Главная | Обратная связь

Бесконечное и континуальное.

 

Идея бесконечного в понимании Лейбница (которая была, напомним, всего лишь идеей множества, превосходящего всякое число) иногда выступает в виде "дискретного бесконечного", как в случае с так называемыми бесконечными числовыми последовательностями; но наиболее привычным её видом и также наиболее важным, в плане значения для исчисления бесконечно малых, является "континуальное бесконечное". В этом отношении следует напомнить, что, когда Лейбниц, приступая к своим исследованиям (которые, по его словам, должны были привести к открытию его метода), работал с последовательностями чисел, он сперва рассматривал только разницы, являющиеся "конечными" в обычном смысле этого слова; бесконечно малые разницы он рассматривал только когда вставал вопрос приложения числовой дискретности к пространственному континууму. Поэтому введение дифференциалов было оправдано наблюдением некоторой аналогии между соответствующими типами переменности в двух этих модусах величин; но бесконечно малый характер этих разниц проистекал из континуальности величин, к которым они должны были прилагаться, и, таким образом, для Лейбница понятие "бесконечно малого" было тесно связано с понятием "структуры континуума".

В "строгом" смысле, "бесконечно малые" должны представлять собой partes minimae (мельчайшие части) континуального, как думал Бернулли; но очевидно, что континуальное, поскольку оно существует как таковое, всегда делимо и, следовательно, не может иметь partes minimae. Равным образом, о "неделимых" нельзя сказать, что они являются частями того, по отношению к чему они неделимы, и "минимум" может пониматься здесь только как предел или край, а не как элемент: "Линия не только меньше любой плоскости, – писал Лейбниц, – она даже не является частью плоскости, а всего лишь минимумом или краем"¹; и, с его точки зрения, это слияние понятий "края" и "минимума" может быть обосновано "принципом континуальности" в том смысле, что, согласно Лейбницу, этот принцип позволяет "переход к пределу", что мы подробно поясним далее. Как мы уже говорили, то же самое верно для точки по отношению к линии и для поверхности по отношению к объёму; с другой стороны, бесконечно малые элементы должны быть частями континуального, без которого они даже не могут быть величинами; и они могут быть величинами только при условии, что они не являются в действительности "бесконечно малыми", ибо тогда они были бы ничем иным, как partes minimae (мельчайшими частями) или "конечными элементами", само существование которых подразумевает противоречие в рамках континуального. Таким образом, сам характер континуального не позволяет бесконечно малым величинам быть чем-то иным, нежели просто фикциями; но с другой точки зрения, всё же именно существование этой континуальности делает их "прочно укоренёнными фикциями", по крайней мере, с точки зрения Лейбница: если "в области геометрии их можно рассматривать как совершенно реальные", то это по той причине, что протяжённость, которая является объектом геометрии, представляет собой континуальное явление; и если то же самое верно в случае природы вообще, то потому что тела также протяжённы, и потому что континуальность существует во всех явлениях, таких как движение, носителями которого являются тела, которые выступают объектами механики и физики. Вместе с тем, если тела непрерывны, то это потому, что они протяжённы и причастны природе протяжённости; и, подобным образом, континуальность движения, а также различных явлений, более или менее непосредственно с ним связанных, непосредственно происходит из его пространственного характера. Таким образом, континуальность протяжённости в конечном счёте представляет собой истинное основание всех иных видов континуальности, обнаруживаемых в телесной природе; и именно по этой причине мы, вводя существенное различие, не произведённое в этом отношении Лейбницем, подчеркнули, что в реальности следует приписывать свойство "бесконечной делимости" не "материи" как таковой, а протяжённости.

 

1 Meditatio nova de natura anguli contactus et osculi, horumque usu in practica Mathesi ad figuras faciliores succedaneas difficilioribus substituendas (Новое рассуждение о природе углов касания и об их использовании в практической математике для замены сложных фигур более простыми), в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1686.

