Главная | Обратная связь

Несобственные интегралы, зависящие от параметра

Интегралы, зависящие от параметра

Занятие №1

Собственные интегралы, зависящие от параметра

 

1. Какие функции называются интегрируемыми по Риману на отрезке? Дайте определение, приведите примеры.

 

2. Дайте определение собственного интеграла, зависящего от параметра, приведите примеры.

 

3. Каковы достаточные условия непрерывности собственного интеграла, зависящего от параметра на отрезке ? При каких условиях справедливо равенство: ? Найти пределы:

а) ; б) ; в) .

 

4. При каких условиях собственный интеграл, зависящий от параметра является интегрируемой на отрезке функцией? Какое интегральное равенство имеет в этом случае место? Вычислить интеграл, применяя интегрирование по параметру:

а) ; б) ; в) ; .

 

5. Сформулируйте условия дифференцируемости по параметру на отрезке интегралов:

и и запишите формулы для вычисления производных и . Найдите производные интегралов, зависящих от параметра:

а) ; б) ; в) ; г) .

 

6. Найти , применяя дифференцирование по параметру:

а) , , ;

б) , .

 

Домашнее задание: № 3б), в), 4б), в), 5 а), в).

Интегралы, зависящие от параметра

Занятие №2.

Несобственные интегралы, зависящие от параметра

1. Какие функции называются интегрируемыми в несобственном смысле на промежутке , на отрезке ? Дайте определение, приведите примеры.

 

2. Дайте определение несобственного интеграла, зависящего от параметра, приведите примеры. Найдите область сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра:

а) ; б) .

 

3. Дайте определение равномерной сходимости на множестве несобственного интеграла, зависящего от параметра . Сформулируйте признак Вейерштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра . Исследуйте на равномерную сходимость несобственный интеграл, зависящий от параметра, на указанном множестве:

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , .

 

4. Сформулируйте признак Абеля-Дирихле равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра . Докажите, что интеграл сходится равномерно по на множестве .

 

5. Сформулируйте критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра .

 

6. Каковы условия непрерывности несобственного интеграла, зависящего от параметра на отрезке ? Доказать непрерывность

а) , ; б) , ;

в) , .

 

7. При каких условиях несобственный интеграл, зависящий от параметра является интегрируемой на отрезке функцией? Какое интегральное равенство имеет в этом случае место? Вычислить интеграл, применяя интегрирование по параметру:

а) , , ; б) ; , .

 

8. Сформулируйте условия дифференцируемости по параметру на отрезке интеграла и запишите формулу для вычисления производной . Применяя дифференцирование по параметру, найдите :

а) , ; б) , ;

в) , ; г) , (интеграл Лапласа).

 

 

9. Некоторые полезные интегралы:

а) , ; б) , .

 

в) - интеграл Дирихле;

г) , - интеграл Пуассона.

 

 

Домашнее задание: 2б), 3б), г), 4, 6б), в), 7б), 8а), в).