Главная | Обратная связь

I. Краткий теоретический материал

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ ДО ПЛАНЕТ И РАЗМЕРОВ ПЛАНЕТ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЙ ДО ЗВЕЗД И ФИЗИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ЗВЕЗД

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: Ознакомление с методами вычисления расстояний до планет и звезд, размеров планет, звездных величин, светимостей и других физических характеристик звезд.

НЕОБХОДИМОЕ ОБОРУДОВАНИЕ:

1. Электронная клавишная вычислительная машинка (ЭКВМ) или персональный компьютер (ПК).

2. Задание (получить у преподавателя).

ВОПРОСЫ К ДОПУСКУ:

1. Горизонтальный экваториальный параллакс.

2. Годичный параллакс.

3. Определение размеров планет.

4. Видимая звездная величина.

5. Абсолютная звездная величина.

6. Светимость звезд.

ЛИТЕРАТУРА:

1. Кононович Э.В., Мороз В.И. Общий курс астрономии: Учебное пособие. -М.: Едиториал УРСС, 2001, Гл.3, §§ 3.1-3.7, с.97-104; Гл.6, § 6.3, с.171-173; Гл.10, § 10.3, с.373-375.

 

Методические указания к выполнению работы

I. Краткий теоретический материал

1. На рис.1а: точка 0 – центр Земли, М – наблюдаемое светило (его центр) – какое-либо тело Солнечной системы (планета, астероид, комета и т.д.), Н – наблюдатель, находящийся на поверхности Земли. HZ – направление на зенит Z наблюдателя, HM – направление на светило M из точки наблюдения (топоцентрическое направление), OM – направление на светило M из центра Земли (геоцентрическое направление). Расстояния HM и OM = D – соответственно топоцентрическое и геоцентрическое расстояния до светила M. Когда говорят о расстоянии до какого-либо тела Солнечной системы, имеют в виду именно геоцентрическое расстояние D.

Далее, на рис.1а: OH = R – радиус Земли, ÐZHM = z_H – топоцентрическое зенитное расстояние светила M, ÐZOM = z_o – геоцентрическое зенитное расстояние светила M. Обозначим ÐHMO с вершиной при светиле M через p. Тогда

p = z_H - z_o. (1)

Разность направлений, по которым некоторое тело Солнечной системы видно из какой-либо точки на поверхности Земли и из центра Земли, называется суточным параллаксом p этого тела. Суточный параллакс p = 0, если светило M наблюдается в зените Z наблюдателя, и p = max, если светило M наблюдается на горизонте.

Если светило M наблюдается в горизонте наблюдателя H (рис. 1б), a OH = R_о – средний экваториальный радиус Земли, то суточный параллакс планеты называется горизонтальным экваториальным параллаксом и обозначается как p_о.

Таким образом, горизонтальный экваториальный параллакс p_о светила M – это угол, под которым со светила виден средний экваториальный радиус Земли R_о = 6378 км при условии, что светило находится на горизонте наблюдателя. Еще раз напомним, что под светилом подразумевается любое тело, находящееся в пределах Солнечной системы!

Из рис. 1б видно, что для определения расстояния D до какого-либо тела Солнечной системы можно использовать соотношение:

D= R_о/sinp_о. (2)

Для всех тел Солнечной системы p_о малы, поэтому sinp_о =p²_о×sin1² = p²_о/206265²,тогда

D= (R_о/p_о)×206265, (3)

где p_о в секундах градусной меры. Расстояние D получим в тех единицах, в которых в соотношении (3) используем R_о.

Среднее расстояние D = a от Земли до Солнца принято за единицу измерения расстояний в пределах Солнечной системы: а = 1 а.е. = 1,496×10⁸ км.

2. Угол d = 2r, под которым наблюдатель, находящийся в центре Земли, видит диск наблюдаемой планеты, называется угловым диаметром планеты.

На рис. 2 точки О_з и О_п – соответственно центры Земли и планеты, D – геоцентрическое расстояние до планеты, r – угловой радиус планеты, r – линейный радиус планеты. Точка К – точка касания лучом зрения наблюдателя поверхности планеты. В треугольнике O_зKO_п угол O_зKO_п = 90°. Из D-ка ОКО₁: sinr = r/D, или r= D×sinr.Поскольку угловой радиус rпланеты весьмамал, то sinr= r²×sin1². Тогда

r= D×r/206265, (4)

где r – в секундах градусной меры, а r в единицах D. Подставляя в (4) значение D из (3), получим:

r= R_о×r/p_о, (5)

где r и p_о в секундах градусной меры, а r в единицах R_о.