 

Здесь излишне рассматривать вопрос других возможных форм континуальности, независимых от её пространственных форм; в самом деле, при рассмотрении величин всегда приходится возвращаться к континуальности пространства и рассмотрения этой континуальности вполне достаточно при любых операциях, имеющих отношение к бесконечно малым величинам. Тем не менее вместе с пространственной континуальностью следует рассматривать и континуальность времени, ибо, вопреки странному мнению Декарта по этому вопросу, время действительно непрерывно по своей природе*, а не только в связи со своим пространственным представлением в движении, используемым для его измерения². В этом отношении можно сказать, что движение является как бы вдвойне континуальным, ибо оно континуально в силу как пространственной, так и временной обусловленности; и такой род сочетания пространства и времени, результатом которого является движение, не был бы возможен, если бы одно из них было дискретным, а другое континуальным. Это соображение также позволяет ввести континуальность в различные категории явлений природы, относящихся скорее ко времени, чем к пространству, хотя и происходящих в обеих этих сферах, как, например, любые процессы органического развития. Вместе с тем, в отношении структуры временного континуума следует повторить всё, сказанное ранее о структуре пространственного континуума, и в силу такого рода симметрии, существующей, как мы видели, между пространством и временем, следует прийти к точно таким же выводам, как и в случае пространственного континуума: мгновения, рассматриваемые как неделимые, могут быть частями длительности не в большей мере, чем точки частями протяжённости (что также признавал и Лейбниц), и это снова пример тезиса, достаточно хорошо известного схоластам; словом, общей характеристикой любого вида континуальности является исключение ею возможности существования "конечных элементов".

 

* Отрицание атомизма времени (и атомизма вообще) весьма странно для Генона как мусульманина и тем более суфия (см.: А.В. Смирнов. Время в арабо-мусульманской философии. // Новая философская энциклопедия. т. 1. Москва, 2010). (прим. перев.)

 

2 Ср.: Царство количества и знамения времени, гл. 5.

 

Сказанное до сих пор в достаточной степени указывает, в каком смысле можно понимать то, что, с точки зрения Лейбница, континуальное с необходимостью заключает бесконечное; но, конечно, не следует рассматривать вопрос "актуальной бесконечности", как будто при данности целого фактически даны все возможные части; также не может идти речь и об истинной бесконечности, которую исключает любое определение или обусловленность и которая, следовательно, не может подразумеваться при рассмотрении какой-либо конкретной вещи. Однако в данном случае, как и во всех случаях, когда представлена идея мнимого бесконечного, отличная от идеи истинного метафизического Бесконечного, но при этом и не являющаяся сама по себе чистейшим абсурдом, любые противоречия, а с ними и проблемы логического порядка, исчезают при замене так называемого бесконечного неопределённым и при признании того простого факта, что всякая континуальность, взятая в отношении к её элементам, заключает некоторую неопределённость. Именно по причине непонимания этого фундаментального различия между Бесконечным и неопределённым некоторые ошибочно посчитали невозможным избежать противоречия обусловленного бесконечного кроме как путём отрицания континуального вовсе и замены его дискретным; так, Ренувье, который справедливо отвергал математическое бесконечное, но которому идея метафизического Бесконечного была вовсе чуждой, считал, что логика его "финитизма" позволяла ему зайти столь далеко, чтобы принимать атомизм, и, таким образом, он стал жертвой концепции не менее противоречивой, чем та, которой он желал избежать, как мы уже видели ранее.

 

Глава 11.

"Принцип континуальности".

 

Если существует континуум, мы можем вместе с Лейбницем сказать, что существует нечто континуальное в его природе или, иными словами, что должен существовать некий "принцип континуальности" (или "принцип непрерывности"), применимый ко всему, имеющему характер континуального; это достаточно очевидно, но из этого ни в коем случае не следует, что такой принцип должен быть применим ко всему абсолютно, как утверждает Лейбниц, ибо, если существует континуальное, то существует и дискретное, в том числе и в области количества¹; в самом деле, число в сущности дискретно, и именно дискретное, а не континуальное количество является действительно первым и основным модусом количества, это то, что можно назвать чистым количеством, как мы уже говорили². Вместе с тем, нельзя априори предполагать, что вне чистого количества повсеместно существует какого-либо рода континуальность, и, по правде говоря, было бы удивительным, если бы среди всех возможных явлений одно число обладало бы свойством быть существенно дискретным; но в наши намерения не входит определить пределы действия какого бы то ни было "принципа континуальности" или ограничения, которые должны применяться ко всем явлениям, выходящим за пределы области количества, понимаемой в самом общем смысле. Мы ограничимся одним весьма простым примером дискретности из области природных явлений: если, для того чтобы разорвать верёвку, следует приложить некоторое количество силы, и прилагается несколько меньшее количество силы, результатом будет не частичный разрыв, то есть разрыв некоторых частей нитей, из которых состоит верёвка, но только её растяжение, что существенно отличается от явления разрыва; если увеличивать силу непрерывным образом, растяжение также будет увеличиваться непрерывно, но наступит момент, когда произойдёт разрыв, и внезапно, как бы мгновенно будет иметь место результат, очевидно, иной природы, нежели предыдущий, явно заключающий в себе дискретность; и, таким образом, неверно говорить – в весьма общих словах и без каких-либо ограничений – что natura non facit saltus (природа не делает скачков).

