Главная | Обратная связь

Нотация отрицательных чисел.

Мы возвращаемся сейчас ко второму и более важному из двух математических смыслов нуля, а именно к нулю, рассматриваемому как представление неопределённо малого, по той причине, что в ранее рассмотренной нами вдвойне неопределённой последовательности чисел область неопределённо малого объемлет нечто, находящееся за пределами наших средств оценки в некотором направлении, точно так же как область неопределённо большого объемлет нечто, находящееся за пределами наших средств оценки в другом направлении. Раз это так, то говорить о числах "меньших нуля", очевидно, не более корректно, чем говорить о числах "больших неопределённого", и это ещё более неприемлемо – если такое возможно – когда нуль берётся в его втором смысле как выражение полного отсутствия количества, ибо абсолютно немыслимо, чтобы величина была меньшей, чем ничто. Тем не менее именно это, в некотором смысле, происходит, когда в математику вводится понятие так называемых отрицательных чисел, при игнорировании (в результате современного "конвенционализма") того факта, что эти числа изначально были не более чем выражением результата вычитания, которое фактически невозможно – вычитания большего числа из меньшего; кроме того, мы уже указывали, что все обобщения или расширения идеи числа проистекают только из допущения операций, невозможных с точки зрения чистой арифметики; но данное понятие отрицательных чисел и проистекающие из него следствия требуют более подробного пояснения.

Мы уже говорили, что последовательность целых чисел образуется начиная с единицы; из единицы выводится вся последовательность чисел таким образом, что, можно сказать, она уже в принципе заключается и содержится в начальной единице¹, поскольку очевидно, что число невозможно вывести из нуля. Невозможен переход от нуля к единице, таким же образом, как переход от единицы к другим числам или от какого-либо данного числа к другому числу; подразумевать возможность перехода от нуля к единице значит подразумевать косвенное постулирование единицы². Наконец, помещать нуль в начале последовательности чисел, как будто он стоит первым в последовательности, может означать только одно из двух: или следует признавать, вопреки изложенному ранее, что нуль является числом и, следовательно, что его отношения к другим числам принадлежат к тому же порядку, что и отношения чисел друг к другу – что не соответствует истине, поскольку нуль, умноженный или разделённый на число всегда даёт нуль – или признавать, что это просто приём нотации, способный только привести к более или менее тяжеловесным недоразумениям. В действительности использование этого приёма не оправдано ничем, кроме как целями введения нотации отрицательных чисел, и если такая нотация предлагает некоторые несомненные преимущества для удобства вычислений – абсолютно "прагматическое" соображение, которое мы здесь не рассматриваем и которое, с нашей точки зрения, вовсе лишено какой-либо реальной ценности – то только ценой значительных осложнений логического характера. Первым из таких осложнений является именно представление об отрицательных числах как о числах "меньших нуля", представление, которое Лейбниц причислял к разряду toleranter verae (приемлемо истинных), но которое в реальности, как мы только что указали, полностью лишено смысла. "Утверждать наличие отрицательной величины, меньшей нуля, – пишет Карно, – значит облекать науку математики, которая по определению является наукой очевидного, неким непроницаемым облаком и вторгаться в лабиринт парадоксов, один аномальнее другого"³. Мы придерживаемся его мнения, которое очевидно верно и, несомненно, не является преувеличением; вместе с тем, при использовании рассматриваемой нотации отрицательных чисел никогда не следует забывать, что она представляет собой не более чем продукт некоторой заурядной условности.

1 Подобным образом, по аналогии, всё неопределённое множество возможностей проявления "преизбыточно" и в принципе содержится в чистом Бытии или метафизической Единице.

2 Это будет совершенно очевидно, если, согласно общей формуле образования чисел в этой последовательности, записать этот переход как: 0 + 1 = 1.

3 "Note sur les quantités négatives", помещённое в конце Réflexions sur la Métaphysique du Calcul infinitésimal, с. 173.