3. На рис. 3: С – Солнце; З – Земля на своей орбите; М – звезда (или любой другой астрономический объект, расположенный за пределами Солнечной системы); ЗМ – геоцентрическое расстояние до звезды М, СМ = r – гелиоцентрическое расстояние до звезды М (именно оно имеется в виду, когда говорят о расстоянии до звезды). Угол p, под которым со звезды М виден средний радиус a земной орбиты, называется годичным (тригонометрическим) параллаксом звезды. При этом предполагается, что направление ЗМ наблюдатель-звезда перпендикулярно радиусу земной орбиты в точке наблюдения З.

Если r – расстояние от Солнца до звезды М, то из рис.3:

r = a/sinp. (6)

Так как для всех звезд годичный параллакс p < 1², то: sinp= p"×sin1"= p"/206265". Тогда:

r = a×206265"/p", (7)

где p в секундах градусной меры, а гелиоцентрическое расстояние r до звезды в астрономических единицах (a.e.).

Из рисунка 3 понятно, что чем ближе к Солнцу звезда М, тем больше величина параллакса p. Тем самым величина p может быть мерилом расстояния до звезды. Для измерений расстояний до звезд вводится специальная единица парсек (пк). I пк – расстояние, на котором со звезды средний радиус земной орбиты авиден под углом p = 1². Тогда

r(пк) = 1/p". (8)

Из соотношений (7) и (8) получаем: I пк = 206265а.е.

Иногда в астрономии применяют в качестве единицы измерения расстояний световой год – расстояние, которое свет проходит за одни год, распространяясь со скоростью 300 000 км/с. I пк = 3,26 с.г.

Для оценки расстояний до объектов, находящихся далеко за пределами прямых измерений, применяют следующие единицы:

1 Кпк= 1000 пк = 10³ пк; 1 Мпк = 1000 Кпк = I0³ Кпк = I0⁶ пк.

4. Для оценки видимой яркости звезд (точнее, освещенности E, которую создает излучение звезды на приемнике излучения) в астрономии вводится понятие “видимая звездная величина m”. При этом, если освещенность E₁ от одной звезды больше освещенности E₂, создаваемой излучением второй звезды в 2,512, их видимые звездные величины m₁ и m₂ отличаются на единицу. Отсюда следует, что, если видимая звездная величина какой-либо звезды m_i, освещенность, создаваемая этой звездой на приемнике излучения, E_i, видимая звездная величина другой звезды m_j, освещенность, создаваемая этой звездой на приемнике излучения, E_j, то справедливо соотношение

lg(E_i/E_j) = 0,4×(m_j - m_i). (9)

Выражение (9) – формула Погсона. Часто вместо выражения “освещенность, которую создает излучение звезды и т.д.” говорят “видимая яркость звезды”.

Так как отношение видимых яркостей звезд может быть любым, то и видимые звездные величины m (как оценка видимых яркостей) могут быть отрицательными и положительными, числами целыми и дробными.

Различные светоприемники, применяемые для оценки излучения (яркости) звезд, чувствительны не ко всему излучению звезды, а лишь к излучению в той или иной области спектра. Поэтому оценки видимой звездной величины для одной и той же звезды, проведенные с помощью разных светоприемников, различны. Обычно у обозначения видимой звездной величины ставится индекс, указывающий, в каком участке спектра произведена оценка яркости звезды.

Так m_v – глазомерная оценка видимой яркости звезды (визуальная видимая звездная величина), m_pg – оценка видимой яркости звезды фотографическим способом на обычной фотоэмульсии (фотографическая видимая звездная величина).

U или m_U – оценка видимой яркости звезды в диапазоне излучения от 300 нм до 420 нм (ультрафиолетовая полоса спектра электромагнитного излучения); B или m_B – оценка видимой яркости звезды в диапазоне излучения от 380 нм до 540 нм (голубая полоса спектра электромагнитного излучения); V или m_V – оценка видимой яркости звезды в диапазоне излучения от 470 нм до 650 нм (желтая полоса спектра электромагнитного излучения) и т.д.

Для более полного исследования видимого излучения звезды вводится параметр “цвет звезды”, например:

m_pg - m_v = CI, (10)

где CI – колориндекс – показатель цвета звезды (цвет звезды) в так называемой “интернациональной” системе звездных величин. Например, если CI < 0^m, то звезда голубая, если CI = 0^m, то звезда белая, если CI > 0^m, то звезда желтая или красная.

Или:

(U -B) и (B - V) (11)

показатели цвета звезды в международной системе U, В, V величин.

