Уравнения прямой на плоскостиСтр 1 из 5Следующая ⇒
Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости Пусть на плоскости задана система координат. Рассмотрим уравнение вида . (4.1) Это равенство, если оно выполняется не для всех пар чисел и , называется уравнением некоторой линии в заданной системе координат . Уравнение (4.1) определяет или задает линию . Известно, что любое линейное уравнение с двумя переменными определяет прямую линию на плоскости. Чтобы написать уравнение прямой , ее надо задать. Существуют разные способы задания прямой, что приводит к различным по форме уравнениям, которые равносильны между собой, так как имеют одно и то же множество решений – координаты точек прямой . Зададим прямую при помощи точки , принадлежащей данной прямой, и ненулевого вектора , перпендикулярного этой прямой (рис. 4.1).
. (4.2) Каждый ненулевой вектор , перпендикулярный данной прямой, называется ее нормальным вектором. Уравнение (1.2) называется уравнением прямой, заданной с помощью нормального вектора и точки. Зададим прямую при помощи двух точек и , принадлежащих этой прямой. Эти условия однозначно определяют прямую, так как через две заданные точки можно провести только одну прямую.
Уравнение (4.3) называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки. Уравнения (4.2) и (4.3) с помощью тождественных преобразований приводятся к равносильному виду . (4.4) Уравнение (4.4) называется общим уравнением прямой линии. Здесь - какие-либо числа. Некоторые коэффициенты могут равняться нулю, однако хотя бы одно из чисел или должно быть отлично от нуля, иначе в уравнении исчезнут обе текущие координаты и . Если в (4.4) какой-либо из коэффициентов равен нулю, то: 1) при : - прямая проходит через начало координат; 2) при ( ): - прямая, параллельная оси ; 3) при ( ): - прямая, параллельная оси ; 4) при : - ось ; 5) при : - ось .
Уравнение (4.5) называется уравнением прямой «в отрезках». Из уравнения (4.4) можно выразить переменную как функцию от аргумента при : . (4.6) Уравнение (4.6) известно из элементарной математики, его называют уравнением с угловым коэффициентом. Угловой коэффициент , где - меньший из неотрицательных углов, образуемых прямой с положительным направлением оси . Ордината точки пересечения прямой с осью равна (рис. 4.4). Приведем еще некоторые сведения справочного характера. Если известны угловые коэффициенты и двух прямых (рис. 4.5.), то один из углов между этими прямыми определяется по формуле . (4.7) Второй угол равен .
Условие параллельности двух прямых: . (4.8) Условие перпендикулярности двух прямых: . (4.9) Точка пересечения прямых и определяется как решение системы: (4.10) Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Расстояние определяется по формуле . (4.11)
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|