Геометрична інтерпретація комплексних чисел

Комплексні числа

Як відомо, квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами не завжди має дійсні корені. Наприклад, розв’язання рівняння потребує обчислення квадратного кореня з від’ємного числа, що неможливо в області дійсних чисел. Ця обставина приводить до необхідності розширення поняття про число, до введення нових чисел більш загальної природи. При цьому важливо визначити ці числа і дії над ними таким чином, щоб операції над ними задовольняли аксіоми арифметики дійсних чисел.

Означення. Комплексним числом називається пара дійсних чисел та , що взяті у певному порядку: .

Якщо , то відповідну пару чисел будемо позначати . Отже, сукупність усіх дійсних чисел є частиною сукупності усіх комплексних чисел. Основні операції над комплексними числами встановлюють так, щоб їхнє застосування до дійсних чисел давало ті самі результати, що й в арифметиці дійсних чисел.

Додавання двох комплексних чисел та визначається за допомогою рівності:

Застосуємо це означення до двох дійсних чисел і :

Множення двох комплексних чисел та визначається за допомогою рівності:

Застосуємо це означення до двох дійсних чисел і :

Отже, дії додавання та множення не вступає у протиріччя з арифметикою дійсних чисел.

Операції додавання та множення комплексних чисел підпорядковуються відомим законам арифметики:

1. Комутативність додавання: .

2. Комутативність множення: .

3. Асоціативність додавання: .

4. Асоціативність множення: .

5. Дистрибутивність множення відносно додавання:

У діях над комплексними числами важливу роль відіграє число . Позначимо його через . Помножимо це число само на себе:

тобто , що дозволяє записати будь-яке комплексне число у вигляді:

, (1.1)

де та – будь-які дійсні числа, а – уявна одиниця, що задовольняє умову .

Числа та називаються відповідно дійсною та уявною частинами комплексного числа і позначаються .

Подання комплексного числа у вигляді (1.1) називається алгебраїчною формою запису комплексного числа .

Комплексні числа та вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли .

Нехай дано два комплексних числа та .

Сумою чисел та є комплексне число

Різницею чисел і є комплексне число

Добутком чисел і є комплексне число

Означення.Комплексне число називається спряженим комплексному числу .

Для того, щоб розділити комплексне число на комплексне число , помножимо чисельник і знаменник дробу на число, спряжене до знаменника, тобто на :

Таким чином, часткою від ділення комплексного числа на комплексне число є комплексне число

Добуток чисел називається -м степенем числа :

Легко перевірити, що операції над комплексними числами задовольняють аксіомам арифметики дійсних чисел і, будучи застосовані до дійсних чисел, дають ті ж самі результати, що в арифметиці дійсних чисел.

Приклад 1. Знайти дійсні розв'язки рівняння

Розв'язання.

Розкриємо дужки і виділимо в лівій частині рівняння дійсну та уявну частини:

Згідно з означенням рівності двох комплексних чисел, дістанемо систему лінійних рівнянь

Розв'язуючи цю систему:

знаходимо .

Приклад 2. Довести, що для будь-яких дійсних .

Розв'язання.

Помножимо чисельник і знаменник на число, спряжене до знаменника:

що і потрібно було довести.

Дійсна та уявна частини комплексного числа виражаються через спряжені комплексні числа в такий спосіб:

Приведемо деякі властивості спряжених комплексних чисел, справедливість яких перевіряється безпосередньо.

Властивість 1. .

Властивість 2. .

Властивість 3. , якщо .

Властивість 4. , якщо .

Властивість 5. Якщо комплексне число є коренем многочлена з дійсними коефіцієнтами, то спряжене число також є його коренем.

Приклад 3. Скласти квадратне рівняння з дійсними коефіцієнтами, коренем якого є комплексне число .

Розв'язання.

Згідно із властивістю 5 коренем шуканого рівняння є також спряжене число . Знаючи два корені, складемо рівняння у вигляді

Розкриваючи дужки, дістанемо рівняння .

