Подпространства линейного пространства. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
Рассмотрим линейное пространство . Определение. Некоторая совокупность векторов называется подпространством , если выполнены следующие условия: 1) ; 2) . Это означает, что совокупность замкнута относительно сложения и умножения на числа. Легко видеть, что совокупность сама есть линейное пространство относительно тех же операций, что и в . Аксиомы те же. В частности, -элемент должен входить в . Действительно, возьмем и . Тогда согласно условию 2) . Предположим, что не пусто ( ), т.е. содержит хотя бы один элемент. Противоположный элемент также должен входить в : . Тогда . Примеры подпространств: 1) (нулевое подпространство) – состоит из единственного нулевого вектора. Его размерность равна нулю. 2) подпространство, совпадающее со всем пространством. Это – тривиальные (простые, несобственные) подпространства. Все остальные подпространства, если они есть, называются собственными (нетривиальными). 1. Для пространства собственным подпространством является пространство всех многочленов , подпространством является также множество многочленов степени . Подпространством для является также совокупность всех непрерывных функций, обращающихся в нуль в т. . Но, если вместо этого условия взять такое: , это уже не будет подпространством. 2. В -мерном арифметическом пространстве подпространством будет множество векторов вида – это проекции векторов на гиперплоскость, не содержащую координаты . 3. В трехмерном пространстве свободных векторов собственным подпространством будет двумерное пространство векторов, расположенных в плоскости, проходящей через начало координат, в частности – плоскости ; еще одним собственным подпространством будет множество всех векторов, принадлежащих прямой, проходящей через начало координат, в частности – оси . Из подпространств можно построить новые подпространства. Пусть в пространстве имеются подпространства и . Из них можно образовать два новых подпространства пространства : пересечение подпространств: и сумму подпространств: . Определение: пересечением подпространств и пространства называется совокупность векторов одновременно содержащихся и в и в : . Легко показать, что пересечение подпространств тоже подпространство. Для этого необходимо убедиться, что: и . Определение: суммой подпространств и пространства называется совокупность векторов вида , где , а : . Показать, что сумма подпространств тоже подпространство. Для этого необходимо показать, что: и . Убедиться в этом самостоятельно! Если у подпространств и пространства ненулевых общих векторов нет, их сумма называется прямой суммой; она обозначается: . Можно показать, что размерность суммы подпространств равна сумме размерности подпространства и – размерности подпространства минус размерность подпространства их пересечения : . Если сумма подпространств прямая, то и представление для любого вектора единственно, и обратно, если такое представление единственно, то сумма подпространств – прямая.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|