Здавалка
Главная | Обратная связь

Нуль – это не число.



 

Неопределённое убывание чисел способно окончиться на "нулевом числе" не более, чем неопределённое возрастание чисел может окончиться на "бесконечном числе", и по той же самой причине, ибо каждое из таких чисел должно быть обратным другому; в самом деле, согласно изложенному ранее в отношении обратных чисел, поскольку каждый из двух рассмотренных рядов – как возрастающий, так и убывающий – одинаково удалён от единицы, которая является общей отправной точкой обоих, и поскольку с необходимостью должно быть столько же членов в одном ряду, сколько и в другом, их конечные члены – а именно "бесконечное число" и "нулевое число" – если бы они существовали, должны были бы быть равно удалены от единицы и, таким образом, быть обратными друг другу1. С такой точки зрения, если символ ∞ в действительности является только обозначением неопределённо возрастающих величин, тогда, по логике вещей, символ 0 должен подобным образом рассматриваться как обозначение неопределённо убывающих величин, для того чтобы отображать в нотации ту симметрию, которая, как мы указали, существует между этими двумя видами величин; но, к сожалению, символ 0 имеет совсем другое значение, поскольку он изначально был принят для обозначения полного отсутствия величины, в то время как у символа ∞ нет реального значения, которое бы соответствовало этому значению нуля. Здесь, как и в случае "обращающихся в нуль величин", имеется ещё один повод для путаницы, и, чтобы избежать этой путаницы, следовало бы изобрести другой символ, отличный от нуля, для обозначения неопределённо убывающих величин, поскольку эти величины характеризуются как раз тем, что они никогда не могут обратиться в нуль, несмотря на какие бы то ни было варьирования, которым они могут подвергаться; так или иначе, при использовании нотации, употребляемой современными математиками, избежать путаницы кажется почти невозможным.

 

1 В обычной нотации это выражается формулой: (0)(∞) = 1, но форма 0/∞*, по сути, также (как и 0/0) представляет собой "неопределённую форму", и можно записать (0)(∞) = n, где n обозначает любое число, что, вместе с тем, указывает, что в реальности символы 0 и ∞ не могут рассматриваться как выражения определённых, находимых чисел; к этому моменту мы вернёмся позже. В другом отношении, можно заметить, что выражение (0)(∞) представляет собой для "пределов сумм" интегрального исчисления то же, что выражение 0/0 для "пределов отношений" дифференциального исчисления.

 

* Видимо, должно быть: "1/∞". (прим. перев.)

 

 

Если мы подчёркиваем тот факт, что нуль, поскольку он обозначает полное отсутствие величины, не является числом и не может рассматриваться в качестве числа – хотя это может быть достаточно очевидным для тех, кто никогда не вдавался в учёные дебаты некоторого рода – то по той причине, что как только признаётся существование "нулевого числа", которое должно рассматриваться как "наименьшее из чисел", неизбежно приходится в порядке взаимности предполагать существование обратного ему "бесконечного числа" в смысле "наибольшего числа". Поэтому, если принимать, что нуль является числом, следует признать логичность аргументов в пользу "бесконечного числа"2; и как раз по этой причине существование "нулевого числа" необходимо отвергнуть – ибо если следствия из него обладают противоречивостью (а мы показали, что существование "бесконечного числа" действительно противоречиво), то и существование "нулевого числа" противоречиво. В самом деле, отрицание количества никоим образом не может быть сведено к некоторому количеству; отрицание числа или величины ни в каком отношении и ни в какой степени не является видом числа или величины; утверждать обратное значило бы утверждать, что нечто может быть "равнозначно некоторому противоположному себе виду", говоря словами Лейбница, что равнозначно утверждению, что отрицание логики является логикой.

 

2 На предположении, что нуль является числом, в значительной степени основываются аргументы Л. Кутюра в его работе De l'infini mathématique.

