 |
|
Обработка результатов прямых измерений
Прямые измерения — это измерения, при которых измеряемая величина определяется непосредственно с помощью средства измерения.
Оценка систематической погрешности 
Пусть при одинаковых условиях проведены многократные измерения. Если все результаты одинаковы, то случайная погрешность отсутствует. В этом случае истинное значение отличается от измеренного не более чем на величину систематической погрешности.
При измерении с помощью прибора со шкалой систематическая погрешность состоит из погрешности отсчета и погрешности, обусловленной несовершенством измерительного прибора. Погрешность отсчета может стать незначительной при тщательном измерении. Тогда погрешность определяется по классу точности измерительного прибора. Класс точности – это выраженное в процентах отношение систематической погрешности к пределу измерения. Например, предел измерения вольтметра 200 В, класс точности 0,5, тогда систематическая погрешность
= 1В.
Она одинакова как в начале шкалы, так и в конце. Поэтому измерения следует вести близко к пределу измерения, так как относительная погрешность будет при этом меньше. Если класс точности или сама систематическая погрешность в паспорте прибора не указаны, то систематическую погрешность принимают равной половине или единице цены деления шкалы, а для цифровых приборов – единице последнего разряда измеряемой величины. Если в расчетах используют табличное или ранее измеренное значение, то погрешность принимается равной половине единицы последнего разряда, например для числа 
= 3,141, 
= 0,0005.
Оценка случайной погрешности 
Пусть результаты измерений различны: 
. В силу случайности величины и знака случайной погрешности положительные и отрицательные значения погрешности одинаковой величины равновероятны, и погрешности малой величины более вероятны, чем большой.
Разность между истинным и средним арифметическим значениями также случайна и теория вероятностей позволяет лишь оценить доверительный интервал – интервал значений, внутри которого находится истинное значение с некоторой вероятностью. А доверительная вероятность 
– это вероятность попадания истинного значения в доверительный интервал. Истинное значение может находиться и вне доверительного интервала с вероятностью 
(рис. 1).
Половина ширины доверительного интервала имеет смысл наибольшей разности между средним арифметическим и истинным значением при данной доверительной вероятности. В дальнейшем эта величина будет являться оценкой случайной погрешности.
Случайная погрешность зависит, во-первых, от разброса результатов измерений. В качестве меры разброса принимают среднеквадратичное отклонение 
результатов измерений от среднего арифметического:
.
В интервал 
попадает 68 % числа измерений, при 
. Если не возводить в квадрат, то положительные и отрицательные отклонения скомпенсируют друг друга.
Во-вторых, с увеличением числа измерений среднее арифметическое значение приближается к истинному как 
и при случайная погрешность 
. Отсюда понятна необходимость многократных измерений. Разумное наибольшее число опытов должно быть таким, чтобы случайная погрешность уменьшилась бы до величины систематической погрешности.
В-третьих, чем большую доверительную вероятность желает гарантировать экспериментатор, тем больше должен быть доверительный интервал. Это учитывается коэффициентом Стьюдента 
, который возрастает с увеличением доверительной вероятности, и зависит от числа измерений.
Таким образом, расчетная формула для оценки случайной погрешности принимает вид
= 
, (2)
где 
– число повторных измерений, 
– результат некоторого измерения с номером 
, 
– среднее арифметическое результатов измерений, – коэффициент Стьюдента, определяемый по табл. 1.
Порядок обработки результатов
В данном пособии знаком * отмечены формулы, которые непосредственно применяются для обработки результатов измерений.
При прямых многократных измерениях в соответствии с ГОСТ 8207-76 порядок обработки результатов измерений следующий.
1. Вычисляют среднее арифметическое значение измеряемой величины (принимая его за оценку истинного значения) по формуле (1).
2. Задавшись доверительной вероятностью =0,90 или = 0,95 по табл. 1 определяют коэффициент Стьюдента. Оценивают случайную погрешность по формуле (2). Для удобства определения суммы квадратов разностей 
рекомендуется расчеты проводить в табл. 2.
Таблица 1
Коэффициенты Стьюдента
|
| |||||||
| = 0,90
| 2,9 | 2,4 | 2,1 | 2,0 | 1,9 | 1,8 | 1,7 |
| = 0,95
| 4,5 | 3,2 | 2,8 | 2,6 | 2,4 | 2,3 | 2,1 |
Таблица 2
Расчет суммы квадратов разностей
| № |
| 
| 
|
| … | |||
|
| |||
| = …
|  …
|
3. Оценить систематическую погрешность .
4. Оценить суммарную погрешность. Если одна из погрешностей меньше другой в три или более раз, то меньшей погрешностью следует пренебречь. Если обе погрешности сравнимы, то суммарная погрешность оценивается по формуле
.
5. Погрешность представляют числом, содержащим не более двух значащих цифр.
6. Записать результат измерений в виде
, 
…,
который следует понимать так: истинное значение измеряемой величины находится в интервале от 
до 
с вероятностью . При записи среднее арифметическое округляют так, чтобы разряд последней цифры совпадал с разрядом погрешности.