 |
|
Криві конічних перетинів
При перетині площиною поверхні конуса обертання (рис. 1.85) можуть бути отримані криві другого порядку, які називають конічними перетинами. Залежно від положення січної площини лініями перетину можуть бути: еліпс, парабола, гіпербола, вокремих випадках – коло, подвійна пряма, дві пересічні прямі, точка. Вид лінії перетину залежить від величини кута φ нахилу січної площини до осі конуса. У зв’язку з цим розглянемо різні види ліній з урахуванням зміни значення кута φ.
1. Якщо площина Р перетинає всі твірні конуса обертання, тобто φ > α, то лінією перерізу є еліпс (рис. 1.85, а). У цьому випадку січна площина не паралельна жодній із твірних конуса.
В окремому випадку (φ = 90°) така січна площина Q перетинає конус обертання по колу, і перетин вироджується в точку, якщо площина проходить через вершину конуса і не перетинає його основу (рис. 1.85, а).
2. Якщо площина Q перетинає конус обертання по прямій, що паралельна одній із його твірних (рис. 1.85, б), тобто φ = α, то лінією перетину є парабола.
У окремому випадку (наприклад, площина Р є дотичною до поверхні конуса обертання) перетин вироджується в пряму, яку називають подвійноюдотичною прямою, оскільки за цих умов рівняння параболи розпадається на два, кожне із яких визначає пряму (рис. 1.85, б).
3. Якщо площина Р, Q перетинає конус обертання по прямій, що паралельна двом його твірним або паралельна осі конуса (рис. 1.85, в), тобто φ α, то лінією перетину є гіпербола.
В окремому випадку (площина S проходить через вершину конуса під кутом φ < α) гіпербола вироджується у дві пересічні прямі, тобто в трикутник (рис. 1.85, в).
 |
Побудову перетину кривої поверхні розглянемо на прикладі перетину конуса обертання фронтально-проеціюючою площиною (рис. 1.86). Його наслідком буде еліпс з осями АВ і СD. Горизонтальні проекції точок А і В знаходяться на вертикальних лініях зв’язку з їх фронтальними проекціями. Побудову точок С, D і проміжних 1, 2, 3, 4 виконують за допомогою січних площин горизонтального рівня S1v, S2v, S3v.