Главная | Обратная связь

Розділ 2. Діелектрик в зовнішньому електричному полі

Діелектрик в зовнішньому

Електричному полі

4.1. Полярні і неполярні молекули

Всі речовини поділяються на провідники, діелектрики (ізолятори) і напівпровідники.

В природі ідеальних діелектриків не існує. Всі речовини в якійсь мірі проводять електричний струм, але діелектрики проводять струм в 10¹⁵—10²⁰ раз гірше, ніж провідники.

Якщо діелектрик внести в електричне поле, то це поле і діелектрик набувають істотних змін. Щоб це зрозуміти потрібно врахувати, що в складі атомів і молекул є позитивно заряджені ядра і негативно заряджені електрони. Будь-яка молекула представляє собою систему, в якій сумарний заряд дорівнює нулю. Розміри даної системи малі – порядку декількох ангстрем (10^{-10 м). Поле, створене подібними системами, характеризується величиною дипольного моменту.}

. (4.1)

Сумування відбувається як по електронам, так і по ядрам. Щоправда, електрони в молекулі рухаються таким чином, що даний момент весь час змінюється, але швидкості електрона такі великі, що практично визначається середнє значення даного моменту. Тому надалі під дипольним моментом молекули будемо розуміти для електронів

(4.2)

і для ядер: .

Інакше кажучи, будемо вважати, що електрон знаходиться відносно ядер у спокої в деяких точках, отриманих усередненням положень електрона по часу.

Поведінка молекули в зовнішньому електричному полі також визначається її дипольним моментом. В цьому можна пересвідчитись розрахувавши потенціальну енергію молекули в зовнішньому електричному полі.

Виберемо початок координат всередині молекули і скористуємось малим значенням . Тоді потенціал в точці, де знаходиться і-тий заряд можна представити

,

де φ – потенціал поля а початку координат.

Тоді, потенціальна енергія визначається як сума:

.

Враховуючи закон збереження зарядів, і , маємо

.

Якщо продиференціювати вираз по куту, то отримаємо рівняння для обертального моменту. Взявши потім похідну по dx – отримаємо силу.

.

Таким чином, молекула як по відношенню до поля, яке вона створює, так і по відношенню до тих сил, що діють на неї у зовнішньому полі, буде мати еквівалентні диполі. Позитивний заряд даного диполя дорівнює сумарному заряду ядер і розміщений в „центрі тяжіння” позитивних зарядів, а негативний заряд дорівнює сумарному заряду електронів і розміщений в „центрі тяжіння” негативних зарядів.

В симетричних молекулах (H₂, O₂, N₂ і т.д.) у відсутності зовнішнього електричного поля центри тяжіння позитивних і негативних зарядів співпадають. Такі молекули не володіють власним дипольним моментом і називаються неполярними молекулами.

В несиметричних молекулах (CO, NH, HCl) центри тяжіння зарядів різних знаків зміщені один відносно одного і молекули володіють власним дипольним моментом. Такі молекули називаються полярними.

Під дією зовнішнього електричного поля заряди в неполярних молекулах зміщуються один відносно одного – позитивний заряд за напрямком поля, а негативний – проти поля. В результаті молекула набуває дипольного моменту, величина якого пропорційна напруженості поля. В раціоналізованій системі коефіцієнти пропорційності – ε₀, β (ε₀ – електростатична стала, β – поляризованість молекули).

Враховуючи, що вектори і колінеарні, можна записати

. (4.3)

Процес поляризації неполярних молекул протікає так, ніби позитивні і негативні заряди зв’язані пружними силами. Тому кажуть, що неполярна молекула веде себе у зовнішньому полі як пружний диполь. Тоді дія зовнішнього поля на полярну молекулу зводиться до того, щоб повернути молекулу так, щоб її дипольний момент встановився за напрямом поля. На величину даного моменту зовнішнє поле практично не діє. Відповідно, полярна молекула веде себе в зовнішньому полі як жорсткий диполь.

Рис.4.1

4.2. Поляризація діелектриків

За відсутності зовнішнього поля сумарний дипольний момент молекули дорівнює нулю.

.