 

1 Ср. Л. Кутюра, De l'infini mathématique, с. 140: "Вообще, принципу континуальности нет места в алгебре, и его нельзя применять для обоснования алгебраического обобщения идеи числа. Континуальность не только никоим образом не является необходимой для рассуждений общего арифметического порядка, но она противна самому духу этой науки и самой природе числа. В самом деле, число в сущности дискретно, как и почти все его арифметические свойства <…>. Поэтому нельзя навязывать континуальность алгебраическим функциям, какими бы сложными они ни были, поскольку целые числа, составляющие их элементы, являются дискретными, как бы "прыгающими" от одного значения к следующему без возможности какого-либо постепенного перехода".

2 См.: Царство количества и знамения времени, гл. 11.

 

 

Как бы то ни было, во всяком случае достаточно признать, что геометрические величины являются континуальными (каковы они на самом деле), чтобы брать в них элементы сколь угодно малые, то есть элементы, способные становиться меньше любой определимой величины; и, как говорил Лейбниц, "несомненно, именно в этом состоит строгая аргументация исчисления бесконечно малых", что относилось именно к упомянутым геометрическим величинам. Таким образом, именно так называемый "принцип континуальности" Лейбница, может служить fundamentum in re (основанием укоренённости в реальности) таких фикций, как бесконечно малые величины, и, вместе с тем, также и таких фикций, как мнимые корни (поскольку Лейбниц в этом отношении связывал эти два понятия), но всё-таки нет необходимости видеть в нём "критерий всей истины", как, похоже, считал Лейбниц. К тому же, если признавать некоторый "принцип континуальности", хотя и при некоторых ограничениях его действия, и даже если признавать, что этот принцип может служить для обоснования основ исчисления бесконечно малых modo sano sensu intelligantur (при постижении разумным образом), это никоим образом не означает, что его следует понимать таким же образом, как Лейбниц, или что следует принимать все следствия, которые Лейбниц из него вывел; именно это понимание и эти следствия мы сейчас рассмотрим более подробно.

В самом общем виде этот принцип сводится в конечном счёте к следующему (что Лейбниц утверждал неоднократно в разных выражениях, но всегда в принципиально одинаковом смысле): если есть некоторый порядок в отношении "принципов" (понимаемых в данном случае в относительном смысле как нечто, взятое в качестве отправной точки), всегда должен существовать соответствующий порядок проистекающих из них следствий. Как мы уже указывали, это является только частным случаем так называемого "принципа справедливости" или принципа, постулирующего "всеобщую постижимость". Для Лейбница этот принцип, по существу дела, является следствием применения "принципа достаточного основания", если не самим этим принципом в той мере, в какой он применим, в частности, к комбинациям и варьированиям величин. По его словам, "континуальное – это нечто идеальное [что, вместе с тем, весьма далеко от достаточно ясной формулировки]; но реальное всё же управляется идеальным или абстрактным <…> ибо всё управляется разумом"³. Конечно, существует некоторый порядок всего, что не подлежит никакому сомнению, но этот порядок может рассматриваться совсем иным образом, нежели у Лейбница, представления которого в этом отношении всегда более или менее непосредственно находились под воздействием его так называемого "принципа наилучшего", который теряет всякий смысл, как только осознаётся метафизическое тождество реального с возможным⁴; более того, хотя Лейбниц был заклятым врагом ущербного картезианского рационализма, при рассмотрении его концепции "всеобщей постижимости" его можно упрекнуть за слишком поспешное смешение "постижимого" и "рационального"; но мы не будем задерживаться на этих соображениях общего порядка, которые могут увести нас далеко в сторону от нашего вопроса. В этой связи мы только добавим следующее: может показаться поразительным, что после утверждения, что "математический анализ не должен зависеть от противоречий метафизического характера", – что достаточно спорно, поскольку это равнозначно утверждению, что математика становится полностью незнакомой с её собственными принципами, в согласии с чисто профанической точкой зрения; кроме того, противоречия метафизического характера могут быть вызваны исключительно непониманием реалий метафизического порядка – после такого утверждения Лейбниц с целью обоснования своего "принципа причинности", с которым он связывал свой математический анализ, в итоге прибегает к аргументу хоть и не метафизическому, но определённо богословскому, который, в свою очередь, может привести к не меньшему числу противоречий. "Это по той причине, что всё управляется разумом, – пишет он, – и потому что в противном случае не было бы ни науки, ни законов, что не соответствует природе верховного принципа"⁵, на что можно ответить, что в реальности разум (или рассудок) является всего лишь чисто человеческой способностью индивидуального порядка и что, даже без рассмотрения "верховного принципа", разумность, рассматриваемая в её универсальном смысле, то есть как чистый и трансцендентный интеллект, представляет собой нечто абсолютно отличное от разума (или рассудка) и не может сопоставляться с ним никоим образом; таким образом, если верно, что нет ничего "иррационального", тем не менее существует множество вещей, которые являются "сверх-рациональными", но от этого не перестают быть "постижимыми".