Геометрична інтерпретація комплексних чисел

Комплексне число зображується на площині декартових координат точкою з координатами . Площина, точки якої зображують комплексні числа, називається комплексною площиною. Якщо комплексне число – дійсне, то відповідна точка лежить на осі абсцис. Тому вісь абсцис називають дійсною віссю. Якщо комплексне число – суто уявне, то відповідна точка лежить на осі ординат. Тому вісь ординат називають уявною віссю. Зокрема, зображенням уявної одиниці слугує точка уявної осі. Очевидно, що кожній точці декартової площини відповідає єдине комплексне число . Отже, між множиною комплексних чисел і множиною точок площини існує взаємно однозначна відповідність.

Комплексне число також може зображуватися на площині вектором з початком у точці і кінцем у точці . Сума та різниця комплексних чисел і зображуються відповідно векторами, рівними спрямованим діагоналям паралелограма, побудованого на векторах і .

Приклад 4. Надати геометричний опис множини точок комплексної площини, що задовольняють умову .

Розв'язання.

Підставимо в задану умову :

Розкриваючи дужки, дістанемо або . Виділяючи повний квадрат по змінній , знаходимо або .

Множина точок, координати яких задовольняють цю нерівність, є кругом радіуса 2 із центром у точці (0, 1).

Означення. Довжина вектора називається модулем комплексного числа та позначається . Кут , утворений вектором з додатним напрямком осі OX, називається аргументом комплексного числа і позначається . Він визначається з точністю до доданку, кратного :

де є головним значенням , визначеним умовою , причому

(1.2)

Аргумент числа 0 не визначається.

Два комплексні числа рівні тоді й тільки тоді, коли їхні модулі рівні, а їхні аргументи або рівні, або відрізняються на величину, кратну . Модулі спряжених комплексних чисел рівні, а їхні аргументи відрізняються знаком.

Полярні координати точки, що зображує розглянуте комплексне число (якщо взяти полюс на початку координат і спрямувати полярну вісь по осі абсцис), є модулем і аргументом цього числа.

Формули, що пов'язують прямокутні координати з полярними, показують, що

, .

З цих формул знаходимо:

. (1.3)

Цей вираз називається тригонометричною формою запису комплексного числа. Користуючись відомою формулою Ейлера

, (1.4)

запишемо комплексне число у показниковій формі:

. (1.5)

Приклад 5. Представити комплексне число у показниковій формі.

Розв'язання.

Маємо . Знайдемо головне значення аргументу:

Обчислимо модуль числа:

Отже, .

Нехай комплексні числа задані у тригонометричній формі , . Знайдемо їхній добуток і частку:

Зауважимо, що при множенні комплексних чисел їхні модулі перемножуються, а аргументи додаються. Цей факт можна поширити на випадок довільної кількості комплексних множників. Зокрема, якщо всі множники рівні між собою, то

. (1.6)

Ця формула називається формулою Муавра. Вона дозволяє підносити комплексне число до степеня із цілим додатним показником .

Зауважимо, що при піднесенні комплексного числа до -го степеню його модуль підноситься до -го степеню, а аргумент помножується на .

Модуль частки двох комплексних чисел дорівнює частці їхніх модулів. Аргумент частки двох комплексних чисел дорівнює різниці аргументів діленого та дільника.

Приклад 6. Обчислити .

Розв'язання.

Спочатку знайдемо модулі та аргументи чисел та :

Далі знайдемо модулі та аргументи частки:

Піднесемо комплексне до степеня за формулою Муавра:

Формула Муавра дозволяє виражати через степені та функції кратних кутів.

Приклад 7. Виразити та через і .

Розв'язання.

За формулою Муавра

Прирівнюючи дійсні та уявні частини комплексних чисел у лівій і правій частинах рівності, дістанемо шукані формули:

Тригонометрична форма запису комплексного числа дозволяє одержати просте правило добування кореня з комплексного числа.

Означення. Коренем -го степеня ( – натуральне число) з комплексного числа називається таке комплексне число , що .

Розглянемо довільне комплексне число . Нехай . Тоді , отже,

, ,

звідки

, ,

де розуміється як арифметичний корінь -го степеня з числа .

Таким чином,

. (1.7)

Значення для двох значень будуть різними комплексними числами лише у випадку, коли ці значення відрізняються на число, не кратне . Отже, надаючи значення , ми дістанемо всі значення . Кількість різних значень дорівнює . Відповідні до цих значень точки лежать на колі із центром у початку координат радіуса і поділяють його на рівних частин. Аргументи сусідніх точок відрізняються на .