называемого бесконечного может быть приложена к материи, к геометрической протяжённости и вообще к континуальному (непрерывному)*, взятому в отношении к его структуре**; кроме того, этот смысл приложим не только исключительно к infinitum continuum (континуальному бесконечному), но также и к infinitum discretum (дискретному бесконечному), как мы видели на примерах множества всех чисел и "бесконечной последовательности". По этой причине Лейбниц мог сказать, что величина является бесконечной постольку, поскольку она является "неисчерпаемой", что означает, что "можно всегда взять величину столь малую, сколь угодно" и "будет верным, например, что 2 равняется 1/1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + …, что представляет собой бесконечную последовательность, составленную из всех дробей с числителем 1 и знаменателями, возрастающими с геометрической прогрессией с шагом в два, хотя берутся всегда только обычные числа, то есть никогда не вводится бесконечно малая дробь, то есть дробь с бесконечным числом в знаменателе"⁶. Вместе с тем, только что сказанное позволяет нам понять, как Лейбниц, хотя и утверждая, что бесконечное (в его понимании) не является целым, тем не менее мог применять эту идею бесконечного к континуальному (непрерывному): непрерывное множество, как, например, любое конкретное тело, действительно составляет целое, даже то, что мы выше назвали истинным целым, логически первичным по отношению к его частям и независимым от них, но очевидно, что оно всегда само по себе конечно; поэтому Лейбниц может назвать его бесконечным не в отношении целого, а только в отношении его частей, на которые оно может быть разделено, и только в той мере, в какой множество этих частей фактически превосходит любое определимое число. Это то, что может быть названо аналитической концепцией бесконечного, поскольку рассматриваемое здесь множество в действительности неисчерпаемо только в аналитическом смысле, как мы поясним далее.

 

5 Письмо Вариньону от 20 июня 1702 года.

 

* Взгляд на материю как континуальное (непрерывное) явление вряд ли может считаться метафизическим и отдаёт скорее грубым материализмом; во всяком случае, такой взгляд полностью противоречит взглядам мусульманской схоластики, считающей, что "непрерывность – свойство Бога, а отнюдь не мира и всех составляющих его вещей, ибо вещи вообще не обладают никакой постоянной природой" (В.В. Соколов. Средневековая философия. / 2-е изд. Москва, 2001. с. 161). Средневековые христианские финитисты также считали, что в мире самом по себе нет ничего континуального, "вся континуальность – от души" (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 103-104). Возражения Генона против современного понятия "материи" см. далее. (прим. перев.)

** Применение термина "структура" к континууму достаточно спорно (см.: В.Н. Катасонов. Непрерывность и прерывность. // Новая философская энциклопедия. / в 4 тт. – т. 3. Москва, 2010; Прерывное и непрерывное. / редколл.: М.А. Парнюк и др. – Киев: Наукова думка, 1983. с. 21, 25). Скорее Генон имеет в виду возможности наблюдателя, исследователя по анализу, членению континуума, ибо "континуум" по определению подразумевает отсутствие структуры. В случае континуума можно говорить о "связи", "целостности", "однородности" как его принципе, но не о структуре. Понятие "структуры" применимо как раз к дискретному. (прим. перев.)

 

6 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

 

 