 

 

Поэтому неизбежно связаны с противоречиями такие утверждения, как то, что нуль является числом, или что "нулевая величина" всё равно является величиной, из чего неизбежно следовала бы необходимость рассмотрения стольких же различных видов нуля, сколько есть величин; в действительности может существовать только нуль как таковой, который представляет собой ни что иное, как отрицание количества, какой бы его вид ни рассматривать3. Когда признаётся этот истинный смысл арифметического нуля, взятого "строгим" образом, становится очевидно, что этот смысл не имеет ничего общего с понятием бесконечно убывающих величин, которые всегда являются величинами; они никогда не представляют собой отсутствие величины, как и не являются они чем-то промежуточным между нулём и величиной, что представляло бы собой ещё одну абсолютно невразумительную концепцию, напоминающую концепцию "виртуальности" Лейбница, которую мы уже упоминали.

 

3 Из этого также следует, что нуль не может рассматриваться в качестве предела в математическом смысле этого слова, ибо истинный предел по определению всегда является величиной; вместе с тем, очевидно, что неопределённо убывающая величина имеет предел не в большей мере, чем неопределённо возрастающая, или, во всяком случае, что ни одна из них не может иметь никаких иных пределов, кроме таких, которые с необходимостью проистекают из самой природы величины как таковой, что представляет понятие "предел" в несколько ином значении, довольно отличном от обычного, хотя между этими двумя значениями есть определённая связь, как будет показано далее; в математическом смысле можно говорить только о пределе отношения между двумя неопределённо возрастающими или неопределённо убывающими величинами, но не о пределе этих величин как таковых.

 

 

Теперь можно вернуться к другому смыслу, которым нуль обладает в привычной нотации, чтобы рассмотреть, как возникли вышеупомянутые недоразумения. Мы уже говорили, что число может некоторым образом считаться практическим неопределённым, когда невозможно как-либо выразить или представить его; такое число, чем бы оно ни было, может быть обозначено в порядке возрастания только символом ∞, поскольку он обозначает неопределённо большое; поэтому это вопрос не некоторого находимого числа, а скорее целой области, и, вместе с тем, этот символ необходим при рассмотрении неравенств и даже различных порядков величин в рамках неопределённого. В математической нотации нет символа для соответствующей области в порядке убывания, которая может быть названа областью неопределённо малого; но поскольку число, принадлежащее этой области, по сути, не учитывается в расчётах, оно на практике обыкновенно считается ничтожным, хотя это только простое приближение, проистекающее из неминуемого несовершенства наших средств выражения и измерения, и, несомненно, именно по этой причине это число стало обозначаться символом 0, который помимо этого обозначает строгое отсутствие количества. Только в этом смысле символ 0 становится некоторым образом симметричным символу ∞, и они оба могут быть помещены соответственно на двух краях последовательности чисел (которую мы уже рассматривали ранее), где целые и обратные им числа неопределённо простираются в двух противоположных направлениях возрастания и убывания. Эта последовательность выражается в такой форме: 0 … 1/4, 1/3, 1/2, 1, 2, 3, 4 … ∞; но следует напомнить, что 0 и ∞ не являются двумя находимыми числами, завершающими ряд в каждом из направлений, но двумя неопределёнными областями, в которых, напротив, не может быть конечных членов, именно вследствие их неопределённости; вместе с тем, очевидно, что здесь нуль не может быть ни "нулевым числом", которое было бы конечным членом в направлении убывания, ни отрицанием или отсутствием количества, которому нет места в этой последовательности численных величин.

Как мы ранее поясняли, любые два числа в этой последовательности, равно удалённые от центра-единицы, являются обратными или комплементарными по отношению друг к другу, давая единицу при умножении: (1/n) (n) = 1, так что для двух краёв этой последовательности следовало бы также записать: (0)(∞) = 1; но из того, что символы 0 и ∞, множители этого произведения, не обозначают находимые числа, следует, что выражение (0)(∞) само по себе является обозначением неопределимости или так называемой "неопределённой формы", и поэтому следует записать (0)(∞) = n, где n может быть любым числом4; не менее верным является то, что в любом случае результатом этого действия будет обыкновенная конечность, то есть две противоположных неопределённости, так сказать, нейтрализуют друг друга. Здесь опять-таки ясно видно, что символ ∞ со всей очевидностью не означает Бесконечное, ибо у Бесконечного в его истинном смысле не может быть ни противоположного, ни комплементарного, и оно не может вступать в соотношение с чем бы то ни было, ни с нулём (в каком бы смысле его ни понимать), ни с каким-либо числом, ни с каким бы то ни было вообще объектом любого порядка, количественного или неколичественного; представляя собой абсолютное и универсальное Всё, оно содержит Небытие равно как и Бытие – таким образом, сам нуль, если он не рассматривается как чистое ничто, с необходимостью должен считаться частью этого Бесконечного.