Під дією зовнішнього поля діелектрик поляризується. Це означає, що результуючий дипольний момент діелектрика стає відмінним від нуля. Характеризує ступінь поляризованості дипольний момент одиниці об’єму.

Якщо зовнішнє електричне поле неоднорідне, то ступінь поляризації в різних точках може бути різний. Щоб охарактеризувати поляризованість в даній точці треба виділити фізично нескінченно малий об’єм, який включає в себе дану точку, знайти суму всіх дипольних моментів, які знаходяться в даному об’ємі, і взяти відношення

, (4.4)

де – поляризованість діелектрика.

У ізотропних діелектриків поляризованість пов’язана з напруженістю поля в цій точці співвідношенням

, (4.5)

де χ – діелектрична сприйнятливість діелектрика (величина безрозмірна, незалежна від напруженості Е).

Або в системі Гауса:

. (4.6)

Для діелектриків, що побудовані з неполярних молекул, рівняння (4.5) випливає з міркувань:

- в межах об’єму ∆V попадає кількість молекул n∆V(n– число молекулв одинці об’єму);

- кожен з дипольних моментів визначається за формулою (4.3) і тоді сума всіх цих дипольних моментів рвизначається за формулою

.

Якщо розділити на ∆V отримаємо поляризованість (за означенням).

.

Позначивши , отримаємо формулу (4.5).

У випадку діелектриків з полярними молекулами орієнтуючій дії зовнішнього поля протидіє тепловий рух молекул, який прагне розкидати їх дипольні моменти по всім напрямкам, в результаті чого встановлюється деяка переважна орієнтація дипольних моментів в напрямку поля. Поляризованість буде пропорційна напруженості поля – формула (4.5). Діелектрична сприйнятливість χ таких діелектриків обернено пропорційна абсолютній температурі середовища.

В іонних кристалах окремі молекули втрачають свою обособленість і весь кристал представляє собою одну дуже велику молекулу. Решітку іонного кристалу можна розглядати як дві решітки, одна з яких вставлена в іншу. Тоді одна з них утворена позитивними, а інша негативними іонами.

Якщо зовнішнє поле буде діяти на іони кристалу, то ці решітки будуть переміщуватись одна відносно одної, що призведе до поляризації діелектрика. Поляризованість буде зв’язана з напруженістю поля рівнянням (4.5).

Пряма залежність напруженості поля і ступеня поляризованості молекули має місце лише в не дуже сильних полях. Це ж стосується рівняння (4.3).

4.3. Опис векторного поля в діелектриках

Всі заряди, які входять в склад молекули діелектрика називаються зв’язаними. Під дією поля зв’язані заряди можуть лише трохи зміщуватись з положення рівноваги, покинути межі своїх молекул зв’язані заряди не можуть.

Заряди, які хоча і знаходяться в межах діелектрика, але не входять в склад його молекули, а також заряди, розташовані за межами діелектрика називаються сторонніми (вільними) зарядами.

Поле в діелектрику є суперпозицією полів сторонніх і зв’язаних зарядів. Результуюче поле називаєтьсямікроскопічним або істинним .

. (4.7)

Мікроскопічне поле досить сильно змінюється в межах міжмолекулярних відстаней. Внаслідок руху зв’язаних зарядів дане мікроскопічне поле змінюється також у часі. При макроскопічному розгляді дані зміни не спостерігаються, тому в якості характеристики поля використовують середнє по фізично нескінченно малому об’єму значення формули (7), тобто

.

Надалі, позначимо , а – . Відповідно, макроскопічним полем будемо називати величину

. (4.8)

Поляризованість представляє собою макроскопічну величину, тому під напруженістю в формулі (4.5) потрібно розуміти напруженість за формулою (4.8). При відсутності діелектриків (у вакуумі) макроскопічне поле чисельно дорівнює полю сторонніх зарядів Е_о

.

Якщо сторонні заряди нерухомі, то поле визначається виразом (4.8) і володіє такими ж властивостями як електростатичне поле у вакуумі. Тобто його можна охарактеризувати за допомогою потенціалу φ, що зв’язаний з напруженістю Е через градієнт .