Если задаться вопросом о сути идеи "бесконечного деления", то следует признать, что, как и в случае с "бесконечным множеством", она содержит некоторую долю истины, хотя способ её изложения не может не давать повода для критики. Прежде всего, само собой разумеется, что, в соответствии со всем изложенным до сих пор, не может быть речи о бесконечном делении, но только о неопределённом делении; а с другой стороны, следует приложить эту идею не к материи вообще, что, пожалуй, не имеет смысла, а только к телам или к "материальным телам", если кто-то будет настаивать на обязательности термина "материя", несмотря на крайнюю туманность этого понятия и множество порождаемых им двусмысленностей⁷. На самом деле делимость относится собственно к протяжённости, а не к материи, как бы ни понимать эти термины, а смешиваться эти два понятия могут только в картезианской концепции, согласно которой природа тел заключается существенно и единственно в протяжённости – концепции, которую к тому же Лейбниц не признавал. Если, таким образом, все тела непременно делимы, то это по той причине, что они обладают протяжённостью, а не потому что они материальны. Следует снова напомнить, что протяжённость, принадлежа порядку обусловленного, не может быть бесконечной; вследствие этого она, очевидно, не может подразумевать наличие возможностей, обладающих большой степенью бесконечности, чем она сама; но поскольку делимость является качеством, свойственным природе протяжённости, её ограничения могут происходить только из самой этой природы; любая протяжённость всегда делима, и, таким образом, можно считать её делимость поистине неопределённой, при том что эта неопределённость обусловлена неопределённостью протяжённости. Следовательно, протяжённость как таковая не может состоять из неделимых элементов, ибо такие элементы должны были бы быть непротяжёнными, чтобы быть поистине неделимыми, а сумма непротяжённых элементов может составлять протяжённость не более, чем сумма нулей может составлять число; именно поэтому, как мы поясняли в другой работе⁸, точки не являются элементами или частями линии; подлинные линейные элементы всегда представляют собой расстояния между точками, которые являются только краями этих расстояний. Вместе с тем, сам Лейбниц придерживался такой точки зрения, и, согласно ему, именно в этой точке зрения заключается коренная разница между его методом бесконечно малых и "методом неделимых" Кавальери, а именно в том, что он не считает, что линия состоит из точек, поверхность из линий или объём из поверхностей: точки, линии и поверхности являются у него только границами или краями, а не составными частями. В самом деле, очевидно, что точка, помноженная на любую величину, не может дать длины, поскольку, строго говоря, точка имеет нулевую протяжённость по отношению к длине; истинные элементы величины всегда должны быть той же природы, что и сама величина, хотя и несравнимо меньшими: это соображение не оставляет места для "неделимых", и, более того, позволяет усмотреть в исчислении бесконечно малых некий принцип однородности, подразумевающий, что обычные величины и бесконечно малые величины различных порядков, хотя и несравнимые между собой, всё же являются величинами одного рода*.

 

7 По этому вопросу см.: Царство количества и знамения времени.

8 Символизм креста, гл. 16.

 

* Об "однородности" континуума см. напр.: В.Н. Катасонов, указ. соч.; Прерывное и непрерывное, с. 21. (прим. перев.)

 

С этой точки зрения можно также сказать, что часть, что бы она собой ни представляла, всегда сохраняет некоторую "однородность" или природное соответствие с целым, по крайней мере постольку, поскольку считается возможным воссоздание целого из частей посредством процедуры, сравнимой с процедурой составления арифметической суммы. Вместе с тем, это не означает отсутствия в реальности простых вещей, поскольку сложные вещи могут быть образованы начиная с их элементов абсолютно другим способом, нежели рассмотренный; но тогда, в сущности, эти элементы не будут являться собственно "частями", и, как указывал Лейбниц, они никоим образом не могут быть телесного порядка. Что действительно несомненно, так это то, что невозможно достичь простейших, то есть неделимых элементов без выхода за пределы такого особого состояния, как протяжённость; протяжённость не может быть разложена на такие элементы без того, чтобы перестать быть протяжённостью. Из этого непосредственно следует, что не существует неделимых телесных элементов, поскольку такое понятие подразумевало бы противоречие; ибо, в самом деле, такие элементы должны были бы не обладать протяжённостью, и тогда они не были бы телесными, поскольку понятие "телесный" по определению с необходимостью подразумевает протяжённость, хотя протяжённость и не составляет всей природы тел; таким образом, несмотря на все наши замечания в других отношениях, следует признать, что Лейбниц занимает совершенно правильную позицию в своём неприятии атомизма*.

 

* Генон, по непонятным причинам, довольно грубо и упрощённо излагает атомизм. В классическом метафизическом атомизме вообще нет речи о "составленности" (или "разлагаемости") протяжённости (длительности) на атомы, поскольку пространство (как и время, и движение) в атомизме считается акциденцией атомов. При этом сами по себе атомы не "образуют" протяжённости, длительности, т.е. вообще любой континуальности – которая образуется их сочетанием, "соединённостью", производимой волей Бога, которая является единственным основанием всякой длительности, т.е. континуальности (см.: А.В. Смирнов. Атомизм в арабо-мусульманской философии. // Новая философская энциклопедия. т. 1. Москва, 2010). Это весьма отличается от картины того "математического атомизма" (т.е. геометрической концепции "точечности"), который был распространён в геометрических построениях европейцев. У классических атомистов "неделимые" вообще являются метафизическими (а не физическими, вещественными) сущностями, метафизическими "точками", существующими за пределами как вещественности, так и континуальной ("математической") геометрии (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 97-98, 104). Это неприятие атомизма Геноном тем более удивительно, что пифагорейцы и платоники, которых Генон рекомендует как единственных в Европе носителей "сакральной математики", были последовательными атомистами, впрочем, "математического" толка (см.: Прерывное и непрерывное, с. 14, 22-25). (прим. перев.)

