Программа курса «Высшая математика»
Контрольная работа №1 по дисциплине «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА»
для студентов 1-го курса заочной формы обучения экономических и инженерно-технических специальностей
(осенний семестр)
Вариант №5
УТВЕРЖДЕНО на заседании кафедры «Прикладная математика» протокол №1 от 28.08.2009
Луганск-2009
Вариант №5 контрольной работы №1
Задача №1. Даны координаты вершин треугольника : ; ; . Необходимо найти: 1. длину стороны ; 2. уравнение сторон и и их угловые коэффициенты; 3. угол между прямыми и в радианах; 4. уравнение высоты и ее длину; 5. уравнение медианы и координаты точки пересечения этой медианы с высотой ; 6. уравнение прямой , которая проходит через точку параллельно к стороне ; 7. координаты точки , которая находится симметрично точке относительно прямой . Задача №2. Дано: точка и прямая . Необходимо составить уравнение геометрического места точек, равноудаленных от заданной токи и прямой . Получено уравнение привести к простейшему виду и построить график кривой. Задача №3. Заданы две системы линейных уравнений. Решить первую систему методом Крамера. Полученый при решении первой системы результат проверить с помощью метода обратной матрицы. Вторую систему решить с помощью метода Гаусса. 1. 2. Задача №4. Даны координаты вершин пирамиды : , , , . Необходимо: 1. Записать векторы , , в ортонормальной системе и найти модули этих векторов. 2. Найти угол между векторами и . 3. Найти проекцию вектора на вектор . 4. Вычислить площадь грани . 5. Найти объем пирамиды . Задача №5. Даны координаты четырех точек: , , , . Необходимо: 1. Составить уравнение плоскости , которая проходит через точки , и . 2. Составить канонические уравнения прямой, которая проходит через точку перпендикулярно к плоскости . 3. Найти точки пересечения полученной прямой с плоскостью и с координатными плоскостями , . . 4. Найти расстояние от точки к плоскости . Задача №6. Вычислить следующие пределы (не пользуясь правилом Лопиталя). 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) 8) ; 9) . 10) . Задача №7. Заданную функцию исследовать на непрерывность и выяснить характер точек разрыва. Сделать схематический график
1) 2) Задача №8. Найти первую производную заданных функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) . Задача №9. Найти первую производную заданных функций: 1) ; 2) ; 3) Задача №10. Дана функция и два значения аргумента и . Необходимо найти приближенное значение данной функции при , используя ее значение при и заменяя приращение функции соответствующим дифференциалом : 1) ; ; ; 2) ; ; . Задача №11. Выполнить полное исследование заданных функций и построить их графики: 1) ; 2) ; 3) . Задача №12. Используя методы дифференциального исчисления, решить следующие физические задачи: 1. При подготовке к экзамену студент за дней изучает -ю часть курса и забывает -ю часть. Сколько дней нужно потратить на подготовку, чтобы была изучена максимальная часть курса? Решить задачу при условии, что .
2. Тело массой падает из высоты метров и теряет массу (сгорает) пропорционально времени падения. Коэффициент пропорциональности . Считая, что начальная скорость , ускорение , найти наибольшую кинетическую энергию тела. Решить задачу при условии, что . Программа курса «Высшая математика» для студентов 1-го курса экономических и инженерно-технических специальностей заочной формы обучения.
