Здавалка
Главная | Обратная связь

Континуальность и предельный переход.



 

Теперь мы можем вернуться к рассмотрению "принципа континуальности" или, точнее говоря, к тому аспекту этого принципа, который на время оставили в стороне и который является как раз тем аспектом, на основании которого, по мнению Лейбница, может обосновываться "переход к пределу". В его понимании, из этого принципа следует следующее:

 

… при рассмотрении континуальных величин предельный разделительный случай может рассматриваться как неразделительный, и такой случай, хотя совершенно отличный по природе, таким образом, как бы содержится в скрытом состоянии в общей формуле для остальных случаев1.

 

1 Epistola ad V.Cl. Christianum Wolfium, Professorem Matheseos Halensem, circa Scientiam Infiniti (Письмо Христиану Вольфу, профессору математики, о науке бесконечного), в: Acta Eruditorum, Лейпциг, 1713.

 

Хотя сам Лейбниц, похоже, этого не подозревал, именно в этом месте содержится принципиальная логическая ошибка его концепции континуальности, которую можно легко обнаружить в выводах, которые он делает из этой концепции. Несколько примеров:

 

В соответствии с моим принципом континуальности, можно считать покой бесконечно малым движением, то есть равнозначным некоторому виду своей противоположности, а совпадение можно считать бесконечно малой удалённостью, равенство последним из неравенств и т.д.2.

[или ещё]: В соответствии с этим принципом континуальности, исключающим любые резкие изменения, случай покоя может рассматриваться как особый случай движения, а именно как обращающееся в нуль или минимальное движение; а случай равенства может рассматриваться как обращающееся в нуль неравенство. Из этого следует, что законы движения должны быть установлены таким образом, что не будет необходимости существования особых законов для тел, находящихся в равновесии или покое, но такие законы будут сами по себе частью законов для тел, находящихся в состоянии неравновесия и в движении*; или, если нет намерения разрабатывать отдельные законы для покоя и равновесия, следует признать, что они не являются таковыми, ибо противоположное будет противоречить упомянутой гипотезе, считающей покой зарождающимся движением, а равенство – последним из неравенств3.

 

2 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

3 Ранее цит. Specimen Dynamicum.

 

* О тенденции науки модерна к устранению статики как раздела механики см. напр.: А.Т. Григорьян, В.П. Зубов. Очерки развития основных понятий механики. Москва, 1962. с. 11-15. (прим. перев.)

 

 

Добавим ещё одну цитату по этому вопросу, в которой обнаруживается ещё один пример, несколько отличающийся от предыдущих, но не менее спорный с точки зрения логики:

 

Хотя, в строгом смысле, неверно, что покой является видом движения, а равенство является видом неравенства, так же как неверно, что круг является видом правильного многоугольника, тем не менее можно сказать, что покой, равенство и круг являются предельными формами, соответственно, движения, неравенства и правильного многоугольника, которые посредством непрерывного варьирования достигают этих форм через обращение их ограничений в нуль. И, хотя такие предельные формы разделительны, то есть, в строгом смысле, не являются одной из ограничиваемых ими варьирующихся форм, они тем не менее имеют такие же свойства, как если бы они были одной из них, если выражаться на языке бесконечно малых, на котором, например, круг может называться правильным многоугольником с бесконечным числом сторон. В противном случае будет нарушен принцип континуальности – то есть это означает, что по той причине, что посредством непрерывного перехода можно перейти от многоугольников к кругу без какого-либо разрыва, подобным образом, нет разрыва и в переходе от свойств многоугольников к свойствам круга4.

 

4 Justification du Calcul des inifinitésimales par celui de l'Algèbre ordinaire, записка, приложенная к письму Вариньона Лейбницу от 23 мая 1702 года, в которой упоминается, что она была послана Лейбницем для включения в Journal de Trévoux. Лейбниц употребляет слово "непрерывный" [continual] в смысле "континуального" [continuous].

 

Следует отметить, что, как указано в начале последней цитаты, Лейбниц считал эти утверждения утверждениями того же рода, что и являющиеся toleranter verae (приемлемо истинными), которые, как он говорит в другом месте,

 

прежде всего, служат целям искусства изобретательства, хотя, по моему мнению, они содержат нечто фиктивное или мнимое, что, однако, может быть исправлено путём сведения их к обычным выражениям во избежание ошибок5.

 

5 Ранее цит. Epistola ad V.Cl. Christianum Wolfium.