Основания этой условности заключаются в следующем: когда некоторое вычитание арифметически невозможно, его результат тем не менее не лишён смысла, если это вычитание связано с величинами, которые можно исчислять в двух противоположных направлениях, как, например, в случае расстояний на линии, углов вращения или времени, отсчитываемого от некоторого момента как вперёд, так и назад. Из этого соображения проистекает геометрическое представление, обыкновенно используемое для отображения отрицательных чисел: на прямой линии, неопределённо простирающейся в двух направлениях (а не в одном, как в рассмотренном ранее случае), расстояния на линии могут рассматриваться как положительные и отрицательные в зависимости от их направления, и в качестве исходной точки определяется точка, в отношении которой расстояния будут положительными с одной стороны и отрицательными с другой. Для каждой точки на линии есть число, соответствующее мере его удалённости от исходной точки, которую, для упрощения языка изложения, можно назвать его индексом; итак, индексом самой исходной точки будет нуль, а индексы всех других точек на линии буду представлять собой числа со знаками + и –, что в реальности просто обозначает, по какую сторону от исходной находится некоторая точка. Подобным образом, на окружности можно обозначить положительное и отрицательное направления вращения, и начиная с исходного положения радиуса, можно считать некоторый угол положительным или отрицательным, согласно его направлению, и так далее по аналогии. Но, вернувшись к примеру с прямой, мы обнаружим, что две точки, равно удалённые от исходной и лежащие по разные стороны, будут обладать одинаковыми индексами, но с противоположными знаками, и в любом случае точка, находящаяся дальше от исходной по отношению к некоторой другой точке, будет, естественно, обладать большим индексом; таким образом, понятно, что если число n больше числа m, абсурдно утверждать, что –n меньше –m, поскольку напротив число –n выражает большую удалённость. Вместе с тем, знак, помещаемый перед числом, никоим образом не изменяет его в чисто количественном отношении, поскольку он выражает не меру расстояния как таковую, а только направление этого расстояния, что, собственно говоря, представляет собой элемент качественного, а не количественного порядка⁴.

4 См.: Царство количества и знамения времени, гл. 4. Любопытно было бы рассмотреть, не является ли некой остаточной формой памяти об этом качественном характере тот факт, что математики до сих пор иногда называют числа, взятые "со знаком", то есть рассматриваемые как положительные или отрицательные, "знакоопределёнными" [qualified – "окачествленными"; прим. перев.], хотя, видимо, они не вкладывают в это выражение какой-либо внятный смысл.

Вместе с тем, поскольку линия неопределённа в обоих направлениях, придётся рассматривать как положительное, так и отрицательное неопределённое, выраженное, соответственно, символами ∞ и –∞, которым обыкновенно приписываются абсурдные определения "положительной бесконечности" и "отрицательной бесконечности". Можно было бы задаться вопросом: что может представлять собой отрицательная бесконечность, или что было бы результатом вычитания бесконечности из чего-либо или даже из ничего, поскольку математики рассматривают нуль как ничто; стоит только облечь эти соображения в ясную языковую форму, чтобы увидеть, насколько они бессмысленны. Следует добавить, что, в частности, при исследовании варьирования функций в таком случае следует считать, что положительное и отрицательное неопределённое будут сливаться таким образом, что движущийся объект, начиная движение из исходной точки и двигаясь в положительном направлении, вернётся к исходной точке с отрицательной стороны, и наоборот, если движение будет продолжаться неопределённое количество времени – из чего будет следовать, что прямая (или то, что будет считаться прямой в таком случае) будет в реальности представлять собой замкнутую линию, хотя и неопределённую. Более того, можно показать, что свойства прямой на плоскости будут в точности такими же, как у ортодромии, то есть большой окружности на поверхности шара, и что плоскость и прямая, таким образом, могут быть уподоблены, соответственно, шару и окружности неопределённо большого радиуса и, соответственно, неопределённо малой кривизны, при том что обычные окружности на такой плоскости могут быть уподоблены меньшим окружностям сферы; для строгого характера этой аналогии следует, более того, предположить наличие "предельного перехода", ибо очевидно, что сколь большим ни становился бы радиус посредством неопределённого возрастания, он всегда описывает сферу, а не плоскость, и что сфера только стремится к превращению в плоскость, а её окружности к превращению в линии, таким образом, что плоскость и линии выступают в данном случае в роли пределов, точно так же как круг является пределом правильного многоугольника с неопределённо возрастающим числом сторон. Не вдаваясь дальше в эти спекуляции, заметим только, что посредством соображений такого рода можно как бы непосредственно уловить конкретную ограниченность пространственной неопределённости; как же тогда, желая оставаться логичным, кто-то может примененительно ко всему этому говорить о бесконечном?

