Решение системы с помощью обратной матрицы ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Метод обратной матрицы – это, по существу, частный случай матричного уравнения (см. Пример №3 указанного урока). Для изучения данного параграфа необходимо уметь раскрывать определители, находить обратную матрицу и выполнять матричное умножение. Соответствующие ссылки будут даны по ходу объяснений. Пример 11 Решить систему с матричным методом Решение: Запишем систему в матричной форме: Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице нужно было бы поставить нули. Решение системы найдем по формуле (её подробный вывод можно посмотреть в статье Матричные уравнения). Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу и выполнить матричное умножение . Алгоритм нахождения обратной матрицы подробно разобран на уроке Как найти обратную матрицу? Обратную матрицу найдем по формуле: Сначала разбираемся с определителем: Здесь определитель раскрыт по первой строке. Внимание! Если , то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса). Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент: В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее). Таким образом: – матрица миноров соответствующих элементов матрицы . – матрица алгебраических дополнений. – транспонированная матрица алгебраических дополнений. Повторюсь, выполненные шаги мы подробно разбирали на уроке Как найти обратную матрицу? Теперь записываем обратную матрицу: Ни в коем случае не вносим в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления. Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на урокеДействия с матрицами. Кстати, там разобран точно такой же пример. Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь. Ответ: Пример 12 Решить систему с помощью обратной матрицы. Это пример для самостоятельного решения (образец чистового оформления и ответ в конце урока). Наиболее универсальным способом решения системы является метод исключения неизвестных (метод Гаусса). Доступно объяснить алгоритм не так-то просто, но я старался!. Желаю успехов! Ответы: Пример 3: Пример 6: Пример 8: , . Вы можете посмотреть или скачать образец решения данного примера (ссылка ниже). Примеры 10, 12: ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|