 

 

Однако не являются ли вышеприведённые утверждения уже ошибочными и, вернее сказать, не содержат ли они очевиднейшие противоречия? Без сомнения, Лейбниц понимал, что предельный случай или ultimus casus является exclusivus (разделительным), что с очевидностью подразумевает его нахождение вне ряда случаев, естественным образом входящих в общую формулу; но тогда по какому праву разделительный случай, несмотря на это, может быть включён в эту формулу и рассматриваться ut inclusivum (как неразделительный), то есть как будто он является только одним из случаев, содержащихся в общем ряду? Верно, что круг является пределом правильного многоугольника с неопределённо возрастающим числом сторон, но определение круга принципиально иное, нежели определение многоугольника; и на таком примере можно достаточно ясно видеть, что существует качественная разница между собственно пределом и тем, в отношении чего он выступает как предел, как мы уже отмечали ранее. Покой никоим образом не является частным случаем движения, как и равенство не является частным случаем неравенства, схождение частным случаем удалённости, а параллельность частным случаем сходимости; кроме того, Лейбниц не считает их таковыми в строгом смысле, но всё же он утверждает, что они некоторым образом могут рассматриваться в качестве таковых, в результате чего "пределом некоторого рода может быть противоположный квази-вид" и нечто может быть "равнозначно некоторому противоположному себе виду"6. Вместе с тем, попутно заметим, что с тем же самым порядком идей у Лейбница, похоже, связано его понятие "виртуальности", поскольку он придаёт ему особый смысл потенциальности, рассматриваемой как зарождающаяся актуальность7, что опять-таки является не менее противоречивым, чем только что приведённые примеры.

 

6 Initia Rerum Mathematicarum Metaphysica (Метафизические принципы математики). Дословно Лейбниц пишет: "genus in quasi-speciem oppositam desinit*", и употребление причудливого слова "квази-вид", очевидно, обнаруживает трудности в придании приемлемого вида подобной неудобоваримой конструкции.

 

* Проблема "incipit" и "desinit" (начала и окончания изменения), популярная в схоластике, имела античные истоки. Понимание "desinit" у Лейбница некорректно, т.к. в схоластике "desinit" (завершающая точка какого-либо изменения) традиционно считалась не принадлежащей совокупности ряда стадий изменения. (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 154-155). (прим. перев.)

 

7 Слова "актуальность" и "потенциальность" употреблены здесь, конечно, в аристотелевском и схоластическом смысле.

 

 

Какую бы точку зрения ни занять, ни в малейшей степени не понятно, как некоторый вид может быть "граничным случаем" противоположного вида или рода, ибо противоположные сущности обоюдно ограничивают друг друга не таким образом, а, очевидно, наоборот – тем, что они исключают друг друга, и невозможно одному из двух противоречивых объектов быть сведённому к другому; например, может ли неравенство иметь некоторое значение помимо той степени, в которой оно противопоставлено равенству и является его отрицанием? Безусловно, нельзя согласиться, что подобные таким высказывания являются даже toleranter verae (приемлемо истинными), ибо, даже если не признавать существование абсолютно отдельных родов, всё же истинно то, что любой род, определяемый как таковой, никогда не может стать составной частью другого в равной степени определяемого рода, если определение последнего не включает в себя его собственное определение, даже если оно формально не исключает его (как в случае с противоположностями); и если между различными родами может быть установлена связь, то не посредством того, чем они фактически различаются, но только посредством высшего рода, включающего в себя их оба. Такая концепция континуальности, которая сводится к упразднению не только всякого разделения, но даже всякого фактического различия, позволяя прямой переход от одного рода к другому без сведения их к высшему или более общему роду, по сути представляет собой полное отрицание всяких подлинных логических принципов; и от неё остаётся всего один шаг (который уже весьма нетрудно сделать) до гегелевского утверждения "единства противоположностей".

 

 


Глава 14.

"Обращающиеся в нуль величины".

 

