Полярная система координат
Полярная система координат на плоскости определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча , исходящего из этой точки и называемого полярной осью, и единицы масштаба (рис. 4.10). Пусть М – произвольная точка плоскости. Обозначим = ОМ – расстояние точки М от полюса, – угол, отсчитываемый от полярной оси против часовой стрелки до направления ОМ. Числа и называются полярными координатами точки М, – полярный радиус, – полярный угол точки М. Задание пары чисел ( , ) однозначно определяет точку М на плоскости. Если ограничить изменение пределами (или ), то каждой точке плоскости также будет однозначно соответствовать пара чисел ( ). Исключение составляет полюс, для которого = 0, а угол не определен. Рис. 4.10 Часто оказывается полезным рассматривать на плоскости полярную систему координат (ПСК) вместе с декартовой системой координат (ДСК). Выберем ДСК так, чтобы ее начало 0 совпадало с полюсом, а ось ОХ была направлена по полярной оси (рис.4.11). Тогда полярные координаты ( , ) и декартовы координаты ( ) точки М связаны соотношениями:
(4.27) Из этих формул следует:
Рис. 4.11 Формула для определяет два угла и + в промежутке [0; 2 ). Чтобы уточнить, какой из углов выбрать, нужно учесть четверть, в которой находится точка М, или воспользоваться формулами (4.28). Чтобы перейти от уравнения линии в декартовых координатах к ее полярному уравнению, нужно вместо ( ), подставить в уравнение их выражения из формул (4.25). Обратный переход от полярного уравнения к уравнению в декартовых координатах осуществляется с помощью формул (4.26), (4.28). Пример. Построить в полярной системе координат точки :
Решение. Построение точек показано на рис. 4.12. Рис. 4.12
Уравнение , связывающее три переменные , задает в пространстве некоторую поверхность . Основная задача: на основании некоторой информации о данной поверхности (обычно геометрического смысла) составить уравнение, которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности и только они. Рассмотрим простейшую поверхность – плоскость.
©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|