Прямая в пространстве ⇐ ПредыдущаяСтр 5 из 5
Для задания прямой в пространстве одного уравнения недостаточно. Это объясняется тем, что всякое уравнение с тремя переменными задает в пространстве некоторую поверхность , а не линию. Рассмотрим различные виды уравнений прямой в пространстве. 1) Уравнения прямой, проходящей через точку параллельно направляющему вектору
Уравнения (5.9) называются каноническими уравнениями прямой. Уравнения (5.9) получены из следующих соображений. Если - произвольная точка прямой, то вектор коллинеарен вектору , а значит, их координаты пропорциональны, из чего и следуют уравнения (5.9).
2) Уравнения прямой, проходящей через две точки и .
Уравнения (5.10) также являются каноническими уравнениями прямой, так как числа, стоящие в знаменателях, есть координаты вектора , являющегося направляющим для данной прямой.
3) Параметрические уравнения прямой в пространстве: где (5.11)
Уравнения (5.11) получаются из канонических уравнений (5.9), если все три отношения в них приравнять к некоторому параметру , а затем выразить и через . При этом - координаты точки , через которую проходит прямая параллельно направляющему вектору . Замечание. Если какая–либо координата вектора равна , то равен и знаменатель соответствующей дроби в уравнениях (5.9). Не следует воспринимать такую дробь как деление на . Если, например, , то уравнения (5.9) примут вид: . Перейдем к параметрическим уравнениям прямой. Получим где или Первое уравнение , означает, что прямая лежит на плоскости , перпендикулярной оси . 4) Общие уравнения прямой в пространстве (5.12)
Уравнения (5.12) задают прямую, как линию пересечения двух плоскостей. Общие уравнения прямой могут быть преобразованы к каноническому или параметрическому виду. 5) Пусть даны две прямые, заданные каноническими уравнениями Угол между прямыми и определяется, как угол между направляющими векторами данных прямых и : , или в координатной форме . (5.13)
6) Условие параллельности двух прямых и : или . (5.14) 7) Условие перпендикулярности двух прямых и : или . (5.15) ©2015 arhivinfo.ru Все права принадлежат авторам размещенных материалов.
|