Рассматривая положительные и отрицательные числа указанным ранее способом, мы замечаем, что последовательность чисел принимает следующий вид: –∞ … –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, … +∞, при том что порядок чисел соответствует порядку соответствующих точек на линии, то есть точек, имеющих соответствующие индексы, что, вместе с тем, указывает происхождение такого способа построения данной последовательности. Хотя эта последовательность равным образом неопределённа в обоих направлениях, она кардинально отличается от ранее рассмотренной нами последовательности, включавшей целые числа и обратные им числа: эта вторая последовательность симметрична не относительно единицы, а относительно нуля, который является исходной точкой её расстояний; и если два равноудалённых от неё числа возвращаются к ней, то не посредством умножения, как в случае с обратными числами, а посредством "алгебраического" сложения, то есть сложения, производимого с учётом их знаков, которое сводится, говоря языком арифметики, к их вычитанию. Вместе с тем, никоим образом нельзя сказать об этой второй последовательности, что она неопределённо возрастает в одном направлении и неопределённо убывает в другом (как в случае с первой последовательностью); или же, если некто заявит, что это так, то это будет только крайне некорректным примером "оборота речи", как и в случае рассмотрения чисел "меньших нуля". В реальности эта последовательность неопределённо возрастает равным образом в обоих направлениях, поскольку по каждую сторону от нуля содержится одинаковая последовательность целых чисел; в чисто количественном отношении должен приниматься во внимание только так называемый "модуль" числа – ещё одно весьма причудливое выражение – в то время как положительный или отрицательный знак ничего не меняют в этом плане, поскольку в реальности они выражают не более чем разницу в "положении", как мы только что пояснили. Таким образом, отрицательное неопределённое никоим образом не сопоставимо с неопределённо малым; напротив, оно составляет одно целое с неопределённо большим, так же как положительное неопределённое; единственная разница, которая не является разницей количественного порядка, состоит в том, что отрицательное неопределённое разворачивается в другом направлении, что абсолютно легко уяснить в случае с пространственными и временными величинами, но полностью лишено смысла в случае арифметических величин, для которых такое развёртывание с необходимостью однозначно, поскольку оно не может представлять собой что-либо иное, нежели саму последовательность целых чисел.

Среди иных причудливых алогичных следствий нотации отрицательных чисел следует также указать понятие так называемых "мнимых" чисел, которые были введены при решении алгебраических уравнений и которые, как мы видели, рассматривались Лейбницем как принадлежащие тому же уровню, что и бесконечно малые величины, а именно уровню так называемых им "прочно укоренённых фикций". Эти величины (или то, что так называется) выражаются как корни из отрицательных чисел, хотя в рельности это соответствует только абсолютной невозможности, поскольку, является ли число положительным или отрицательным, его квадрат обязательно всегда представляет собой положительное число в силу самих правил алгебраического умножения. Даже если бы удалось придать этим "мнимым" числам какой-либо иной смысл – мы не будем рассматривать здесь эту возможность – всё же достаточно очевидно, что теория этих чисел и их приложения к аналитической геометрии, в том виде, в каком они выступают в работах современных математиков, представляют собой не что иное, как поистине паутину противоречивых и даже абсурдных соображений; всё это есть просто продукт того стремления к излишним и абсолютно искуственным обобщениям, которое не останавливается даже перед лицом явно противоречивых суждений; некоторые такие теоремы, как, например, касающиеся "асимптот окружности", достаточно явно показывают, что наше замечание отнюдь не преувеличено. Можно сказать, что такие построения уже не принадлежат, собственно говоря, области геометрии, а, как и рассмотрение "четвёртого измерения" пространства⁵, принадлежат исключительно области алгебры, переведённой на язык геометрии*; но именно по причине возможности такого (как и обратного) "перевода" некоторые склонны переносить некоторые вопросы в области, где они не имеют вовсе никакого смысла, и это действительно представляет собой проблему, ибо это является симптомом бессмысленного смешения разнородных идей, равно как и крайним результатом вышеупомянутого "конвенционализма", который доводит некоторых до состояния полной потери ощущения реальности.

5 Ср.: Царство количества и знамения времени, гл. 18 и 23.

* О "математизации" геометрии и физики континуалистами см.: В.П. Зубов, указ. соч., с. 111, 113; В.Н. Катасонов, указ. соч. (прим. перев.)

Глава 17.