5. Видимые звездные величины, полученные при оценке излучения в любом электромагнитном диапазоне, дают возможность оценить только видимые яркости звезд. Для того, чтобы можно было сравнивать действительные яркости разных звезд между собой, вводится параметр M – та звездная величина, которую имела бы звезда, если бы она находилась от нас на расстоянии r = 10 пк. Величина Mназывается абсолютной звездной величиной звезды. Абсолютная звездная величина M является численной оценкой силы света или интенсивности излучения наблюдаемого светила.

Абсолютная звездная величина M звезды и видимая звездная величина m той же самой звезды связаны между собой соотношением:

M - m = 5 - 5×lgr(пк) = 5 + 5×lgp². (12)

РазностьM - m называется модулем расстояний. Действительно, наблюдая звезду, мы можем оценить ее видимую звездную величину m и, если сможем каким-либо образом оценить и абсолютную звездную величину M, то определение расстояния r не является проблемой. И наоборот, если нам известно расстояние r до звезды (в пк), мы можем получить абсолютную величину звезды M по формуле (12), так как видимую величину m всегда получаем из наблюдений.

6. Обозначим через L светимость звезды. Строго говоря, светимость звезды – это полная энергия, излучаемая всей поверхностью звезды в одну секунду.

Пусть L, R, T_эф – соответственно светимость, радиус и эффективная температура звезды, тогда

L = 4p×R²×s×T_эф⁴. (13)

Для светимости Солнца L_⊙:

L_⊙ = 4p×R_⊙²×s×T_⊙эф⁴. (14)

Принимая радиус и светимость Солнца за единицу, то есть R_⊙= 1 и L_⊙ = 1, и разделив почленно выражение (13) на (14), получим светимость звезды, выраженную в светимостях Солнца:

L = R²×(T_эф/T_⊙эф)⁴. (15)

Часто под светимостью звезды подразумевается яркость, которую звезда имела бы, если бы находилась от нас на расстоянии в 10 пк, в сравнении с яркостью Солнца на том же расстоянии. Следовательно, если M и L – абсолютная величина и светимость звезды, M_⊙ и L_⊙ = 1 (L_⊙ принята за единицу) – абсолютная величина и светимость Солнца, то

lg(L/L_⊙)=0,4^.(M_⊙-M),

или

lgL =0,4^.(M_⊙-M). (16)

 

II. Методика решения задач по теме “Определение расстояний до планет и размеров планет. Определение расстояний до звезд и физических характеристик звезд”

 

Методику решения задач по теме “Определение расстояний до планет и размеров планет. Определение расстояний до звезд и физических характеристик звезд” продемонстрируем на решении типовых задач.

 

Задача 1. Экваториальный горизонтальный параллакс Солнца равен 8²,8. Определить расстояние от Солнца до Земли (в млн. км.).

Решение: Дано: p_о⊙ = 8²,8. Найти: D_⊙.

Воспользуемся формулой (З):D= (R_о/p_о)×206265.

206265 » 2,06×10⁵; R_о = 6378км;

D_⊙= 6378×2,06×10⁵/8,8 = 1,493×10⁸ км.

Ответ: Расстояние от Солнца до Земли D_⊙= 1,493×10⁸ км.

 

Задача 2. Видимый угловой радиус Солнца 16¢, экваториальный горизонтальный параллакс Солнца 8²,8. Определить линейный радиус Солнца в радиусах Земли R_о и в километрах.

Решение: Дано: r_⊙ = 16', p_о⊙ = 8²,8. Найти: r_⊙.

Для решения задачи воспользуемся формулой (5):r= R_о×r²/p²_о.

r_⊙= R_о×r_⊙/p_о⊙, r_⊙ = 16' = 960², R_о = 1, R_о = 6378 км.

r_⊙= 1×(960²/8²,8) = 1×109 = 109×R_о; r_⊙= 6378×109 = 695202 км.

Ответ: r_⊙= 109×R_о » 6,95×10⁵ км.

 

Задача 3. Годичный параллакс Сириуса 0²,375. Определить расстояние до Сириуса в парсеках, астрономических единицах и световых годах.

Решение: Дано: p = 0²,375. Найти: r(пк, а.е., с.г.).

Для решения задачи воспользуемся формулой (8): r(пк) = 1/p².

r(пк) = 1/0²,375 = 2,67 пк.

Вспоминаем, что1 пк = 206265 а.е. = 3,26 с.г. Тогда:

r = 2,67×206265 = 550728 а.е.; r = 2,67×3,26 = 8,7 с.г.