4.4 Сегнетоелектрики

Існує група речовин, які володіють самочинною поляризованістю при відсутності зовнішнього поля. Це явище було відкрито для сегнетової солі.

Сегнетоелектрики відрізняються наступними характерними особливостями:

1. В той час, коли у діелектриків величина діелектричної проникливості середовища складає декілька одиниць (за винятком деяких речовин, у яких вона сягає декількох десятків, наприклад, для води – ε=81), то ε сегнетоелектриків буває порядку кількох тисяч.

2. Залежність поляризованості від напруженості не є лінійною; відповідно ε є залежною від напруженості.

3. При зміні поля значення поляризованості, а відповідно і значення діелектричного зміщення відстають від напруженості, внаслідок чого і Р, і D визначаються не лише величиною Е в даний момент, а і тими значеннями Е,які їй передують, тобто залежить від передісторії даного діелектрика. Це явище називається гістерезисом(від грецького „запізнення).

При циклічних змінах поля залежність поляризованості від напруженості потрібно зображати, так званою, петлею гістерезису.

Якщо спочатку ввімкнене електричне поле напруженістю Е буде рости до певного значення Р при відповідномуЕ – маємо криву OD на рис. 4.2.

 

Зменшення Р буде відбуватись зі зменшенням Е по лінії DBE_K . При значенні Е=0 речовина зберігає значення Р_r, що називається залишковою поляризованістю.

Лише під дією протилежно направленого поля напруженості Е_споляризованість стає рівною нулю. Це значення Е називається коерцитивною силою. При подальшій зміні напруженості отримаємо гілку петлі гістерезису і т.д.

Поведінка вектора поляризованості сегнетоелектриків аналогічна до поведінки вектора намагніченості феромагнетиків, тому їх називають фероелектриками.

Сегнетоелектриками можуть бути кристалічні речовини, у яких відсутній центр симетрії. Взаємодія частинок в кристалі сегнетоелектрика

Рис.4.2 призводить до того, що їх дипольні моменти спонтанно встановлюються в деякому напрямку. Як правило, в кристалі виникають області, в межах кожної з яких дипольні моменти паралельні один одному, але напрям поляризованості різних областей є різним, так що результуючий момент всього кристалу може дорівнювати нулю. Області самовільної поляризації називаються доменами. Під дією зовнішнього поля моменти доменів повертаються як ціле і встановлюються в напрямі поля.

Для кожного сегнетоелектрика існує температура, при якій він втрачає свої властивості і стає звичайним діелектриком. Ця температура називається точкою Кюрі.

Для сегнетової солі точки Кюрі – мінус 15^оС і плюс 22^оС, тобто сіль веде себе як сегнетоелектрик лише в інтервалі температур від мінус 15^оС до плюс 22^оС .

 

4.5. Умови на межі двох діелектриків

На межі двох середовищ з різними дieлeктpичними влacтивocтями вeктopи eлeктpичнoгo пoля змінюються за знaчeнням i нaпpямoм. Умoви пoвeдiнки вeктopiв і нa мeжi поділу cepeдoвищ нaзивaють гpaнuчнuмu. Ці умoви отримують із ocнoвних рівнянь пoля. Bcтaнoвимo cпoчaтку rpaничнi умови для нopмaльнoї cклaдoвoї вектора . Для цьoro використаємо рівняння , aбo в iнтeгpaльнiй фopмi для випадку пoвepхнeвoгo poзпoдiлу вільних зapядiв

.

Нехай дано поверхню поділу S₁₂ діелектриків 1 і 2 з діелектричними проникностями е₁ і е₂ (рис.4.3). Виділимо на пoвepхнi S₁₂ eлeмeнтapну площу S₀, у межах якої пoвepхневу густину вiльних зapядiв мoжнa вважати oднaкoвoю ( ).

Побудуємо навколо S₀ замкнену, нaпpиклaд цилiндpичну, пoвepхню і визнaчимo потік вeктopa індукції поля D, cтвopeнoro зapядaми у₀, крізь циліндричну пoвepхню S. Пocтaвимo нopмaлi до зoвнiшнiх частин пoвepхoнь S₁₂, S₁, S_г. Toдi

.