 

3 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

4 См.: Множественность состояний сущего, гл. 11.

5 Из того же письма Вариньону. – Первое изложение "принципа континуальности" появилось в Nouvelles de la République des Lettres в июле 1687 года, в таком же виде, как в нашем изложении, и под следующим пышным заголовком: Principium quoddam generale non in Mathematicis tantum sed et Physicis utile, cujus ope ex consideratione Sapientiae Divinae examinantur Naturae Leges, qua occasione nata cum R.P. Mallebranchio controversia explicatur, et quidam Cartesianorum errores notantur (Некоторый общий принцип, полезный не только для математики, но также и для физики, посредством коего исследуются законы природы в отношении к Божественной Премудрости и посредством коего разрешается спор, начатый Мальбраншем, и указуются ошибки картезианцев).

 

 

Теперь следует перейти к более точному определению "принципа континуальности", определению, которое имеет более непосредственное отношение к принципам исчисления бесконечно малых, чем предыдущее: "Если в отношении своих данных один случай непрерывным образом сближается с другим и в конечном счёте сливается с ним, то с необходимостью следует, что результаты (следствия) этих случаев в равной степени непрерывным образом сближаются с их искомыми решениями и они в конечном итоге обоюдно совпадают друг с другом"⁶. Здесь важно различать два момента: во-первых, если разница между двумя случаями уменьшается до такой степени, что становится меньше любой определимой величины in datis (в данных), то же самое происходит in quaesitis (в искомом); коротко говоря, это только частный случай известного более общего положения, и эта часть определения принципа континуальности не вызывает возражений, коль скоро признаётся, что существуют варьирования континуального и что исчисление бесконечно малых в сущности связано как раз с областью, в которой происходят такие варьирования, а именно с областью геометрии; но следует ли на основе этого признавать, что casus in casum tandem evanescat (один случай, в конечном счёте, сливается с другим) и что, следовательно, eventus casuum tandem in se invicem desinant (следствия обоих случаев в конечном итоге обоюдно совпадают друг с другом)? Иными словами, станет ли разница между двумя случаями когда-либо равной нулю, в результате её непрерывного и неопределённого убывания, или, если угодно, подойдёт ли их убывание, хотя и неопределённое, когда-либо к концу? Это, в принципе, равнозначно вопросу: может ли в рамках континуального варьирования быть достигнут предел; и в этом отношении мы, прежде всего, сделаем следующее замечание: поскольку неопределённое всегда включает, в некотором смысле, нечто неисчерпаемое, в той мере, в какой это подразумевается континуальным, и поскольку сам Лейбниц не допускал, что деление континуального может достичь конечного члена (и вообще что такие члены существуют) – является ли логичным и последовательным с его стороны в то же самое время утверждать, что континуальное варьирование, производимое per infinitos gradus intermedios (по бесконечным промежуточным шагам)⁷, может достичь своего предела? Это, конечно, не означает отрицание самой возможности достижения такого предела, что свело бы исчисление бесконечно малых просто к методу приближений; но если такой предел действительно достигается, это происходит не в рамках самого континуального варьирования и он достигается не в качестве конечного члена в неопределённой последовательности gradus mutationis (степеней изменения). Тем не менее именно этим "принципом континуальности" Лейбниц намеревается обосновать свой "переход к пределу", что, с точки зрения логики, представляет собой далеко не последнюю из проблем, возникающих в связи с его методом, и именно в этом месте его умозаключения становятся абсолютно неприемлемыми; однако для лучшего понимания этого аспекта вопроса следует начать с прояснения самого математического понятия предела.

