Дивергенция вектора
Вернемся к рассмотрению течения жидкости и поля вектора скорости частиц жидкости. Представим в окрестности некоторой точки воображаемую замкнутую поверхность , ограничивающую объем . Если внутри в объеме жидкость не исчезает и не появляется, то линии вектора (они же линии тока жидкости) непрерывны, и . Если , то это означает, что внутри есть источники, мощность которых равна (стоки рассматриваем как источники с отрицательной мощностью). Под мощностью источника подразумевается объем жидкости, выбрасываемый им в единицу времени. Отношение есть средняя удельная мощность источников в . Поток вектора через поверхность и средняя удельная мощность источников в объеме интегрально, по объему , характеризует характер изменения поля и поведение вектора скорости частиц. Однако очень часто возникает необходимость более детального описания поведения поля вектора скорости, например интенсивности возникновения новых линий вектора в зависимости от координат. С этой целью естественно уменьшить мысленно объем . По определению предел отношения потока вектора через замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем в окрестности заданной точки поля, к величине объема , при его стремлении к нулю, называют дивергенцией соответствующего вектора: (13.12) (можно говорить о пределе удельной мощности источников вектора). Соответственно, по определению, для произвольного вектора дивергенцией называется величина (13.13) Геометрическая интерпретация потока вектора, как количества пересечений линий вектора с поверхностью, позволяет истолковать дивергенцию вектора , как функцию, равную плотности точек, в которых начинаются линии . В точках, где линии вектора заканчиваются дивергенция вектора отрицательна. По смыслу характеризует распределение в пространстве источников силовых линий и определяет плотность мощности источников вектора. Произведение дает мощность источников в объеме . Такое определение дивергенции не зависит от выбора системы координат, однако, неудобно для вычислений. 13.4 Выражение для в декартовой системе координат Возьмем в окрестности точки бесконечно малый объем в виде прямоугольного параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат величиной соответственно. Очевидно, что . Найдем поток через поверхность, ограничивающую . Для смотрящей на нас грани параллелепипеда единичная внешняя нормаль совпадает с направлением оси . Поэтому проекция вектора на направление нормали к этой грани , (13.14) где проекция вектора на ось . Для противоположной грани: , (13.15) Поскольку орт нормали направлен навстречу оси . Тогда суммарный поток вектора через грани, перпендикулярные оси : . (13.16) Изменение проекции на ось можно найти в виде: . (13.17) Поэтому поток через две грани . (13.18) Рассуждая аналогичным образом, для граней перпендикулярных двум другим осям системы координат, можно найти значения потоков: и . (13.19) Тогда поток через всю поверхность параллелепипеда . (13.20) Поэтому дивергенцию вектора в декартовой системе координат можно найти, воспользовавшись соотношением: . (13.21) ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|