Главная | Обратная связь

Погрешности арифметических действий.

Содержание

· Абсолютная и относительная погрешности приближенных чисел.

• Верные и значащие цифры.
• Погрешности арифметических действий.
• Погрешность функции многих переменных.

Занятие 1

Пусть - точное значение,
- приближенное значение некоторой величины.
Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина .

Относительной погрешностью значения (при 0) называется величина .

Так как, значение как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида: .

Величины и называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Пример 1. Абсолютная и относительная погрешности приближенного числа e.

Число e - трансцендентное число, представляется бесконечной непериодической дробью e = 2.71828. Приближенное значение числа e* = 2.7. Граница абсолютной погрешности | e - e* | < 0.019, относительная погрешность числа

,

Значащими цифрами числа называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.

Пример 2. Значащие цифры числа.

Значащие цифры чисел подчеркнуты: 0.03589, 10.4920, 0.00456200.

Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.

Пример 3. Верные цифры числа.

Верные цифры числа a = 356.78245 подчеркнуты.

Если , то верных цифр в числе 5: a = 356.78245.

Если , то верных цифр в числе 4: a = 356.78245.

Если , то верных цифр в числе 7: a = 356.78245.

Если , то верных цифр в числе 8: a = 356.78245.

Для оценки погрешностей арифметических операций следует использовать следующие утверждения:

Абсолютная погрешность алгебраической суммы (суммы или разности ) не превосходит суммы абсолютной погрешности слагаемых, т.е.

Если а и b - ненулевые числа одного знака, то справедливы неравенства
, ,
где ,

Для относительных погрешностей произведения и частного приближенных чисел верны оценки:
если и , то , .

Пример 4. Погрешности арифметических действий.

Погрешности арифметических действий.

Пусть числа x и y заданы с абсолютными погрешностями x и y

x : = 2.5378 x : = 0.0001 y : = 2.536 y : = 0.001

Тогда относительные погрешности чисел

, x = 3.94 x 10^-5 , y = 3.94 x 10^-4

Найдем погрешности суммы и разности чисел

S1 : = x + y S1 : = x + y S1 = 5.0738 S1 = 1.1 x 10^-3 S1 = 2.17 x 10^-4

S2 : = x - y S2 : = x + y S2 = 1.8 x 10^-3 S2 = 1.1 x 10^-3 S2 = 0.61

Относительная погрешность разности в 2000 раз больше относительной погрешности суммы!

Возьмем теперь другие значения x и y и вычислим погрешности произведения и частного
x : = 2.5378 x : = 0.0001 y : = 0.006 y : = 0.001

Тогда относительные погрешности чисел

S3=x y

S3 = 0.015227 S4 = 422.966667

S3 : = x + y S4 : = x + y S3 : = | S3 | * S3 S4 : = | S4 | * S4

S3 = 6.604259 * 10^-6 S4 = 0.183452

Абсолютная погрешность частного в 20000 раз больше абсолютной погрешности произведения!

 

 

Пусть - дифференцируемая в области G функция переменных, вычисление которой производится при приближенно заданных значениях аргументов . Тогда для абсолютной погрешности функции справедлива следующая оценка
.

Здесь [x, x*] v отрезок, соединяющий точки x и x* =( )

Для относительной погрешности функции справедливо следующее приближенное равенство
, где

Пример 5. Погрешность вычисления функции.

Погрешность функции многих переменных

Пусть x : = -3.59 y : = 0.467 z : = 563.2

По приведенным начальным условиям считаем, что погрешности равны

x : = 0.01 y : = 0.001 z : = 0.1

Значение функции равно f ( x, y, z ) = 6.64198865

f ( x, y, z ) = 8.196 x 10 ^-3 f ( x, y, z ) = 1.234 x 10 ^-3

 

Задачи для самостоятельного решения

Задача 1.

Выполнить округление приближенных чисел и записать результат с учетом верных цифр:

a = - 0.5689176, a = 0.005 b = 1.386222 b = 0.02

Задача 2.

Высота и радиус основания цилиндра измерены с точностью до 0.5%. Какова относительная погрешность при вычислении объема цилиндра?

 

Задача 3.

Указать правила оценки абсолютных и относительных погрешностей функций: a ^x и x ^a .

 

Контрольные вопросы

Вопрос 1. Сформулируйте правила округления приближенных чисел: по дополнению и усечением.

Вопрос 2. Сформулируйте определение верной цифры числа. Приведите примеры.

Вопрос 3. Докажите утверждение об оценке абсолютной погрешности суммы и разности двух чисел.

Вопрос 4. На основании формулы вычисления погрешности функции многих переменных сформулируйте правило вычисления вычисления абсолютной и относительной погрешностей функции одной переменной.

Вопрос 5. На основании формулы вычисления погрешности функции многих переменных выведите формулу для оценки абсолютной погрешности неявной функции.