Оскільки , a , то D₂n₂=D_2n, a D₁n₁= -D_1n.

Для знaхoджeння rpaничних умов на мeжi поділу середовищ 1 і 2 пpиймeмo, що виcoтa циліндра . Пpи цьому i, отже, . Значення D₂ і D₁, у місцях poзтaшувaння поверхонь S₁ і S_г ввaжaтимeмo сталими, тому їх можна вивести з-під знаків iнтerpaлiв. Після iнтeгpувaння за вiдпoвiдними пoвepхнями oдepжимo

.

Рис. 4.3

Приймемо , тoдi

.

Це i є гpaничнa умова для нopмaльнoї cклaдoвoї вeктopa індукції eлeк-тpocтaтичнoгo поля D. Як видно, при пepeхoдi мeжi поділу двох дieлeктpикiв значення нopмaльнoї cклaдoвoї вeктopa D cтpибкoм змiнюeтьcя на вeличину у₀. Якщо у₀= 0 (вільних зарядів на мeжi поділу немає), то , тобто нopмaльнa cклaдoвa вeктopa D не змінюється. Hopмaльнa ж cклaдoвa вeктopa нaпpужeнocтi eлeктpичнoгo поля Е при цьому змінюється i poзмip цієї змини залежить від cпiввiднoшeння дieлeктpичних пpoникнocтeй середовищ ε₁ і ε₂ . Cпpaвдi, . Звідси

. (4.9)

На межі провідника і діелектрика з поверхневим розподілом вільних зарядів q₀ гранична умова визначається формулою (4.9). Якщо вважати середовище 1 провідником, то, як відомо, в ньому E_l =0, тому D_ln =0 і, отже , або . Відповідно для нормальної складової напруженості Е поля

. (4.10)

 

У випадку контакту провідника з вакуумом (ε = 1)

. (4.11)

З рівностей (4.10) і (4.11) видно, що напруженість електричного поля біля поверхні провідника за наявності діелектрика зменшується в ε разів. Формула (4.10) дає фактично безпосередній розв’язок задачі про поле в плоскому контурі. При цьому в явному вигляді не довелося враховувати поверхневих зарядів у діелектрику між обкладками конденсатора.

Рис.4.4

Виведемо граничні умови для тангенціальної складової вектора Е, тобто простежимо, як поводить себе дотична складова вектора Е до поверхні поділу двох діелектриків.

Побудуємо поблизу межі поділу діелектриків 1 і 2 замкнений контур ABCD (рис. 4.4). Оскільки електростатичне поле є потенціальним, то циркуляція вектора напруженості дорівнює нулеві:

. (4.12)

Для замкненого контура ABCDA з формули (4.12) маємо

. (4.13)

Щоб одержати граничну умову для тангенціальної складової вектора Е на межі поділу середовищ, спрямуємо висоту AD = BC обраного контур до нуля. Тоді

. (4.14)

Оскільки , а , то і . Тоді вираз (4.13) запишеться так: . Якщо l₁= l₂= l , то одержимо

. (4.15)

Звідси видно, що тангенціальна складова вектора напруженості електростатичного поля не змінюється при переході межі поділу двох середовищ з різними діелектричними властивостями: .

Якщо взяти межу поділу провідника (середовище 1) і діелектрика (середовище 2), то при цьому (всередині провідника поле відсутнє) і, отже . Це означає, що вектор нaпpужeнocтi eлeктpoстатичного поля завжди перпендикулярний до межі поділу провідник – діелектрик, або провідник – вакуум.

З умов і видно, що при ε₁< ε₂ , тобто силові лінії електростатичного поля заломлюються, відхиляючись більше від нормалі при переході в середовище з більшою діелектричною проникністю. Виведемо закон заломлення силових ліній поля.

Зрис. 4.4 видно, що , а . Взявши до уваги рівності і , одержимо

. (4.16)

Питання для самоконтролю

1. Які молекули називаються полярними, а які неполярними?

2. Як відбувається поляризація діелектриків?

3. Як описується векторне поле в діелектриках?

4. Які речовини називаються сегнетоелектриками? Їх властивості?

5. Що відбувається на межі двох діелектриків?