Для Лейбница обоснование "предельного перехода" в конечном счёте состоит в том соображении, что особый случай "обращения величины в нуль" (по его выражению) должен быть в силу континуальности в некотором смысле включён в заданную общую формулу; вместе с тем, эти обращающиеся в нуль* величины нельзя рассматривать как "абсолютное ничто" или как чистый нуль, ибо в силу той же континуальности они сохраняют некоторое отношение между собой – и вообще неравны – и в тот момент, когда они обращаются в нуль, что подразумевает их прежний статус реальных величин, хотя и "неопределимых" по отношению к обычным величинам1. Тем не менее если эти обращающиеся в нуль величины – или бесконечно малые величины, что то же самое – не представляют собой "абсолютное ничто", даже если речь идёт о дифференциалах выше первого порядка, их всё равно необходимо рассматривать как "относительное ничто", то есть полагать, что они, сохраняя характер реальных величин, могут и должны считаться ничтожными по отношению к обычным величинам, с которыми они "несравнимы"2; но, будучи умноженными на "бесконечные" величины или величины, несравнимо большие обычных, они снова дают обычные величины, что было бы невозможным, будь они абсолютно ничтожными. В свете изложенных ранее определений ясно, что рассмотрение отношений обращающихся в нуль, но по-прежнему находимых величин относится к дифференциальному исчислению, а рассмотрение умножения этих величин на "бесконечные" величины с результатом в виде обычных величин относится к интегральному исчислению. Трудность во всём этом состоит в том, чтобы признать, что величины, не являющиеся абсолютно ничтожными, всё же должны рассматриваться в вычислениях как таковые, что может создать впечатление, что это просто вопрос обычных приближений; к тому же в этой связи Лейбниц иногда, похоже, склонен привлекать свой "принцип континуальности", в котором "граничный случай" включён в общий ряд, как будто этого единственного постулата достаточно для обоснования его метода; тем не менее этот аргумент совершенно неясен, и скорее следует вернуться к вопросу "несравнимых", как это нередко делает сам Лейбниц, с целью оправдания устранения бесконечно малых величин из результатов вычислений.

 

* vanishing – обращающаяся в нуль, стремящаяся к нулю, близкая к нулю, "исчезающая" (величина) (прим. перев.)

 

1 Для Лейбница 0/0 = 1, поскольку, по его словам, "одно ничто представляет собой то же самое, что и другое"; но поскольку (0) (n) также равно 0 для любого значения n, очевидно, что можно также записать 0/0 = n, и поэтому выражение 0/0 вообще считается выражением так называемой "неопределённой формы".

2 Разница между этим примером и примером с песчинкой в том, что при рассмотрении "обращающихся в нуль величин" с необходимостью рассматриваются переменные величины, а не постоянные и находимые, какими бы малыми их не полагать.

 

В самом деле, Лейбниц считает равными не только те величины, разница которых равна нулю, но даже те, разница которых несравнима по отношению к самим величинам; это понятие "несравнимых", в его глазах, является основанием не только для устранения бесконечно малых величин, которые таким образом исчезают на фоне обычных величин, но также и для различения разных уровней бесконечно малых или дифференциальных величин, на каждом из которых величины данного уровня несравнимы с величинами предыдущего уровня, таким же образом, как и величины первого уровня с обычными величинами, при том что такие величины всё же никогда не превращаются в "абсолютное ничто". "Я называю две величины несравнимыми, – писал Лейбниц, – когда одна из них, несмотря на умножение её на любое конечное число, всё же не может быть больше другой, точно так же, как это излагал Евклид в пятом определении своей пятой книги"3. Однако, ничто здесь не указывает, следует ли это определение применять к постоянным и находимым или к переменным величинам; но следует признать, что в своей полной мере оно применимо без различия к обоим случаям; весь вопрос, в таком случае, заключается в том, могут ли в каком-либо случае две постоянные величины, какими бы различными они ни были в каком угодно масштабе, считаться поистине "несравнимыми" или они будут таковыми только относительно средств измерения, которыми располагает наблюдатель. Но мы не будем задерживаться на этом вопросе, поскольку сам Лейбниц в другой работе заявляет, что данные соображения не относятся к дифференциалам4, из чего необходимо заключить, что вышеупомянутое сравнение с песчинкой не только является явно неадекватным, но и что оно по существу дела не отвечает, даже в рамках мысли Лейбница, истинному понятию "несравнимых", по крайней мере, в приложении этого понятия к бесконечно малым величинам.

 

3 Письмо маркизу [Гийому Франсуа] Лопиталю, между 14 и 24 июня 1695 г.

4 Ранее цит. письмо Вариньону от 2 февраля 1702 года.

 

 

Тем не менее некоторые посчитали, что исчисление бесконечно малых может стать идеально строгим только при условии, что бесконечно малые будут считаться ничтожными, и в то же время такие учёные ошибочно полагали, что погрешность можно считать нулевой, если считать её сколь угодно малой; мы говорим "ошибочно", ибо это означало бы то же самое, что и возможность переменной, как таковой, достичь её предела. Вот что по этому поводу говорит Карно:

 

Некоторые полагают, что достаточным образом обосновали принципы исчисления бесконечно малых на следующих основаниях: очевидно, говорят они, и общепризнанно, что погрешности, возникающие при использовании исчисления бесконечно малых – при их наличии – всегда могут считаться сколь угодно малыми; также очевидно, что любая погрешность, полагаемая сколь угодно малой, может быть нулевой, ибо коль можно посчитать её сколь угодно малой, то можно посчитать её и нулевой; поэтому результаты исчисления бесконечно малых являются строго точными. Этот довод, на первый взгляд внушающий доверие, тем не менее не имеет ничего общего с логикой, ибо неверно утверждать, что по причине полагания погрешности сколь угодно малой её можно считать нулевой <…>. Предстаёт неизбежная альтернатива: либо совершения ошибки, какой бы малой она ни считалась, либо обращения к формуле, которая ничего не выражает, и именно в этом состоит суть проблемы исчисления бесконечно малых"5.