Ответ. Расстояние до Сириуса r = 2, 67 пк = 550728 а.е. = 8,7 с.г.

 

Задача 4. Гендерсон определил параллакс звезды a Центавра и получил значение p₁ = 1²,16. Современное определение параллакса этой звезды p₂ = 0²,754. Какова ошибка Гендерсона в определении расстояния до a Центавра?

Решение: Дано: p₁ = 1²,16, p₂ = 0²,754. Найти: r₁/r₂.

Для решения задачи воспользуемся соотношением (8): r(пк) = 1/p².

r₁ = 1/p₁, r₂ = 1/p₂, отсюда r₁/r₂ = p₂/p₁ = 0,754/1,16 = 0,65.

Ответ. Гендерсон “преуменьшил” расстояние до звезды a Центавра в 0,65 раза.

 

Задача 5. Во сколько раз видимая яркость Солнца больше видимой яркости самой слабой из наблюдаемых в телескоп звезд, если видимая звездная величина Солнца -26^m,8, а видимая звездная величина звезды +30^m,2?

Решение: Дано: m_⊙ =-26^m,8, m_* = +30^m,2. Найти: E_⊙/E_*.

Используем для решения формулу Погсона (9): lg(E_i/E_j) = 0,4×(m_j - m_i).

lg(E_⊙/E_*) = 0,4×(30,2 + 26,8) = 22,8.

E_⊙/E_* = 6,3×10²².

Ответ. Видимая яркость Солнца больше видимой яркости самой слабой из наблюдаемых в телескоп звезд в 6,3×10²² раз!

 

Задача 6. Видимая величина одной звезды -1^m,62, расстояние до нее 0²,347, видимая величина второй звезды +4^m,77, расстояние до нее 0²,002. Во сколько раз отличаются светимости и видимые яркости этих звезд?

Решение: Дано: m₁ = -1^m,62, m₂ = +4^m,77, p₁ = 0²,347, p₂ = 0²,002. Определить: E₁/E₂, L₁/L₂.

а) Для определения отношения видимых яркостей (а уже по значению m₁ и m₂ можно сказать, что E₁ > E₂) воспользуемся формулой Погсона (9): lg(E_i/E_j) = 0,4×(m_j - m_i).

lg(E₁/E₂) = 0,4×(4,77 +1,62) = 2,556; E₁/E₂ = 359,7.

в) Для определения отношения L₁/L₂ воспользуемся формулой Погсона в виде: lg(L₁/L₂) = 0,4×(M₂ - M₁), гдеM₁ и M₂ абсолютные звездные величины первой и второй звезд соответственно. M₁ и M₂ определим по формуле (12): M - m = 5 + 5×lgp².

M₁ =m₁ + 5 + 5×lgp₁ = -1,62 + 5 + 5×lg0,347 = +1^m,08.

M₂ =m₂ + 5 + 5×lgp₂ = +4,77 + 5 + 5×lg0,002 = -3^m,72.

lg(L₁/L₂) = 0,4×(M₂ - M₁) = 0,4×(-3,72 - 1,08) = -1,92,

L₁/L₂ = 0,012, илиL₂/L₁ = 83.

Ответ:E₁/E₂ = 359,7, L₂/L₁ = 83. Видимая яркость первой звезды больше видимой яркости второй звезды приблизительно в 360 раз, однако светимость второй звезды больше светимости первой звезды в 83 раза!

 

Задача 7. Видимая звездная величина звезды +8^m,14, расстояние до нее 28000 пк. Какова светимость звезды?

Решение: Дано: m_* = +8^m,14, r_* = 28000 пк. Найти: L_*.

Для решения задачи воспользуемся соотношениями (16) и (12):

lgL_*=0,4×(M_⊙-M_*), M_* - m_* = 5 - 5×lgr_*(пк).

M_* =+8,14 +5 - 5×lg28000 = 13,14 - 5×4,4472 = -9^m10.

Чтобы найтиM_⊙, вспомним, что расстояние от Земли до Солнца и видимая звездная величина Солнца равны соответственно:

D_⊙ = r_⊙ = 1 а.е. = (1/206265) пк, m_⊙ = -26_⊙,87.

Отсюда:

M_⊙ =m_⊙ + 5 – 5×lg(1/206265) = -26,87 + 5 + 26,57 = +4^m,70.

lgL_*=0,4×(M_⊙-M_*) = 0,4(4,70 + 9,10) = 5,52.

L_*= 331131.

Ответ: Светимость звезды L_*= 331131, то есть светимость звезды в 331131 раз больше светимости Солнца.