 

4 См. предыд. прим.

 

Говоря о Небытии, мы затрагиваем ещё одно значение нуля, достаточно отличное от уже рассмотренных и наиболее важное с точки зрения метафизического символизма; но в этом отношении, с целью избежания смешения символа и обозначаемого им, необходимо пояснить, что метафизический Нуль, который представляет собой Небытие, является количественным нулём не в большей степени, чем метафизическая единица, которая представляет собой Бытие, является арифметической единицей. Обозначаемое этими символами выступает в качестве такового только в силу аналогии, поскольку при нахождении в области Универсального мы, очевидно, находимся за пределами всяких обусловленных областей, таких как область количества. К тому же нуль посредством такой аналогии может рассматриваться как символ Небытия не постольку, поскольку он выражает неопределённо малое, но скорее (в силу его самого строгого математического смысла) поскольку он выражает отсутствие количества, которое, в свою очередь, в действительности символизирует возможность непроявления, так же как единица, являясь отправной точкой неопределённого множества чисел, символизирует возможность проявления, поскольку Бытие является принципом всего проявления5.

 

5 По этому вопросу см.: Множественность состояний сущего, гл. 3.

 

 

Это снова позволяет нам заметить, что нуль, с какой бы точки зрения его ни рассматривать, ни в коем случае нельзя брать как абсолютное ничто, которое в метафизическом смысле соответствует только невозможности, которая никоим образом не может быть логически выражена ничем. Это достаточно очевидно в случае бесконечно малых; верно, что смысл нуля как абсолютного отсутствия является в исчислении бесконечно малых только, так сказать, вторичным, существуя благодаря (как мы недавно указывали) некоему приблизительному сведению не принимаемых нами в расчёт величин к полному отсутствию количества; но постольку, поскольку рассматривается само это отсутствие количества, являющееся ничтожным в этом отношении, несомненно, не может быть ничтожным в других отношениях, что очевидно, например, в случае точки, которая, будучи неделимой, в силу самого этого факта не имет протяжённости, то есть является пространственно ничтожной6, но которая, как мы поясняли в другой работе, тем не менее является самим принципом всякой протяжённости7*. Вместе с тем, достаточно странно, что математики, как правило, склонны рассматривать нуль как абсолютное ничто, в то время как они тем не менее неспособны при этом отказать ему в свойстве неопределённой потенциальности, ибо, будучи помещённым справа от разряда, именуемого "сигнификатом", нуль составляет часть представления числа, которое путём повторения этого нуля может неопределённо возрастать, как, например, число десять и его последующие степени. Такого не происходило бы, если бы нуль действительно представлял собой абсолютное ничто; к тому же в таком случае он представлял бы собой бесполезный знак, полностью лишённый действительного смысла; это ещё один пример из числа тех несообразностей в концепциях современных математиков, на которые мы уже указывали.

 

6 По этой причине никоим образом не может считаться, что точка составляет элемент или часть длины, как мы уже упоминали ранее.

7 См.: Символизм креста, гл. 16.

 

* Точка зрения Генона, изложенная в указанной главе книги "Символизм креста", отражает точку зрения пифагорейцев и крайних платоников (реалистов). О ней см. напр.: Дж. Уитроу, указ. соч., с. 157; В.П. Зубов, указ. соч., с. 135-136. Представление о "движении точки" принадлежит области так называемой "порождающей" или "временнóй" математики и вряд ли может считаться метафизическим. Средневековые финитисты отмечали, что "представление о непрерывном движении точки, порождающем линию, является продуктом математического мышления, которому соответствует лишь мысленное бытие (esse cognitum)" (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 104; ср.: с. 136-138). Истинно континуалистским идеям скорее соответствуют представления о точке, линии и поверхности как "негативных" границах континуума, который получает протяжённость и непрерывность не посредством них, а посредством самого себя (см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 100). (прим. перев.)


Глава 16.







©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.