(осенний семестр)
1. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Определители N-го порядка. Вычисление определителя методом разложения по строке или столбцу. 2. Системы двух и трех линейных уравнений. Математическая запись системы линейных уравнений. Правило Крамера. Обобщение на случай системы N линейных уравнений с N неизвестными. 3. Матрицы. Действия с ними. Понятие обратной матрицы. Метод Гаусса. Нахождение обратной матрицы методом Гаусса. Решение систем линейных уравнений матричным методом и методом Гаусса. 4. Общая теория систем линейных уравнений. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли. Однородные линейные системы N уравнений с N неизвестными. 5. Векторы. Линейные операции над векторами. Проекция вектора на ось. Линейно-независимые системы векторов. Базис векторного пространства. Разложение векторов по заданному базису. 6. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора и угол между двумя векторами в координатной форме. Условие ортогональности двух векторов. Механический смысл скалярного произведения. 7. Векторное произведение двух векторов, его свойства. Вычисление с помощью определителей. Условие коллинеарности двух векторов. Простейшие приложения векторного произведения: моменты сил, сила, действующая на проводник с током в магнитном поле, скорость точки вращающегося тела, направление распространения электромагнитных волн. 8. Смешанное произведение трех векторов, его свойства. Геометрический смысл определителя третьего порядка. Вычисление с помощью определителей. Условие компланарности трех векторов. 9. Понятие о линейном операторе и его матрице в заданном базисе. Собственные векторы и собственные значения. Квадратичные формы. Приведение квадратичных форм к каноническому виду. 10. Системы координат на прямой, плоскости и в пространстве. Пространства R2 и R3. Уравнения линий на плоскости. Различные формы уравнений прямой линии на плоскости. Угол между прямыми линиями. Расстояние от точки до прямой. 11. Кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола, парабола, их геометрические свойства и уравнения. Технические приложения геометрических свойств кривых второго порядка. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Особенности приведения различных типов кривых. 12. Уравнения плоскости и прямой в пространстве. Угол между плоскостями. Угол между прямыми. Угол между прямой и плоскостью. Взаимное расположение прямых в пространстве. 13. Уравнение поверхности в пространстве. Цилиндрические поверхности. Сфера. Конусы. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Геометрические свойства этих поверхностей, исследование их формы методом сечений. 14. Полярные координаты на плоскости. Спираль Архимеда. Цилиндрические и сферические координаты в пространстве. Различные способы задания линий и поверхностей в пространстве. 15. Множества вещественных чисел. Функция. Область её определения. Способы задания. Основные элементарные функции, их свойства и графики. 16. Числовые последовательности, их роль в вычислительных процессах. Предел числовой последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. 17. Предел функций, основные понятия и свойства. Односторонние пределы. Первый и второй замечательные пределы. Предел функции в бесконечности. Пределы монотонных функций. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение бесконечно малых функций. Символы "о" и "О". 18. Непрерывность функции в точке. Непрерывность основных элементарных функций. Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего, наименьшего и промежуточных значений. 19. Производная функции, её физический и геометрический смысл. Правила нахождения производной. Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование функций, заданных параметрическим образом. 20. Понятие функции, дифференцируемой в точке. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Общее представление о методах линеаризации. Инвариантность формы дифференциала. 21. Производные и дифференциалы высших порядков, их свойства. 22. Точки экстремума функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их применение. 23. Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Неопределенности и их раскрытие с помощью правила Лопиталя. 24. Формулы Тейлора и Маклорена. Представление основных элементарных функций по формуле Тейлора. Применения формулы Тейлора. 25. Условия монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое условие. Достаточные условия. Отыскание наибольшего и наименьшего значения функции, дифференцируемой на отрезке. 26. Исследование выпуклости функции. Точки перегиба. Асимптоты функций. Понятие об асимптотическом разложении. 27. Общая схема исследования функции и построение ее графика.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ Основная Арлинский Ю. М., Кучма В. Я. Математический анализ. Курс дифференциального и интегрального исчисления функции одной переменной. Луганськ: ТОВ “НВФ” СТЕК, 2003 г. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. М.: Высш. шк., 1982. – Ч. I, II. Крамар М. М., Швед О. П. Вища математика. Луганськ: НЦППРК “Ноулідж”, Луганськ , 2009 р. Малый В.В. Методические указания и контрольные задания по высшей математике в I-м семестре (для студентов экономических и инженерно-технических специальностей заочной формы обучения). – Луганск, СНУ, 2002. Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических вузов. - М.: Высш. шк., 1982. – Ч. I, II. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей математике (типовые расчеты). - М.: Высш. шк., 1983. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. Ч.1,2. - М.: Высш. шк., 1978. Шипачев В.С. Высшая математика. - М.: Высш. шк., 1985.
Дополнительная Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. – М.: Наука, 1980, 1984. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. – М.: Наука, 1979. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1980. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление. - М.: Наука, 1980. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. ФПК. – М.: Наука, 1981.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|