Кількість правильних знаків частки.

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Лабораторна робота № 1. Елементи теорії похибок.

Мета: Ознайомлення з елементами теорії похибок.Набуття навичок обчислення похибок.

Завдання:

1. Виконати зазначені дії з точним врахуванням правильних цифр.

2. Обчислити значення та похибку виразу методом меж.

3. Розв’язати пряму задачу теорії похибок.

4. Розв’язати обернену задачу теорії похибок.

Теоретичні відомості

Абсолютна і відносна похибка

Наближеним числом називається число, що незначно відрізняється від точного числа і яке заміняє його в обчисленнях.

Різниця між точним числом та його наближеним числом називається похибкою. Абсолютна величина різниці і називається абсолютною похибкою або .

Під граничною абсолютною похибкою наближеного числа розуміють всяке число, не менше абсолютної похибки цього числа.

Абсолютна похибка і гранична абсолютна похибка не дозволяє характеризувати точність вимірювання чи точність обчислень. Для оцінки якості вимірювання чи обчислення вводиться поняття відносної похибки.

Відносною похибкою наближеного числа називається відношення абсолютної похибки цього числа до модуля відповідного точного числа . .

Граничною відносною похибкою наближеного числа називають всяке число, не менше відносної похибки цього числа. .

Значуща цифра

Будь-яке додатне число можна подати як:

Всі десяткові знаки , що зберігаються в написанні, називаються значущими цифрами наближеного числа.

Значущою цифрою наближеного числа називається всяка цифра в його десятковому поданні, відмінна від нуля і нуль, якщо він знаходиться між значущими цифрами.

Кажуть, що перших значущих цифр наближеного числа є правильними, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, що виражається -тою значущою цифрою, рахуючи зліва направо.

Округлення чисел

Округлення числа – це заміна його числом із меншою кількістю правильних цифр.

Правило округлення. Щоб округлити число до значущих цифр, відкидають усі наступні значущі цифри. При цьому, якщо:

– перша з відкинутих цифр менша 5, то остання залишена цифра залишається тією самою;

– перша з відкинутих цифр більша або рівна 5, то до останньої значущої цифри додається 1.

Похибка суми

Теорема. Абсолютна похибка алгебраїчної суми кількох наближених чисел не перевищує суми абсолютних похибок цих чисел: .

Наслідок 1: Як граничну абсолютну похибку алгебраїчної суми можна прийняти суму граничних абсолютних похибок доданків:

Наслідок 2. Гранична абсолютна похибка суми не може бути меншою граничної абсолютної похибки найменш точного з доданків.

Правило. Щоб додати числа різної абсолютної точності потрібно:

1) виділити числа, десятковий запис яких обривається раніше інших; залишити їх без зміни;

2) інші числа округлити за зразком виділених, зберігаючи один або два запасних десяткових знаків;

3) провести додавання чисел, враховуючи всі збережені знаки;

4) одержаний результат округлити на один розряд.

Похибка добутку

Теорема. Відносна похибка добутку кількох наближених чисел, відмінних від нуля, не перевищує суми відносних похибок цих чисел: .

Наслідок 1: Гранична відносна похибка добутку рівна сумі граничних відносних похибок співмножників:

Наслідок 2: Якщо всі співмножники добутку достатньо точні за винятком одного, то гранична відносна похибка буде співпадати з граничною відносною похибкою найменш точного співмножника.

Знаючи граничну відносну похибку добутку можна визначити абсолютну граничну похибку

Частинний випадок: При множенні наближеного числа на точний множник відносна гранична похибка не змінюється, а абсолютна гранична похибка збільшується в разів.

Нехай , де – наближене значення числа, – точний множник, тоді .

Правило. Щоб знайти добуток з кількох наближених чисел із різною кількістю правильних значущих цифр, досить:

1) округлити їх так, щоб кожне з них містило на одну або на дві значущі цифри більше, ніж кількість правильних цифр в найменш точному із співмножників;

2) в результаті множення зберігти стільки значущих цифр, скільки правильних цифр в найменш точному співмножнику або утримати ще одну запасну цифру.

Правило.Якщо всі співмножники мають mправильних десяткових знаків і кількість їх не більша 10, то кількість правильних знаків в добутку на одну або дві одиниці менше m.

Зауваження. Якщо співмножники маютьрізну точність, то під mслід розуміти кількість знаків в найменш точному із співмножників.

Похибка частки

Теорема.Відносна похибка частки не перевищує суми відносних похибок діленого і дільника.

Наслідок. Якщо , то гранична відносна похибка .