 

6 Specimen Dynamicum pro admirandis Naturae Legibus circa corporum vires et mutuas actiones detegendis et ad suas causas revocandis (Оперативный алгоритм для изучения законов природы в отношении сил тел, исследования их взаимодействий и обнаружения их причин), часть II.

7 Письмо Шуленбергу от 29 марта 1698 года.

 

 

Глава 12.

Понятие предела.

 

Понятие предела является одним из важнейших рассматриваемых нами понятий, ибо смысл метода бесконечно малых, по крайней мере, в отношении его строгости, полностью зависит от понятия предела; можно даже сказать, что, в конечном счёте, "весь алгоритм исчисления бесконечно малых основан на понятии предела, ибо именно это строгое понятие служит для определения и обоснования всех понятий и формул исчисления бесконечно малых"¹. В самом деле, цель этого исчисления "сводится к вычислению пределов отношений и пределов сумм, то есть к нахождению постоянных значений, к которым сходятся отношения и суммы переменных величин, если эти величины неопределённо убывают согласно некоторой заданной формуле"². Точнее следует сказать, что из двух разделов исчисления бесконечно малых дифференциальное исчисление состоит в вычислении пределов отношений, члены которых неопределённо убывают, при этом находясь в некоторой зависимости таким образом, что само отношение всегда имеет конечное и находимое значение; а интегральное исчисление состоит в вычислении пределов сумм элементов, множество которых неопределённо возрастает, в то время как значение каждого элемента неопределённо убывает, поскольку должны быть действительны вместе оба этих условия, чтобы сама сумма всегда оставалась конечной и находимой* величиной. При этих условиях, можно в общем сказать, что пределом переменной величины является другая величина, рассматриваемая как постоянная, к которой переменная должна приближаться посредством значений, последовательно принимаемых ею в ходе своего варьирования, до тех пор, пока она не будет отличаться от постоянной величины сколь угодно мало, иными словами, до тех пор, пока разница между этими двумя величинами не будет меньше любой определимой величины. Момент, который мы особенно подчеркнём (по причинам, которые будут ясны из последующего изложения), это то, что предел в принципе является постоянной и находимой величиной; даже если это не задано в условиях задачи, всё равно предел изначально понимается как имеющий находимое значение и продолжает считаться постоянным до завершения вычислений.

Но понятие предела самого по себе это одно, а логическое обоснование "перехода к пределу" – совсем иное; Лейбниц полагал, что:

… что вообще обосновывает этот "переход к пределу", это то, что те же самые отношения, которые существуют между несколькими переменными величинами, также существуют между их постоянными пределами, когда их изменения непрерывны, ибо тогда они действительно достигают своих соответствующих пределов; это представляет собой один из вариантов изложения принципа континуальности³.

 

1 Л. Кутюра, De l'infini mathématique, с. 23.

2 Ш. Фрейсине, De l'Analyse infinitésimale, предисловие, с. 8.

 

* determined в данном контексте (о величинах) переводим как "находимая" или "измеримая". (прим. перев.)

 

3 Л. Кутюра, De l'infini mathématique, с. 268, примечание. – Эта точка зрения явно выражена в: Justification du Calcul des inifinitésimales par celui de l'Algèbre ordinaire.

 

 

Но весь вопрос как раз и заключается в том, может ли переменная величина, которая неопределённо приближается к своему постоянному пределу и которая, следовательно, может отличаться от него сколь угодно мало, согласно самому определению предела, действительно достичь этого предела именно вследствие своей переменности, то есть может ли предел пониматься как конечный член континуального варьирования. Мы увидим, что в действительности это решение неприемлемо; но, поскольку мы вернёмся к этому вопросу позже, скажем здесь только, что само строгое понятие континуальности не позволяет рассматривать бесконечно малые величины как способные достигать нуля, ибо тогда они перестали бы быть величинами; даже сам Лейбниц считал, что они всегда должны сохранять характер истинных величин, даже если они считаются "обращающимися в нуль". Поэтому бесконечно малая разница никогда не может быть строго нулевой; соответственно, переменная, поскольку она остаётся переменной, будет всегда реально отличаться от своего предела и не сможет достичь этого предела без того, чтобы тем самым утратить свой переменный характер.

