Прямая с угловым коэффициентом.

Другие формы уравнения прямой.

Рассмотрим теперь полное уравнение прямой (1) и покажем, что оно может быть приведено к следующему виду:

, (6)

называемому уравнением прямой в отрезках.

Каноническое уравнение прямой.

Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, будем называть направляющим вектором этой прямой.

В заключении запишем уравнение прямой, проходящей через две данные точки M₁(x₁,y₁) и M₂(x₂,y₂) (конечно эти точки считаются отличными друг от друга).

(8)

Прямая с угловым коэффициентом.

Рассмотрим любую прямую, не параллельную оси Ox. Введем понятие угла наклона прямой к оси Ox. Предположим, что рассматриваемая прямая пересекает ось Ox в точке А (рис. 2).

Возьмем на оси Ox произвольную точку M, лежащую по ту сторону от точки A, куда направлена ось Ox, а на рассматриваемой прямой произвольную точку N, лежащую по ту сторону от точки A, куда направлена ось Oy. Угол назовем углом наклона данной прямой к оси Ox.

Если прямая параллельна оси Ox или совпадает с ней, то угол наклона этой прямой к оси Ox мы будем считать равным нулю.

Тангенс угла наклона прямой к оси Ox назовем угловым коэффициентом этой прямой. Если обозначить буквой k угловой коэффициент данной прямой, а буквой угол наклона этой прямой к оси Ox, то по определению можно записать .

Заметим, что для прямой, параллельной оси Ox, угловой коэффициент равен нулю, а для прямой, перпендикулярной оси Ox, угловой коэффициент не существует (в последнем случае иногда формально говорят, что угловой коэффициент “обращается в бесконечность”).

Для того чтобы вывести уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₁(x₁,y₁) и имеющей данный угловой коэффициент k, умножим обе части канонического уравнения (7) на m и учтем, что . Мы получим искомое уравнение в виде

(10)

Если мы теперь обозначим через b постоянную , то уравнение (10) примет вид

(11)

Уравнение (11) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В этом уравнении k обозначает угловой коэффициент данной прямой, а b представляет собой величину отрезка, отсекаемого данной прямой на оси Oy, начиная от начала координат.

3. Взаимное расположение двух прямых.

а) Пусть сначала две прямые L₁ и L₂ заданы общими уравнениями

Aa₁x + B₁y + C₁ = 0 и A₂x + B₂y + C₂ = 0.

Так как нормальным вектором прямой L₁ является вектор n₁= {A₁,B₁}, а нормальным вектором прямой L₂ является векторn₂= {A₂, B₂}, то задача об определении угла между прямыми L₁ и L₂ сводится к определению угла между векторами n₁ и n₂.

Условие параллельности прямых L₁ и L₂, эквивалентно условию коллинеарности векторов n₁ и n₂, заключается в пропорциональности координат этих векторов, т.е. имеет вид

(22)

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ может быть извлечено из формулы (21) (при cos = 0) или выражено равенством нулю скалярного произведения . Оно имеет вид

(23)

Пусть, наконец, две прямые L₁ и L₂ заданы уравнениями с угловым коэффициентом

y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂

Мы получаем следующую формулу для определения угла :

tg = . (21¢¢)

Прямые параллельны, когда тангенс угла между ними равен нулю, т.е. условие параллельности имеет вид

k₁ = k₂ (22¢¢)

(при этом числитель в (21¢¢) равен нулю, а знаменатель строго положителен).

Условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ также можно получить из (21¢¢). Оно отвечает случаю, когда тангенс угла не существует, т.е. случаю обращения знаменателя формулы (21¢¢) в нуль: k₁k₂+ 1 = 0.

Итак, условие перпендикулярности прямых L₁ и L₂ имеет вид

. (23¢¢)