 |
|
Тригонометрическая форма комплексного числа.
Модулем комплексного числа Z= a+bi называется длина вектора 
, которую можно найти по формуле: 
Обозначается: 
.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Комплексные числа. Стр.2
Аргументом комплексного числа Z 
0 называется угол 
, который образует вектор с положительным направлением оси Ox.
Обозначается: 
.
Для числа Z=0 аргумент не определён.
Любое комплексное число Z 0 имеет бесконечное множество аргументов, отличающихся друг от друга на число кратное 
. Наименьшее по абсолютной величине значение аргумента из промежутка 
называется главным значением аргумента.
Если 
, то верны равенства: 
; 
; 
. (*)
Значения аргумента комплексного числа Z=a+bi 0 можно найти так:
1. Определить геометрически, в какой четверти находится точка Z= a+bi.
2.Найти в этой четверти угол 
, решив одно из уравнения (*).
3. Найти все значения аргумента числа Z по формуле:
.
Представление комплексного числа в виде 
где r>0, называется тригонометрической формой комплексного числа.
Пример 3. Изобразить на комплексной плоскости следующие числа и записать их в тригонометрической форме: а) z=1+i; б)z=-1+i; в) z=2i.
Решение. а) 
.
Построим геометрическое изображение данного числа.
Т.к. 
и с учётом первой четверти, которой принадлежит рассматриваемое число, получаем 
. Следовательно, 
б) 
.
Построим геометрическое изображение данного числа.
Т.к. 
и с учётом третьей четверти, которой принадлежит рассматриваемое число, получаем 
. Следовательно, 
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Комплексные числа. Стр.3
в) 
.
Построим геометрическое изображение данного числа.
Из чертежа, очевидно, что 
. Следовательно, 
Действия над комплексными числами в тригонометрической форме.
Умножение.
При умножении комплексных чисел в тригонометрической форме их модули перемножаются, а аргументы складываются, т.е. если 
, 
, то 
.
Деление.
При выполнении деления в тригонометрической форме модули делятся, а аргументы вычитаются, т.е. если , , то 
.