По этому поводу, если не считать одной небольшой оговорки, можно полностью принять такие соображения уже ранее цитированного математика:

 

Что характеризует предел, в нашем определении, это то, что переменная может приближаться к нему сколь угодно близко, но всё же никогда не может достичь его в строгом смысле; ибо, для того чтобы переменная фактически достигла его, должно быть реализовано некоторое бесконечное, что с необходимостью исключено <…>. Поэтому следует придерживаться идеи неопределённого, то есть всё большего приближения⁴.

 

4 Ш. Фрейсине, De l'Analyse infinitésimale, с. 18.

 

Вместо того чтобы говорить о "реализации некоторого бесконечного", что с нашей точки зрения бессмысленно, мы просто скажем, что в таком случае должна была бы быть исчерпана некоторая неопределённость, в то время как неопределённость по определению является неисчерпаемой; а также что, в то же время, возможности развёртывания, заложенные в самой этой неопределённости, позволяют получать столь близкое приближение, сколь угодно, ut error fiat minor dato (чтобы погрешность стала меньше любой заданной погрешности), по выражению Лейбница, для которого "метод является безошибочным", коль скоро может быть получен такой результат.

Отличительным признаком предела и именно тем признаком, который не позволяет переменной строго достичь его, является отличие его определения от определения переменной; а переменная, в свою очередь, при приближении к пределу сколь угодно близко никогда не может достичь его, потому что она не может перестать удовлетворять своему собственному определению, которое, как мы указали, отлично от определения предела. Непременное различие между определениями предела и переменной встречается повсеместно <…>. Тот факт, что эти два определения, будучи логически различными, при этом относятся к величинам, которые могут сколь угодно близко приближаться друг к другу⁵, объясняет то, что может на первый взгляд показаться странным, а именно невозможность при каких бы то ни было условиях совпадения двух обозначаемых этими понятиями величин, даже при уменьшении разницы вплоть до её выхода за пределы представимости⁶.

 

5 Было бы более корректным сказать, что одна приближается к другой, поскольку только одна из рассматриваемых величин переменна, а другая в принципе постоянна; таким образом, именно в силу самого определения предела, их сближение никоим образом не может рассматриваться как взаимное соотношение, в котором оба члена выступают как бы взаимозаменяемыми; вместе с тем, эта необоюдность подразумевает, что их разница является разницей чисто качественного порядка.

6 Там же, с. 19.

 

Вероятно, излишне подчёркивать, что в силу тенденции модерна сводить всё исключительно к количеству некоторые ставили в вину такому пониманию предела введение качественного различия в науку о количестве; но, если отвергать на этом основании такое понимание предела, на том же самом основании следует отвергнуть – помимо прочего – понятие подобия в геометрии, которое также является чисто качественным, поскольку оно рассматривает только форму фигур в отрыве от их размеров и, следовательно, от их собственно количественной составляющей (что мы поясняли в другой работе). В этой связи также следует заметить, что одним из основных приложений дифференциального исчисления является определение направлений касательных на каждой точке кривой, общая совокупность которых определяет саму форму кривой, и что на пространственном уровне направление и форма являются как раз элементами существенно качественного характера⁷. Кроме того, намерение просто полностью устранить понятие "предельного перехода" под видом того, что математик может обойтись фактическим переходом к пределу без каких-либо препятствий для завершения его вычислений, также не может являться удовлетворительным решением проблемы; это может быть верно, но важно следующее: при таких условиях, до какой степени можно считать эти вычисления строго обоснованными, и, даже если таким образом "метод является безошибочным", не будет ли он безошибочным просто в качестве метода приближений? Можно возразить, что только что изложенная нами концепция также делает "предельный переход" невозможным, поскольку характер предела как раз состоит в недопущении его достижения; но это верно только в некотором смысле, и только поскольку рассматриваются переменные как таковые, ибо мы не сказали, что предел недостижим никоим образом, но – и это весьма важно уяснить – что он не может быть достигнут в пределах варьирования и в качестве члена варьирования. Что поистине невозможно, так это представление о "переходе к пределу" как о результате континуального варьирования; поэтому необходимо заменить его другим понятием, что мы и произведём в дальнейшем.

 

7 См.: Царство количества и знамения времени, гл. 4.

 

Глава 13.