Главная | Обратная связь

Волновые процессы в газе

 

При нормальных условиях расстояние между молекулами газа (порядка 10^-7м) гораздо меньше длины звуковой волны (0,2<λ<20м). Поэтому молекулярное строение газа (прерывистость – вещества) можно не учитывать и считать среду (газ) сплошной.

Рассмотрим плоскую волну, распространяющуюся в направлении оси x со скоростью υ, которая описывается уравнением:

x(x,t)=Acos(wt-kx) (1)

где ξ – смещения тонкого слоя газа, зависит от координаты x слоя в невозмущенном состоянии и от времени t;

- волновое число;

l=uT- длина волны;

- циклическая чистота;

А = ξ_m максимальное смешение слоя от положения равновесия.

Дифференцируя уравнения волны (1) по времени, получим:

1.Уравнение волны для скорости колебательного движения – колебательной скорости:

(2)

=А ω амплитуда колебательной скорости.

2. Уравнение волны для ускорения колебательного движения – колебательного ускорения:

a_k= (3)

Где а_кm =А ω² - амплитуда колебательного ускорения,

Выделим в области волны цилиндрический объем высотой c площадью основания S_{n .} Пусть основание цилиндра с координатой имеет в некоторый момент времени следующие , то смещение основания с координатой будет (рис. 3)

Рис. 3 Смещение слоев газа в выделенном объеме.

Следовательно, рассматриваемый объем деформируется – он получает удлинение ( - алгебраическая величина; - соответствует сжатию цилиндра).

Объем газа между слоями , тогда изменение объема (удлинение) . Найдем относительное изменение объема газа:

(4)

дифференцируя (4) второй раз по x , получим:

Учитывая (3), получим:

(5)

Уравнение (5) является волновым уравнением, решением которого является уравнение (1).

Упругая волна в газе представляет собой распространяющуюся в пространстве последовательность чередующихся областей сжатия и разряжения газа. Как показывает опыт, сжатие в любом слое настолько быстро во времени сменяется разрежением, что температуры соседних областей сжатия и разрежения, не успевают выравниваться. Т.е. распространение звука представляет собой адиабатный процесс. Найдем изменение давления, обусловленное сжатием и разряжением. Для этого продифференцируем уравнение Пуассона для адиабатного процесса: , где - показатель адиабаты, равный отношению теплоемкости газа при постоянном давлении С_Р к теплоемкости при постоянном объеме С_V .

_, откуда

(6)

Учтя (4), находим:

(7)

На газ, заключенный между слоями (рис. 3), слева и справа действуют противоположно направленные силы, обусловленные акустическим давлением в этих слоях:

(8)

(9)

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующих сил F₁ и F₂ сообщает колебательное ускорение α_k массы газа в объеме :

(10)

Откуда

или (11)

Уравнение (11) является волновым сравнивая его с уравнением (5) получим

(12)

Из уравнения Менделеева – Клапейрона найдем:

(13)

Поставив уравнение (13) в уравнение (12), определим отношение теплоемкостей:

(14)

Таким образом, для определения показателя адиабаты достаточно измерить температуру газа и скорость распространения звука.