 

 

Но до сих пор мы говорили только о делимости, то есть о возможности деления; следует ли пойти дальше и, вместе с Лейбницем, признать возможность "актуального деления"? Эта идея также не лишена противоречия, ибо она сводится к предположению наличия полностью реализованного неопределённого, и ввиду этого противоречит самой природе неопределённости, которая, как мы уже указали, всегда представляет собой возможность в процессе развёртывания, следовательно, в принципе подразумевает нечто незавершённое, ещё вполне не реализованное. Вместе с тем, по сути, нет оснований делать такое предположение, ибо когда дано непрерывное множество, дано целое, а не части, на которые оно может быть разделено, и только наблюдатель делает заключение о возможности разделить это целое на части, которые могут быть сведены ко всё меньшим и меньшим, становясь меньше некоторой заданной величины, при условии, что деление продолжается достаточно долго; следовательно, по сути, именно наблюдатель полагает части, в той мере, в какой он осуществляет деление. Поэтому от необходимости рассмотрения "актуального деления" нас освобождает именно то различие, которое было прояснено нами ранее по поводу разных способов рассмотрения целого: непрерывное множество не является результатом частей, на которые оно может быть разделено, но напротив является независимым от них, и, следовательно, тот факт, что оно дано нам как целое, никоим образом не влечёт за собой актуальное существование этих частей*.

 

* О проблеме "всецелой разделённости" континуума см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 131 и след. (прим. перев.)

 

 

Подобным образом, если перейти на другую точку зрения и рассматривать дискретное, можно сказать, что если дана неопределённая числовая последовательность, это никоим образом не подразумевает отчётливую данность всех содержащихся в ней членов, что невозможно именно ввиду того, что она является неопределённой; в реальности, задать такую последовательность означает задать формулу, позволяющую вычислить член, занимающий определённое положение, или, собственно говоря, любое положение в данной последовательности⁹. Если бы Лейбниц дал такой ответ Бернулли, их дебаты по поводу существования terminus infinitesimus (бесконечного предела) могли бы сразу прекратиться; но он был неспособен дать такой ответ без логичного перехода к отказу от своей идеи "актуального деления", разве только он стал бы вовсе отрицать всякую связь между континуальными и дискретными модусами количества.

 

9 Ср. Л. Кутюра, De l'infini mathématique, с. 467: "Последовательность натуральных чисел задаётся единственно формулой её образования, как и вообще все другие бесконечные последовательности и ряды: как правило, для полного их определения достаточно некоторого вида рекуррентной формулы, так что их предел или сумма (если она существует) ввиду этого является вполне находимой <…>. Именно благодаря этой формуле образования последовательности натуральных чисел у нас существует представление о каждом целом числе, и в этом смысле они все заданы этой формулой". – Действительно, можно сказать, что общая формула, содержащая выражение n-го члена некоторой последовательности, потенциально и в неявном виде, хотя и не актуально и явно, содержит все члены этой последовательности, поскольку любой из них может быть получен из этой формулы приданием n того значения, которое соответствует положению, занимаемому этим членом в последовательности; однако, вопреки мысли Кутюра, это, очевидно, не то, что подразумевал Лейбниц, "когда он отстаивал идею актуальной бесконечности последовательности натуральных чисел".

 

Как бы то ни было, во всех случаях рассмотрения континуального именно в "отсутствии различия" его частей мы можем увидеть корень идеи бесконечного в понимании Лейбница, поскольку, как мы сказали ранее, эта идея всегда влечёт за собой некоторую долю путаницы; но это "отсутствие различия", далёкое от того, чтобы быть предпосылкой возможности реализованного разделения, наоборот, скорее выступает в качестве предпосылки его исключения, наряду с приведёнными нами только что вполне очевидными соображениями. Поэтому, даже если теория Лейбница верна в том отношении, что она противостоит атомизму, для полного соответствия истине она требует корректировки в другом отношении: понятие "бесконечного деления материи" должно быть заменено понятием "неопределённого деления протяжённости"; именно к этой краткой и наиболее точной формулировке сводятся в конечном итоге все изложенные нами здесь соображения.

 

 

Глава 9.