 

5 Réflexions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal, с. 36.

 

 

Несомненно, что любая формула, в которое отношение стоит в форме 0/0, "ничего не выражает", и можно даже сказать, что она не имеет смысла сама по себе; только в силу некоторой условности – вместе с тем, обоснованной – можно придать некоторый смысл выражению 0/0, рассматривая его как символ неопределимости6; но в таком случае сама эта неопределимость означает, что отношение в этом выражении может быть равно чему угодно, в то время как, напротив, оно должно иметь находимое значение в каждом конкретном случае; именно аргумент существования этого находимого значения выдвигает Лейбниц7, и сам по себе этот аргумент абсолютно неопровержим8. Однако, необходимо признать, что понятие "обращающихся в нуль величин" обладает "колоссальным недостатком в том отношении, что рассматривает величины в том состоянии, когда они, так сказать, перестают быть величинами", говоря словами Лагранжа; но, вопреки мысли Лейбница, нет необходимости рассматривать их именно в тот момент, когда они "обращаются в нуль" или "исчезают", и даже нет необходимости предполагать их способность действительного обращения в нуль. Вместе с тем, такое соображение в принципе предполагает, что, строго говоря, не существует "бесконечно малой" величины, ибо эта "бесконечно малая" величина – или, по крайней мере, то, что называлось так у Лейбница – могла бы быть только нулём, так же как "бесконечно большая" величина, взятая в том же смысле, может быть только "бесконечным числом"; но в реальности нуль не является числом, а "нулевые величины" существуют не в большей мере, чем "бесконечные величины". Математический нуль, в его точном и строгом значении представляет собой только отрицание, по крайней мере, в отношении его количественного аспекта, а утверждать, что отсутствие количества составляет некоторое количество, невозможно; мы ненадолго вернёмся к этому пункту позже, чтобы более ясно продемонстрировать проистекающие из него следствия.

 

6 См. предыд. прим.

7 С той разницей, что для него отношение 0/0 не является неопределимым, но всегда равно 1, как мы указывали ранее, хотя на самом деле его значение различно в каждом случае.

8 Ср.: Ш. Фрейсине, De l'Analyse infinitésimale, с. 45-46: "Если приращения будут сведены к чистому нулю, они более не будут иметь никакого смысла. Поэтому они должны быть не нулевыми, а неопределённо убывающими без того, чтобы когда-либо обращаться в нуль, в силу самого принципа, согласно которому переменная никогда не может совпасть со своим пределом".

 

Словом, выражение "обращающиеся в нуль величины" имеет прежде всего тот недостаток, что оно создаёт двусмысленность, ведущую к предположению, что бесконечно малые величины могут рассматриваться как величины, действительно превращающиеся в нуль, ибо, не меняя смысл употребляемых слов, трудно понять, каким образом в случае величин "обращаться в нуль" может иметь некий иной смысл кроме "обнуляться". В действительности эти бесконечно малые величины, если их понимать как неопределённо убывающие величины, что является их истинным смыслом, никогда не могут "обратиться в нуль" в собственном смысле слова. Очевидно, было бы намного лучше, если бы понятие "обращающиеся в нуль" вообще не вводилось, поскольку оно принципиально связано с концепцией континуальности Лейбница и, таким образом, неминуемо содержит тот же элемент противоречивости, который свойственен нелогичности этой концепции. Итак, если погрешность, хотя бы она могла быть сведена к сколь угодно малой, никогда не может стать нулевой, как же может исчисление бесконечно малых быть подлинно строгим, и если погрешность на самом деле незначительна только в практическом смысле, то не следовало бы заключить, что это исчисление таким образом сводится к простому методу приближений или, по выражению Карно, к "уравниванию погрешностей"? Этот вопрос мы разрешим по ходу дальнейшего изложения; но поскольку мы затронули нуль и так называемые "нулевые величины", следует сначала рассмотреть вопрос нуля, который, как мы имели возможность убедиться, является далеко не малозначительным.


Глава 15.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.