Дії над комплексними числами в тригонометричній формі.

Форми запису (форми представлення) комплексного числа.

Тригонометрична форма запису.

Геометричне зображення комплексного числа.

Комплексне число геометрично зображують точкою координатної площини.

Зручно комплексне число зобразити у вигляді вектора

Довжина вектора, який зображає комплексне число, називається модулем цього комплексного числа. Модуль комплексного числа позначається . Тобто

. (1)

Кут між додатним напрямком осі абсцис і вектором називається аргументом комплексного числа.

(2)

(3)

Примітка! Кожне комплексне число, що не дорівнює нулю, має нескінчену множину аргументів, які відрізняються один від одного на , де – ціле число, тобто у якості аргументу можна обирати будь яке значення .

Для однозначного визначення аргументу комплексного числа будемо обирати його з певного проміжку довжиною . Таке значення аргументу називається його головним значенням та позначається . Будемо вважати, що належить проміжку ). Тоді модуль та головне значення аргументу комплексного числа доцільно обчислювати за формулами

;

. (4)

Приклад.Знайти модуль та аргумент числа .

Розв’язок: за умовою , .

За формулою (1) маємо: .

За формулою (4), оскільки :

Тригонометрична форма комплексного числа.

Виразивши і через модуль і аргумент , комплексне число запишемо у вигляді

(5)

Права частина цієї тотожності називається тригонометричною формою комплексного числа.

Доведення. З урахуванням (1), (2) і (3), отримаємо:

Почленно помноживши дужку на і скоротивши, маємо:

Приклад.Знайти модуль та аргумент числа .

Розв’язок: за умовою , .

Знайдемо модуль та аргумент числа :

1) за формулою (1) маємо: .

2) за формулою (4), оскільки : .

Отже, тригонометрична форма запису:

Дії над комплексними числами в тригонометричній формі.

Нехай задано два комплексні числа:

, .

1. Множення

Тобто при множенні комплексних чисел в тригонометричній формі потрібно перемножити їх модулі і , а аргументи і скласти.

Приклад (множення комплексних чисел в тригонометричній формі):

Помножити два числа і .

Розв’язання: .

2. Ділення

Тобто при діленні комплексних чисел в тригонометричній формі потрібно поділити їх модулі і , а аргументи і відняти.

Приклад (ділення комплексних чисел в тригонометричній формі):

Поділити два числа і .

Розв’язання: .

З урахуванням того, що функція є парною, а є непарною, отримаємо: .

3. Піднесення до степеня(формула Муавра)

Тобто при піднесенні до степеня комплексних чисел в тригонометричній формі потрібно піднести до цього степеня його модуль , а аргумент помножити на цей степінь.

Приклад (піднесення до степеня комплексних чисел в тригонометричній формі):

Піднести до другого та п’ятого степенів число .

Розв’язок: ,

4. Добування кореня

, (6)

Тобто матимемо різних значень кореня.

Приклад (добування кореня):

Знайти корені 3-го степеня з числа .

Розв’язок: згідно з формулою (6) будемо мати 3 кореня:

1) при :

2) при :

3) при :

Зауваження. Таким чином, ми бачимо, що розглянуті 4 операції дуже легко виконуються над комплексними числами, записаними в тригонометричній формі, в той час, як лише перші дві з них (множення та ділення) зручно виконувати і для чисел, записаних в алгебраїчній формі. Тому для здійснення операцій піднесення до степеня та добування кореня -го степеня доцільно спочатку записати комплексне число в тригонометричній формі (якщо воно задане в алгебраїчній формі), а потім вже виконувати вказані операції.

Завдання для самоконтролю.

1. Запишіть числа в тригонометричній формі: ; .